1.2.1(2)常数与幂函数的导数,导数公式表
基本初等函数的导数公式及导数
基本初等函数的导数公式及导数导数是微积分的重要概念之一，它描述了函数变化的速率。
在基本初等函数中，我们可以通过一些公式来求得其导数。
下面将介绍基本初等函数的导数公式及导数。
1.常数函数的导数公式及导数：对于常数函数f(x)=c，其中c为常数，它的导数为f'(x)=0。
即常数函数的导数始终为0。
2.幂函数的导数公式及导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 为实数，它的导数为 f'(x) =nx^(n-1)。
即幂函数的导数是幂次减1乘以系数。
特别地，对于任意实数a，常数函数f(x)=a的导数为f'(x)=0。
3.指数函数的导数公式及导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 为正实数且a ≠ 1，它的导数为 f'(x) = a^x * ln(a)。
即指数函数的导数与函数本身成比例，比例常数为 ln(a)。
4.对数函数的导数公式及导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其中 x > 0，它的导数为 f'(x) =1/x。
即对数函数的导数恒为 1/x。
5.三角函数的导数公式及导数：(1) 正弦函数的导数公式及导数：f(x) = sin(x) 的导数为 f'(x) = cos(x)。
(2) 余弦函数的导数公式及导数：f(x) = cos(x) 的导数为 f'(x) = -sin(x)。
(3) 正切函数的导数公式及导数：f(x) = tan(x) 的导数为 f'(x) = sec^2(x)。
(4) 余切函数的导数公式及导数：f(x) = cot(x) 的导数为 f'(x) = -csc^2(x)。
6.反三角函数的导数公式及导数：(1) 反正弦函数的导数公式及导数：f(x) = arcsin(x) 的导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 反余弦函数的导数公式及导数：f(x) = arccos(x) 的导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
原创1：1.2.1常数函数与幂函数的导数
∴切线方程为－ ＝－ (－2)，
即：＋－ =
练习2：求抛物线＝ 在点(4， )处的切线方程．
1
49
解：设切点(x0 , y0 ),
切点为(1， )或(7, ),
4
4
1
又切线k y ' x0 ,
1
1
2
1 2
切线方程：y ( x 1)
′＝＋，
曲线过点(2，－1)的切线的斜率为＋＝
又曲线过点(2，－1)
所以＋＋＝－.
练习：已知抛物线＝＋＋通过点(1,1)，且在点(2，－
1)处与直线＝－相切，求、、的值．
++ =1
解：由ቐ 4 + = 1
4 + 2 + = −1
x
x
2
y
2
x
x
x
f ( x) ( x 2 ) ' lim
lim
lim (2 x x) 2 x.
x 0 x
x 0
x 0
x
公式三：（x ）
' 2x
2
二、几种常见函数的导数
4) 函数 = () = /的导数.
1
解 : y f ( x) ,
二、几种常见函数的导数
3) 函数 = () = 的导数.
解:
y f ( x) x 2 ,
y f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 2 x x x 2 ,
y
2 x x x 2
高中常见函数的导数公式表
高中常见函数的导数公式表1. 常数函数常数函数f(f)=f的导数为f′(f)=0。
2. 幂函数幂函数f(f)=f f的导数为f′(f)=ff f−1。
3. 指数函数指数函数f(f)=f f的导数为$f'(x) = a^x\\ln(a)$。
4. 对数函数自然对数函数$f(x) = \\ln(x)$的导数为$f'(x) = \\frac{1}{x}$。
5. 三角函数•正弦函数$f(x) = \\sin(x)$的导数为$f'(x) = \\cos(x)$。
•余弦函数$f(x) = \\cos(x)$的导数为$f'(x) = -\\sin(x)$。
•正切函数$f(x) = \\tan(x)$的导数为$f'(x) =\\sec^2(x)$。
•余切函数$f(x) = \\cot(x)$的导数为$f'(x) = -\\csc^2(x)$。
•正割函数$f(x) = \\sec(x)$的导数为$f'(x) =\\sec(x)\\tan(x)$。
•余割函数$f(x) = \\csc(x)$的导数为$f'(x) = -\\csc(x)\\cot(x)$。
6. 反三角函数•反正弦函数$f(x) = \\arcsin(x)$的导数为$f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
•反余弦函数$f(x) = \\arccos(x)$的导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
•反正切函数$f(x) = \\arctan(x)$的导数为$f'(x) = \\frac{1}{1+x^2}$。
•反余切函数$f(x) = \\arccot(x)$的导数为$f'(x) = -\\frac{1}{1+x^2}$。
•反正割函数$f(x) = \\arcsec(x)$的导数为$f'(x) = \\frac{1}{|x|\\sqrt{x^2-1}}$。
[精品课件]高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软件的应
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3．已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则 a ＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， ∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得 a＝1. 【答案】 1
1 A.10
B．10
C．10ln 10
1 D.10ln 10
【解析】 ∵f′(x)＝10xln 10，∴f′(1)＝10ln 10.
