第四章 晶体定向和晶面符号

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二、何谓晶体定向
晶体定向：就是在晶体上建立坐标系统,即选定坐标轴 （晶轴）和确定各晶轴上单位长（轴长）之比（轴率）
组成要素：
晶轴 交于晶体中心的三条直线 分别表示为X Y Z
轴角 各晶轴正端之间的夹角
＝YZ；＝ZX；＝XY
轴率 各晶轴上的轴单位之比 a:b:c


why？ 三轴坐标系
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整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
b0
b1
b2
(010)
晶面指数为简单整数.
ao
为什么?
因为指数越简单的 晶面对应到内部结构是
a1
面网密度大的面网,而面
网密度大的面网容易形
成晶面,所以实际晶体上
的晶面就是晶面指数简
单的晶面。
b3
y
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五、晶棱符号、晶带与晶带定律
1、晶棱符号：表征晶棱方向的 符号，所有平行的晶棱具有 同一个晶棱符号。
晶轴 行列，轴单位 结点间距
高级晶轴 a:b:c=1 中级晶轴 a:c 低级晶轴 a/b:1:c/b
3
4
三轴定向和四轴定向的比较
5
在三个行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ),这些参数就构成了 三个晶轴上的轴单位和晶轴之间的夹角.
晶体外形不可能知道轴单位,但根据对称性可以知道轴单位之 间的比值关系,即： a:b:c
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各晶系的晶体几何常数特点
8
三、晶体定向的原则
1、晶轴的选择
应当符合晶体所固有的对称性
对称轴
对称面的法线
平行晶棱
尽可能使 ===90, a=b=c
2、步骤
高次轴 L2 P 法线 显著晶棱
9
3
等轴晶系a=b=c ===90
.
各
3L4或3Li4或3L2
a b c轴
晶 系
c 直立，b 左右，a 前后
第四章 晶体的定向和晶面符号
晶体定向的概念 晶体定向的原则 晶系的定向法则 晶面符号 晶棱符号 晶带定律和晶带符号
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一、为何要进行晶体定向
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
要了解晶体的具体形态，只知道对称型是不够的
晶体的具体形态取决于晶体的晶面在空间的方位， 亦即晶面与对称要素之间的关系
p = OX/a, q = OY/b, r = OZ/c 其倒数比 1/p:1/q:1/r = h : k : l 晶面指数(米氏指数): 取h:k:l的 最简单整数比, 此时的h, k, l就称 为晶面指数;
注意正负之分。 截距系数的倒数比
(321)
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举例: 某晶面在X,Y,Z轴上的截距
为2a,3b,6c, 那么截距系 数为2, 3, 6, 其倒数比为 1/2:1/3:1/6=3:2:1, 去掉比 例符合，写做(321),这就 是该晶面的米氏符号.
例如, 等轴晶系的 a:b:c =? 四方晶系的 a:b:c =?
我们将a:b:c 称为轴率, α,β,γ称轴角,轴率与轴角统称晶体
常数.
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各晶系的晶体几何常数特点
等轴晶系：a = b = c， = = = 90； 四方晶系：a = b ≠ c， = = = 90； 三方和六方晶系：a = b ≠ c， = = 90， =
交可决定一可能晶带(晶棱).
