97高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解97

1 可得∠A＝∠BAC＋∠CAD＝2(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°. [点评] 可由 EB＝EC 及∠E 求得∠ECB，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD，由圆内接 四边形对角互补求得∠A. 10．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PAB 为割线，PC＝4，PB＝8，∠B＝30°，则 BC＝________.
1 而∠OAC＝∠ACO＝2∠COB＝30°，∴∠EAB＝60°，
1 在 Rt△BAE 中，∠EBA＝30°，∴AE＝2AB＝4. 15．(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点
含详解答案
高考总复习
P，E 为⊙O 上一点，AE＝AC，DE 交 AB 于点 F，且 AB＝2BP＝4，
PF PD ∴PC＝PO， 由割线定理知 PC·PD＝PA·PB＝12，
PC·PD 12 故 PF＝ PO ＝ 4 ＝3. (2)若圆 F 与圆 O 内切，设圆 F 的半径为 r， 因为 OF＝2－r＝1，即 r＝1， 所以 OB 是圆 F 的直径，且过 P 点的圆 F 的切线为 PT， 则 PT2＝PB·PO＝2×4＝8，即 PT＝2 2.
33 r＝CP·tan30°＝1× 3 ＝ 3 . 14．(2010·江苏盐城调研)如图，圆 O 的直径 AB＝8，C 为圆周上一点，BC＝4，过 C 作圆的切线 l，过 A 作直线 l 的垂线 AD，D 为垂足，AD 与圆 O 交于点 E，求线段 AE 的 长．
[解析] 连结 OC、BE、AC，则 BE⊥AE. ∵BC＝4，∴OB＝OC＝BC＝4，即△OBC 为正三角形， ∴∠CBO＝∠COB＝60°， 又直线 l 切⊙O 于 C， ∴∠DCA＝∠CBO＝60°， ∵AD⊥l，∴∠DAC＝90°－60°＝30°，
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α1 α2＋α3 α1 α2＋α3
∴cos 3 cos 3 －sin 3 sin 3
( ) α1＋α2＋α3 4π
π
π＋
＝cos 3 ＝cos 3 ＝cos 3
π1 ＝－cos3＝－2.
12．(2010·广东中山市四校联考)如图，PA 切圆 O 于点
A，割线 PBC 经过圆心 O，OB＝PB＝1，OA 绕点 O 逆时针旋
1 [解析] ∵E、F 分别为 AP、PR 中点，∴EF 是△PAR 的中位线，∴EF＝2AR，∵R 固 定，∴AR 是常数，即 y 为常数． 2．(2010·湖南考试院)如图，四边形 ABCD 中，DF⊥AB，垂足为 F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长 FB 到 E，使 BE＝FB，连结 BD，EC.若 BD∥EC，则四边 形 ABCD 的面积为( )
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高中数学高考总复习几何证明选讲习题(附参考答案)
一、选择题 1．已知矩形 ABCD，R、P 分别在边 CD、BC 上，E、F 分别为 AP、PR 的中点，当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时，点 R 在 CD 上固定不变，设 BP＝x，EF＝y，那么下列结论中 正确的是( )
A．y 是 x 的增函数 B．y 是 x 的减函数 C．y 随 x 的增大先增大再减小 D．无论 x 怎样变化，y 为常数 [答案] D
α1 α2＋α3 α1 α2＋α3 cos 3 cos 3 －sin 3 sin 3 ＝____________.
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1 [答案] －2 [解析] 如图，O1、O2、O3 为三个圆的圆心，A1、A2、A3 分别是每两个圆的交点，则
1 ∠A1PA2＋∠A2PA3＋∠A3PA1＝2(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π，
3 10 D. 2 [答案] B [解析] 设 AD＝3x，则 DB＝2x，由射影定理得
CD2＝AD·BD，∴36＝6x2，∴x＝ 6，∴AB＝5 6，
1 56 ∴CE＝2AB＝ 2 .