【答案】 C
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
y′＝________
y＝logax (a＞0，a≠1，x＞0)
y＝ln x y＝sin x y＝cos x
y′＝________
y′＝________ y′＝________ y′＝________
课件11：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
x；(4)y＝ log1 x . 3
解：(1)y′＝(lg x)′＝xln110.
(2)y′＝12x′＝12xln 12＝－12xln 2.
(3)y′＝(x
x)′＝(
x
3 2
)′＝32
x
1 2
＝32
x.
1
1
(4)y′＝( log1 x )′＝ 1＝－xln 3.
3
xln 3
类型2：求函数在某点处的导数
∴x0＝116，∴y0＝14. 则所求切线方程为 y－14＝2x－116，即 16x－8y＋1＝0.
(2)设切点 P1(x1，
x1)，则切线斜率为
y
x x1
＝ 2
1， x1
∴切线方程 y－ x1＝2 1x1(x－x1)，
又切线过点 P(0，1)，∴1－ x1＝2 1x1(－x1)，
即 x1＝2，x1＝4.
C．若 y＝1x，则 y′＝－x12
D．若 y＝
x，则
y′＝
x 2
【解析】 ∵(cos x)′＝－sin x，∴A 不正确； ∵(sin x)′＝cos x，∴B 不正确； ∵( x)′＝21 x，∴D 不正确．
【答案】C
2．给出下列命题： ①y＝ln 2，则 y′＝12； ②y＝x12，则 y′|x＝3＝－227； ③y＝2x，则 y′＝2xln 2； ④y＝log2x，则 y′＝xln1 2； 其中正确命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
＝1x、y＝ x的导数公式推导及基本初等函数的导数公式的 应用．
知识1：常用函数及基本初等函数的导数公式
问题导思： 如何用定义求函数 y＝f(x)＝C 的导数？类似地你
能求出函数 y＝f(x)＝x，y＝f(x)＝x2，y＝f(x)＝1x，y＝f(x) ＝ x的导数吗？
高中常用导数公式表除法法则图片素材
高中代数导数公式表
一、常用导数公式
1.常数函数的导数公式：$ C’ = 0 $
2.幂函数的导数公式：$ (x^n)’ = nx^{n-1} $
3.指数函数的导数公式：$ (a^x)’ = a^x\ln{a} $，其中
$ a > 0, a
eq 1 $
4.对数函数的导数公式： $ (\log_a{x})’ =
\dfrac{1}{x\ln{a}} $
5.三角函数的导数公式： $ (\sin{x})’ = \cos{x} $,
$ (\cos{x})’ = -\sin{x} $, $ (\tan{x})’ = \sec^2{x} $
二、常用导数法则
1.和差法则： $ (u \pm v)’ = u’ \pm v’ $
2.积法则：$ (uv)’ = u’v + uv’ $
3.商法则： $ \left(\dfrac{u}{v}\right)’ = \dfrac{u’v -
uv’}{v^2} $
4.复合函数求导法则：$ (f(g(x)))’ = f’(g(x)) \cdot g’(x)
$
以上是高中常用的导数公式和导数法则，熟练掌握这些内
容对于解题非常有帮助。
如果你想深入学习导数，可以结合具体的例题进行练习，加深对导数的理解。
希望以上内容对你有所帮助，祝学习进步！。
数学导数与极限公式整理
数学导数与极限公式整理数学是一门抽象而又重要的学科，其中导数与极限是数学分析中的重要概念和工具。
导数描述了函数在某一点处的变化率，而极限则描述了函数在趋近某一点时的特性。
为了更好地理解与应用数学导数与极限，下面整理了相关公式。
一、导数公式1. 基本导数公式：（1）常数导数公式若f(x) = C，其中C为常数，则f'(x) = 0。
（2）幂函数导数公式若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
（3）指数函数导数公式若f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，则f'(x) = a^x * ln(a)。
（4）对数函数导数公式若f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0，且a≠1，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
（5）三角函数导数公式若f(x)为sin(x), cos(x), tan(x)中的一种，则f'(x) = cos(x), -sin(x), sec^2(x)。
2. 基本导数运算法则：（1）和差法则若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
（2）常数倍法则若f(x) = c * u(x)，其中c为常数，则f'(x) = c * u'(x)。