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3、晶带方程应用
即：任一属于[u v w]晶带的晶面(h k l)，必定有： h u + k v + l w = 0 晶带方程
简单的证明： 三维空间的一般平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0 系数A、B、C决定该平面的方向，常数项D决定距原点 的距离。 那么过坐标原点且平行于(h k l)的平面方程则可以表达 为
U+
Z+
－
(1121)
－-
Y+
(1010)
X+
E
根据四轴定向时3个水平结晶轴的正端互成
U
P2
120交角的关系，应当有：p1+p2 p1
P2 上式两端同除以p1
––p––2 – = –p–3
P2 P1 P3
Y B
1 +1 1=
p2 p1 p3
h+k+i=0
D
即：3个水平结晶轴相应的晶面指数，它们
A X
晶面的米氏符号 由英国人Miller（1839）创立 用晶面在3个结晶轴上的截距系数的倒数比来表示
晶面指数 (hkl) (hkil) 按x、y、z轴顺序，不得颠倒！ 晶轴有正负方向，指数的负号写在上面 晶面可与晶轴垂直, 平行或斜交
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Ӂ晶面符号的产生
晶体上任意一个晶面，若它在 三个结晶轴x轴、y轴、z轴上的 截距依次为OA、OB、OC, 已知 轴率为a∶b∶c，则该晶面在晶 轴上的截距系数p, q, r分别为:
__ 111
_ 101
_
111
_
011
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四轴定向的晶面符号（- hkil)
用(h k i l)的形式表达，指数的排列顺
序依次为X、Y、U和Z轴，轴率为
1:1:1:C，C=c/a 从数学角度来看，3个水平结晶轴中必 有1个是多余的，三者之间具有某种的 关系，由其中的任意两者必能确定第 三者。
－
(1011)
的代数和永远为0
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应当说明，在实际晶体的晶面符号计算工 作中，我们并不是真正去测量每一晶面在各个结 晶轴上截距的具体长度，然后据以来求晶面符号 的。在实际工作中，都是根据晶体测量所得出的 各个晶面的极坐标值。计算出晶面法线与三个结 晶轴间的夹角θx，θy，θz，由于角距与截距间有 如下的关系: cosθx:cosθy:cosθz=1/OX:1/OY:1/OZ 因而可由下式直接求出晶面指数： h:k:l= cosθx:cosθy:cosθz
三斜晶系
以三个主要的晶棱方向为X、Y、Z轴
a=b≠c
= = 90 = 120
a≠b≠c
= = = 90
a≠b≠c
= = 90 > 90
a≠b≠ c
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四、晶面符号
代表晶面空间方位的符号 只涉及晶面在空间的方位与晶体的大小无关 是根据晶面(或晶体中平行于晶面的其他平面） 与各结晶轴的交截关系，用简单的数字符号形式 来表达它们在晶体上方位的一种晶体学符号。
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考察晶体模型晶面的晶面符号：
Cube
(001) (100) (010)
Octahedron
(111) (111)
Dodecahedron
(111)
(111)
101
011
_
110
110
_
_
101
011
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All three combined:
001
_
101
111
011 111
_ 110
100
010 110
a 轴左前—水平朝正前偏左30
u 轴左后—水平朝正后偏左30
X
Y a=bc ==90 =120 15
L44L25PC
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3L23PC
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晶系
选轴原则
晶体常数特点
等轴晶系 四方晶系
以互相垂直的3L4或3Li4或3L2为X、Y、 Z轴 L4或Li4为Z轴,以垂直Z轴，并互相垂 直的L2或P的法线为X、Y轴
注意：三个晶轴上的轴单位 不一定相等，所以，截距 系数与截距不一定成正比。
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思考 单斜晶系的正长石晶体。其 对称型为2/m(L2PC)，我们以L2方向 作为结晶轴Y轴，以 m、a、b等晶面 的交棱方向为 Z 轴，而以c、n、b等 晶面的交棱方向为 X 轴；正长石晶 体结构中相应方向上行列的重复周期， 亦即晶胞的三根棱长为a=0.860nm， b=1.306nm，c=0.719nm，此时晶面a在三个结晶轴上的截距 (指截距，不是指截距系数)之比为2.270:1.148:∞，求a的晶 面符号。 轴率a:b:c=0.6585:1:0.5554 截距系数之比 2.270/0.6585:1.148/∞ /1:0.5554
c 直立，b 左右 a 前后但向前下方倾斜 使>90
abc ==90 >90
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三斜晶系
选择3个显著的、而且相互间较接 近于90的晶棱方向作为a b c轴
c 直立， b 左右并朝右下方倾斜 a 大致前后方向并使之朝前下方倾斜