含详解答案
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5．已知 f(x)＝(x－2010)(x＋2009)的图象与 x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰 好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )
转 60°到 OD，则 PD 的长为________． [答案] 7
[解析] 由图可知，PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)＝3，∴PA＝ 3，∴∠AOP＝60°，
又∠AOD＝60°，∴∠POD＝120°，∵PO＝2，OD＝1，
22＋12－PD2 1 ∴cos∠POD＝ 2 × 2 × 1 ＝－2，∴PD＝ 7. 三、解答题 13．(2010·南京市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，PC 与⊙O
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相切于点 C，PC＝AC＝1，求⊙O 的半径．
[解析] 连接 OC. 设∠PAC＝θ.因为 PC＝AC，所以∠CPA＝θ，∠COP＝2θ. 又因为 PC 与⊙O 相切于点 C，所以 OC⊥PC. 所以 3θ＝90°.所以 θ＝30°. 设⊙O 的半径为 r，在 Rt△POC 中，
8．(09·天津)如图，AA1 与 BB1 相交于点 O，AB∥A1B1 且 AB＝2A1B1.若△AOB 的外接 圆的直径为 1，则△A1OB1 的外接圆的直径为______________．
[答案] 2 1
[解析] ∵AB∥A1B1 且 AB＝2A1B1，∴△AOB∽△A1OB1，∴两三角形外接圆的直径之 比等于相似比，
1 A.2
2 B. 2
3 C. 3
3 D. 2
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[答案] B [解析] ∵Dandelin 双球与平面 π 的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于
椭圆的短轴长，
cc
c2
∴2b＝2c，∴e＝a＝ b2＋c2＝ 2c＝ 2 .
二、填空题
7．如图，PT 切⊙O 于点 T，PA 交⊙O 于 A、B 两点，且与直径 CT 交于点
A．4 B．5 C．6 D．7 [答案] C
[解析] 由条件知 AF＝2，BF＝BE＝1，
1
1
∴S△ADE＝2AE×DF＝2×4×3＝6，
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∵CE∥DB，∴S△DBC＝S△DBE，∴S 四边形 ABCD＝S△ADE＝6. 3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O′相交于 A 和 B，PQ 切⊙O 于 P，交⊙O′于 Q 和 M，交 AB 的延长线于 N，MN＝3，NQ＝15，则 PN＝( )
A．(0,1) B．(0,2)
2010 C．(0， 2009)
2009 D．(0， 2010) [答案] A [解析] 由题意知圆与 x 轴交点为 A(2010,0)， B(－2009,0)，与 y 轴交点为 C(0，－2010×2009)，D(0，y2)．设圆的方程为： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 令 y＝0 得 x2＋Dx＋F＝0，此方程两根为 2010 和－2009，∴F＝－2010×2009 令 x＝0 得 y2＋Ey－2010×2009＝0 ∴－2010×2009×y2＝－2010×2009 ∴y2＝1，故选 A. [点评] 圆与 x 轴交点 A(2010,0)，B(－2009,0)与 y 轴交点 C(0，－2010×2009)， D(0，y2)， ∵A、C、B、D 四点共圆，∴AO·OB＝OC·OD， ∴OD＝1，∴y2＝1. 6．设平面 π 与圆柱的轴的夹角为 β (0°<β<90°)，现放入 Dandelin 双球使之与圆柱面 和平面 π 都相切，若已知 Dandelin 双球与平面 π 的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径， 则截线椭圆的离心率为( )
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(1)求 PF 的长度． (2)若圆 F 与圆 O 内切，直线 PT 与圆 F 切于点 T，求线段 PT 的长度． [解析] (1)连结 OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系， 结合题中条件弧长 AE 等于弧长 AC 可得 ∠CDE＝∠AOC， 又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP， 从而∠PFD＝∠OCP，故△PFD∽△PCO，
[答案] 4 3 [解析] (1)由切割线定理 PC2＝PA·PB，
∴PA＝2，∠ACP＝∠B＝30°，
2
4
在△PAC 中，由正弦定理sin30°＝sin∠PAC，
∴sin∠PAC＝1，
∴∠PAC＝90°，从而∠P＝60°，∠PCB＝90°， ∴BC＝ PB2－PC2＝ 82－42＝4 3.
11．(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C，各段弧所在 的圆经过同一点 P(点 P 不在 C 上)且半径相等，设第 i 段弧所对的圆心角为 αi(i＝1,2,3)，则
A．3 B. 15 C．3 2 D．3 5 [答案] D [解析] 由切割线定理知：
PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45， ∴PN＝3 5. 4．如图，Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，CD＝6，且 ADBD＝32，则斜边 AB 上的中线 CE 的长为( )
A．5 6 56
B. 2 C. 15
D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则 PB＝________.
[答案] 15 [解析] 由相交弦定理得 DC·DT＝DA·DB，则 DT＝9.
由切割线定理得 PT2＝PB·PA，即(PB＋BD)2－DT2＝PB(PB＋AB)．又
BD＝6，AB＝AD＋BD＝9，∴(PB＋6)2－92＝PB(PB＋9)，得 PB＝15. 1
∴△A1OB1 的外接圆直径为 2. 9．如图，EB、EC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点，A、D 是⊙O 上两点，如果 ∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是________．
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[答案] 99° [解析] 连接 OB、OC、AC，根据弦切角定理得， ∠EBC＝∠BAC，∠CAD＝∠DCF，