第二章 恒定电场

2 0
分界面衔接条件
由
E1t E2t
J1n J 2n
1 2
得
1 2 1 2 n n
思考 恒定电场中是否存在泊松方程？
第 二 章
恒定电场
例2.3.2 试用边值问题求解电弧片中电位、电场及 导体分界面上的面电荷分布。 解: 选用圆柱坐标系，边值问题为：
2 1 1 2 ( 1 2 0 1 区域） 2
第 二 章
恒定电场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和 恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，电 荷作宏观运动，电荷的分布不随时间变化（即：恒定 ），它与静电场有相似之处。 本章要求: 理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳 定律深刻理解场量之间的关系。 掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 接条件。 熟练掌握静电比拟法和电导的计算。
第 二 章
恒定电场
3、电源电动势： E dl

4、电源外的场强：库仑场强 E 5、电源内的场强：库仑场强 E 与局外场强 Ee 两种场强 之和（两种场强大小相等，方向相反），电源内的合成场 强：
第 二 章
恒定电场
总场强
E总 E Ee
J ( E Ee )
因此，对闭合环路积分
A
三种电流：传导电流，运流电流，位移电流 传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。 运流电流——带电粒子在真空中的定向运动。可以 存在于非导体区域。例如：阴极电子发射 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。
第 二 章
恒定电场
2.1.2 电流密度和元电流 电流形式及电流密度：
①线电流（沿截面可忽略的导线流动）
2、良导体（ 1）和不良导体（ 2 ）的 1 2 分界面： ①不良导体中体电流密度垂直于导体表面：
1 900 , 1 2 2 tg 2 tg1 0 1 2 0 J 2 导体表面
②不良导体中的电场强度也垂直于导体 表面，电场强度与电流密度同方向：
恒定电场
p
dV

dV
移动元体积内的所有电子做功
dA NdV dAe NdV fe dl NdV ( e ) E vdt N ( e ) v EdVdt J EdVdt
p J E
—焦耳定律微分形式 W/m3
单位体积的功率，单位：瓦特/米3
第 二 章
场域几何形状及边界条件相同；
媒质分界面满足
4 0U 0 D2 n D1n 0 E2 0 E1 ( 2 - 1 ) π( 1 2 )
第 二 章
2.4 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
E 0
E D E
恒定电场
静电场 ( 0 )
恒定电场（电源外） 静电场 恒定电场
E 0 D 0
E E dl E dl E dl 0 e e
E Ee dl

②环路不经过电源：
E dl 0

第 二 章
恒定电场
二、微分形式的基本方程：（由积分形式的基本方程利用 散度定理和斯托克斯公式推导出） 1、电源外导电媒质的恒定电场基本方程的微分形式：
2 1 2 2 2 2 0 ( 2 区域） 2
2
0
0
1
π 2
U0
图2.3.4 不同媒质弧形导电片
1 2 π 时 ，1 2 ， 1 2 4
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恒定电场
通解 电位
1 A B ,
2 C D
4 2U 0 ( 1 2 )U 0 1 π( 1 2 ) 1 2
4 1U 0 2 π( 1 2 )
电场强度
4 2U 0 E1 e π( 1 2 )
电荷面密度
4 1U 0 E2 e π( 1 2 )
亦称电流连续性方程
第 二 章
恒定电场
②恒定电场传导电流连续性方程：（恒定电场电荷分布恒 定，闭合面内自由电荷减少率为0） q 0 t
J dS 0
S
散度定理
JdV 0
V
故
J 0
恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。
第 二 章
恒定电场
2、电场强度的环路线积分： ①环路经过电源：
与静电场的导体中的
E 0 不同。
图2.3.1 电流线的折射
第 二 章
恒定电场
例2.3.1 导体与理想介质分界面上的衔接条件。
解: 在理想介质中 2 0， J 2 0
故 J 2n J1n 0
表明 1 分界面导体侧的电流一定与导体表面平行。
空气中
E2n
0 ＝ 0 2 0
图2.3.1 电流线的折射
E2
2
J2
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恒定电场
3、 导体（第一种媒质）与理想介质（第二种媒质）分界 面： 理想介质的 E 垂直于导体表面。 恒定电场的导体中的
E1 E1t ；
理想介质不存在恒定电流，J 2 0，J1n J 2 n 0, J E E 0 1 1n 1n 1n
第 二 章
恒定电场
恒定电场知识结构 基本物理量 J、 E 欧姆定律 J 的散度 基本方程 E 的旋度 电 位
边界条件
边值问题
一般解法
电导与接地电阻
特殊解(静电比拟)
第 二 章
2.1
2.1.1 电流 (Current)
导电媒质中的电流
恒定电场
定义：单位时间内通过某一横截面的电量。
dq I dt
介电常数为1，区域2的电导率为 2，介电常数为 2，则
D2 n D1n 2 E2 n 1 E1n J 2 n J1n 0 2 E2 n 1 E1n 0
则分界面上的电荷面密度为
1 2 E E 2 1 2 n 2 1 1n 1 2 2 2 若 ，则 0 1 1
J 0
E 0
2、场量之间的关系（或构成方程或辅助方程）：
J E
第 二 章
恒定电场
三、 恒定电场（电源外）的基本方程 积分形式 微分形式
J dS 0
S
E dl 0
l
J 0
E 0
构成方程
J E
结论： 恒定电场是无源无旋场。
第 二 章
D E
2 0
q D dS
S
J 0 J E
2 0
ε