使>90,>90， 则可为钝角，亦可为锐角
h:k:l=0.6585/2.270:1/1.148:0.5554/∞=0.2904:0.8712:0=1:3:0
其他各晶面都可利用相同的关系式，根据各自的截距比，求 出相应的晶面符号。
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晶面符号的含义和规律
晶晶面面符指号数中有不正能负同之时分出(h现k数-l字) 和符号
晶面与结晶轴平行时，相应的晶面指数为0 晶面指数的绝对值越大，表示晶面在相应结晶轴上的 截距系数值（绝对值）越小 两个晶面指数的绝对值相等，且相对应的两个结晶轴 的轴单位也相等时，则晶面与此二结晶轴等角度相交 同一晶体中，晶面指数的绝对值全部相等，而正、负 号恰好全部相反的两晶面必相互平行
hx+ky+lz=0 因(h k l)晶面属于[u v w]晶带, 故直线[u v w]上的任一点 均满足平面方程, 即用u, v, w替代x, y, z, 便得到上述的 晶带方程。
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• 1、已知两个晶面，求包含此二晶面的晶带之符号如二已知 晶面(hkl)和(mnp)，其交棱（即晶带）的符号[rst]为：
a=b=c
= = = 90
a=b≠c
= = = 90
三方晶系 及六方晶系
斜方晶系
单斜晶系
以L3或 L6 或Li6 为Z轴，以垂直Z轴并 彼此交角120°的L2或P法线为X、Y、
U
书上表5-1要熟记
以互相垂直的L2或P的法线为X、Y、 Z轴
以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴 的主要晶棱方向为X、Z轴
abc 90
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Leabharlann Baidu
三方晶系和六方晶系
U
晶体的四轴定向
Y
对称特点：晶体中唯一的高次轴为L3
或L6
X
选择1个直立结晶轴和3个水平结晶轴
L3/L6 c轴，3L2120 / 3P 120/3晶棱120
a b u轴
Z
a b u 轴正向之间的夹角为120
c 轴上下直立
b 轴左右水平，右正左负
晶
体
的
定
向
方
法
10
四方晶系
1L4 c轴 2L2 /2P法线/2晶棱 a b轴
c 直立，b 左右， a 前后
a=bc ===90
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斜方晶系
3L2 a b c 轴 1L2 c轴 2P法线 a b 轴
c 直立，b 左右， a 前后
abc == =90
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单斜晶系
1L2/1P法线 b轴, 2晶棱 a c轴
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晶带符号
例如 – (110), (100), (110),
(010)…的交棱相互平行， 组成一个晶带; 直线CC’ 即可表达为此晶带的晶带 轴 – 此组晶棱的符号,即该晶 带轴的符号，为[001] （或者[001]）晶带
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晶带: 交棱相互平行的一组晶面. 晶带轴: 移至过晶体中心的一条交棱。 晶带符号：交棱的晶棱符号. 举例: 立方体, 菱形十二面体 晶体上的晶面是以晶带的形式发育的. 晶带定律:晶体上任一晶面至少属于两个晶带。 任两晶带(晶棱)相交可决定一可能晶面,任两晶面相
120；
三方晶系菱面体格子：a = b = c， = =
60 90 10928’16’’
斜方晶系：a ≠ b ≠ c， = = = 90； 单斜晶系：a ≠ b ≠ c， = = 90， > 90； 三斜晶系：a ≠ b ≠ c， ；
r = 0×0-1×0 =0，s = 0×0-1×0 =0，t = 1×1-0×0 =1，即此晶带
因为：hr+ks+lt=0 ，mr+ns+pt=0 解联立式(1)和式(2)的方程组，可得
r:s:t=(kp-nl):(lm-ph):(hn-mk) 上式右方可用行列式表示：
或写作：
此式较易记忆，即将每一晶面的指数依次写两次，将两晶 面的指数写成上下两行，用竖线隔开，并删去左右两列，然后 交叉相乘并依次取其乘积之差。现举例说明如下： 例如，求晶面（100）和晶面（010）所决定的晶带。
之间的比较
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2、晶带: (zone) 彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合。
晶带轴(zone axis) 用以表示晶带方向的一根直线，它平行于该晶带中的 所有晶面，也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交 棱方向。
晶带符号(zone symbol) 在晶体上用相应的晶带轴(晶棱)符号来表示。
一个晶体上有多少个方向的晶棱，就有多少个晶带 ，实际晶体上的晶带是为数不多的。
• 晶棱符号只涉及方向, 不涉及 具体位置。
• 截距系数比：表达为[rst]
r:s:t = MR/a : MK/b : MF/c
• [r s t] = [r s t]
此例：[rst] = [123]
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四轴定向时的晶棱符号 • 以[u v m w]的形式表达 • 也有三指数形式: [u v w] • 四指数和三指数