正余弦定理复习课课件

2 2 2
则 a2＝(b＋c)2－bc，又 a＝2 3，b＋c＝4， 1 有 12＝4 －bc，则 bc＝4，故 S△ABC＝ bcsin A＝ 3. 2
2
5 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且 cos 4 B＝ ，b＝2. 5 (1)当 A＝30°时，求 a 的值； (2)当△ABC 的面积为 3 时，求 a＋c 的值． 解 4 3 (1)因为 cos B＝ ，所以 sin B＝ . 5 5
考向二 利用余弦定理解三角形 【例 2】►在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 cos B b ＝－ . cos C 2a＋c (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积． cos B b [审题视点] 由cos C＝－ ，利用余弦定理转化为边的关系 2a＋c 求解．
a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab .
1 1 1 abc 1 3．S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B＝ 4R ＝2(a＋b＋c)· r(R 是三 角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
如何选择正余弦定理解三角形
a2＋c2－b2 解 (1)由余弦定理知：cos B＝ ， 2ac a2＋b2－c2 cos C＝ . 2ab cos B b 将上式代入 ＝－ 得： cos C 2a＋c a2＋c2－b2 2ab b ， 2 2 2＝－ 2ac · a ＋b －c 2a＋c 整理得：a2＋c2－b2＝－ac. a2＋c2－b2 －ac 1 ∴cos B＝ ＝ ＝－ . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角，∴B＝ π. 3
2 (2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝ π 代入 b2＝a2＋c2－2accos B，得 3 b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
1 ∴13＝16－2acLeabharlann Baidu1－2，∴ac＝3.
1 3 3 ∴S△ABC＝ acsin B＝ 2 4 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边 进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程 思想在解题过程中的运用．
无解 一解 两解 一解
a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b
a≥b
【例 1】在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°.求角 A，C 和边 c. [审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正 弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．
a b 3 2 解 由正弦定理得sin A＝sin B，sin A＝sin 45° ， 3 ∴sin A＝ . 2 ∵a＞b，∴A＝60° 或 A＝120° . 6＋ 2 bsin C 当 A＝60° 时，C＝180° －45° －60° ＝75° ，c＝ sin B ＝ 2 ； 6－ 2 bsin C 当 A＝120° 时， C＝180° －45° －120° ＝15° ， c＝ sin B ＝ 2 .
a b a 10 由正弦定理 ＝ ，可得 ＝ ， sin A sin B sin 30° 3 5 所以 a＝ . 3
1 3 (2)因为△ABC 的面积 S＝2ac· sin B，sin B＝5， 3 所以 ac＝3，ac＝10. 10 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B， 8 得 4＝a ＋c －5ac＝a2＋c2－16，即 a2＋c2＝20.
2Rsin ， B c＝ 2Rsin C ；
a b c ， sin B＝ ，sin C＝ 等形式，以解决不同的三 2R 2R 2R
角形问题．
2．余弦定理：a2＝ b2＋c2－2bccos A
2 2 c2＝a ＋b －2abcos C
，b2＝ a2＋c2－2accos B ，
b2＋c2－a2 ．余弦定理可以变形为：cos A＝ 2bc ，
思考：本题还可以用其他方法解决吗？
总结：当所给方程中既有边又有角时， 我们要灵活应用正余弦定理的变形公式 进行边角互化，以减少方程中的未知数以便于解方程。
清学稿 1．在△ABC 中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则 c 等于( A．5 2 10 6 C. 3 解析 B．10 2 D．5 6 )．
2 2
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40. 所以 a＋c＝2 10.
课堂小结
今天你有什么收获？
（1）掌握正余弦定理的内容及变形公式 （2）能灵活选择正余弦定理解三角形 （3）已知三角形两边及其中一边对角时三角形可能会出现一解、两解、无解 （4）灵活应用三角形面积公式求三角形面积
第6讲 正弦定理和余弦定理
【学习目标】 1．掌握正余弦定理及其变形公式的内容． 2．会利用正、余弦定理解决与三角形面积有关的问题． 3．会灵活利用正、余弦定理解任意三角形．
自学指导 1．正弦定理： a b c ＝ ＝ ＝2R，其中 R 是三角形外接 sin A sin B sin C
圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ (3)sin A＝
a 由 A＋B＋C＝180°，知 C＝45°，由正弦定理得： ＝ sin A
10 c c 10 6 ，即 3＝ 2.∴c＝ . sin C 3 2 2 答案 C
2．已知△ABC 三边满足 a2＋b2＝c2－ 3ab，则此三角形的最大 内角为________．
解析
∵a2＋b2－c2＝－
a2＋b2－c2 3 3ab，∴cos C＝ ＝－ ， 2 2ab
思考1：本题可以用余弦定理解决吗？
思考2：如果将例题中的“ a 结果有何不同？
3
a 1 ”改为“
”
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦 定理代入求解即可．当然也可以用余弦定理解决。 (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边 的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
4.已知 A，B，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为 a，b， c，且 2cos2 A ＋cos A＝0. 2
(1)求角 A 的值； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
A 解 (1)由 2cos ＋cos A＝0，得 1＋cos A＋cos A＝0， 2
2
1 2π 即 cos A＝－2，∵0＜A＜π，∴A＝ 3 . 2π (2)由余弦定理得，a ＝b ＋c －2bccos A，A＝ ， 3
１．已知三边 选择
余弦
定理
２．已知两边夹一角
３．已知两边及一边对角
选择
选择
余弦
正弦或余弦 正弦
定理
定理
４．已知一边两角
选择
定理
4． 已知两边和其中一边的对角， 解三角形时， 注意解的情况． 如 已知 a，b，A，则 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角
三角形 ABC 中已知 a,b,A 当 A 为锐角时，三角形解的个数 关系 式 解的 个数
故 C＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°
(1)(4) 3.根据下列条件解三角形时，会出现唯一解的有______
(1)a 30, b 25, A 135(2)a 7, b 8, A 120 (3)a 14, b 16, A 45(4)a 9, b 8, A 30