J

I
I J dS
S
q
两种场各物理量满足相同的定解问题，则解也相同。 那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系
便可得到另一个场的解。
第 二 章
恒定电场
两种场可以比拟的条件 微分方程相同；
3. 元电流的概念 元电流是元电荷以速度 v 运动形成的电流
νdV (体电流元) JdV
元电流段dq
νdS (面电流元） KdS νdl (线电流元） Idl
第 二 章
由电路理论
2.1.3 欧姆定律的微分形式
恒定电场
U RI
l R S
电导率与电阻率的关系： ， r （电阻率）， （电导率）。 r 在场论中
J 2n
导体中 E1n 0
图2.3.2 导体与理想介质分界面
D2n D1n 2 E 2n
表明 2 导体与理想介质分界面上必有面电荷。
提问： 不同导体分界面 ＝0 ？
第 二 章
恒定电场
提问： 不同导体分界面 ＝0 ？ 在两种不同导电媒质分界面处，设区域1的电导率为 1，
第 二 章
恒定电场
2.3 基本方程•分界面衔接条件• 边值问题
2.3.1 基本方程 一、积分形式的基本方程：（两个基本场量的面积分和 线积分） 1、恒定电场传导电流连续性方程： ①电荷守恒定律：（任一闭合面流出的电流等于闭合面内 自由电荷减少率）
q 电荷守恒原理 J dS S t
根据经典电子理论，在恒定场情况下， 可以近似的认为金属导体的介电常数 0。
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恒定电场
E1t E2t J1t / 1 0
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表 面非等位面。 若 流分布在导体表面，导体不损耗能量。
1 （理想导体），导体内部电场为零，电
E dl
l 总
( E E ) dl E dl E dl
l e l l e
图2.2.2 电源电动势与局外场强
0e e
局外场 Ee 是非保守场。
恒定电场的研究：导体周围介质中的恒定电场(同静电场 的求解方法);以及导电媒质中的电场(本章所讨论的内容).
导体周围介质中的电场：
E2 E2t e x E2n e y
图2.3.3 载流导体表面的电场
第 二 章
恒定电场
2.3.3 边值问题
由基本方程出发
E 0
E
拉普拉斯方程
常数
J 0
得
( E ) E 0
电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。 1、局外力 f e ：电源中使正、负电极之间的电压维持恒 定，而使得正、负电荷分离开来的力，称为局外力 f e ( 注意：“分开的力”的方向）。 2、局外场强 Ee ：电源中单位正电荷所受的局外力假设 为一个等效场强，这个场强称为局外场强 。区别于库 Ee 的方向由电源的负极指向正极，与库仑场 仑场强 E 。 强 E 方向相反。
1
图2.1.5 J 与 E 之关系
dI J dS E dl
dl dU dI R J dS dS
J E 欧姆定律 微分形式。
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恒定电场
Fra Baidu bibliotek
U RI 欧姆定律 积分形式。
J 与 E 共存，且方向一致。 简单证明： 对 J E 两边取面积分 左边 J dS I
电流线密度
K v
l
Am
电流
I ( K en ) dl
en 是垂直于 dl，且通过 dl 与曲面相切的单位矢量。
图2.1.3 电流线密度及其通量
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恒定电场
工程应用
媒质磁化后的表面磁化电流；
同轴电缆的外导体视为电流线密度 分布； 高频时，因集肤效应，电流趋于导 体表面分布。
图2.1.4 媒质的磁化电流
2.3.2 分界面的衔接条件
在分界面上无电源，即 Ee 0 得
恒定电场
一、边界条件 由
l
E dl 0
E1t E2t
J dS 0
S
J1n J 2n
说明 分界面上 E 切向分量连 续，J 的法向分量连续。
图2.3.1 电流线的折射
第 二 章
恒定电场
二、恒定电场的折射定律及特殊分界面： 1、恒定电场的折射定律： tan 1 1 tan 2 2
恒定电场
P J EdV UI I R
V
2
W
—焦耳定律积分形式
第 二 章
恒定电场
2.2 电源电动势与局外场强
2.2.1 电源 (Source) 提供非静电力将其它形式的
能转为电能的装置称为电源。
图2.2.1 恒定电流的形成
第 二 章
恒定电场
2.2.2 电源电动势 (Source EMF)
S
图2.1.5 J 与 E 之关系
右边
U E d S dS S
S
l

S
l
U
GU
所以 U RI
2.1.4 焦尔定律的微分形式 导体有电流时，必伴随功率损耗（dt时间内，导体每一单 元体积dV内，由于电子运动而转换成得热能），其功率 体密度为 dP dA/dt
第 二 章
②面电流（沿厚度可忽略的面上流动）
③体电流（在体积中流动）
第 二 章
恒定电场
1. 电流面密度 J 体电荷
以速度 v 作匀速运动形成的电流。
A m
2
电流密度（又称为电流面密度） J v 电流
I J dS
S
图2.1.1 电流面密度矢量
图2.1.2 电流的计算
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恒定电场
2. 电流线密度 K 面电荷 在曲面上以速度 v 运动形成的电流。