（3）乘法法则若f(x) = u(x) * v(x)，则f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)。
（4）除法法则若f(x) = u(x) / v(x)，则f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v^2(x)，其中v(x) ≠ 0。
二、极限公式1. 基本极限公式：（1）常数极限公式lim (c) = c，其中c为常数。
（2）幂函数极限公式当n为正整数时，lim (x^n) = a^n，其中a为实数。
常数与幂函数的导数、导数公式表PPT教学课件
求曲线 y＝4 x3在点 A(16,8)处的切线方程．
[解析]
4
3
y′＝( x3)′＝(x4
)′＝34·x－14
＝
3
4
，
4x
∴经过点 A(16,8)的切线的斜率
k＝y′|x＝16＝
3
4
＝38，
4 16
∴曲线的切线方程为 y－8＝38(x－16)
即 3x－8y＋16＝0.
•导数公式的应用
求过曲线 y＝sinx 上的点 Pπ4， 22且与在这点处 的切线垂直的直线方程．
[解析] (1)y′＝3x2.
3
(2)y＝x2
，y′＝32x12
＝23
x.
(3)∵y＝sinx，∴y′＝cosx.
(4)∵y＝x－2，∴y′＝－2x－3＝－x23.
• [方法总结] (1)应用导数的定义求导，是求 导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导 数公式求导数，可以简化求导过程，降低运 算难度，是常用的求导方法．
答案：1.ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0 函数的平均变化率 2．曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线斜率 y－y0＝ f′(x0)(x－x0)
1.常数函数的导数 常数函数 f(x)＝C 是导数 f′(x)＝(C)′＝0. 其几何意义可以理解为：曲线 f(x)＝C 在任意点处的切线与 x 轴平行或重合． 2．幂函数的导数 (1)函数 f(x)＝x 的导数 f′(x)＝1. (2)函数 f(x)＝x2 的导数为 f′(x)＝2x. (3)函数 f(x)＝1x的导数为 f′(x)＝－x12.
以上几个常见幂函数的导数，由它们的形式可以推测出幂
函数的导数公式：(xn)′＝nxn－1(n∈Q)．
课件9：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
2
2x
f′(x)＝___
f(x)＝x
原函数
1
f(x)＝x
f(x)＝ x
导函数
1
－x2
f′(x)＝_____
1
f′(x)＝_______
2 x
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝c
0
y′＝____
y＝xn(n∈N＋)
nx
y′＝______
y＝xμ(x>0，μ≠0 且 μ∈Q)
y′＝_______
1
4 3
x
(1)y＝sin3；(2)y＝5 ；(3)y＝x3；(4)y＝ x ；(5)y＝log3x.
x
x
(2)y′＝(5
)′＝5
ln 5；
解：(1)y′＝0；
1
(3)y′＝x3′＝(x－3)′＝－3x－4；
x
4 3
(4)y′＝( x )′＝
3
4
1
3x 4
3
由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，
所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，
只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧
上
的一点，
因此点 P 是抛物线上平行于直线 AB 的切线的切点，
由图知点 P 在 x 轴上方，y＝ x，y′＝
1
由题意知 kAB＝2.
1
1
∴kl＝
y＝ln x
1
y′＝______
x
问题探究
探究点一
问题1
求导函数
怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？
Δy
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软
故f′(x)>1时,有0<x< 1 .
ln 3
答案: ( 0， 1 )
ln 3
1199
类型一 利用导数公式求函数的导数
【典例】1.下列函数求导运算正确的个数为
①(3x)′=3xlog3e;
② (log2x)′=
③ l n 1=x x ;
;1
x ln 2
()
2200
④若y= 1,则在x=3处的导数为- . 2
1133
【自我检测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)(sinx)′=-cos x. ( )
(2)
(1 x
).
1 x2
(
)
(3)(log5x)′=
. 1(
5 ln x
)
(4)(lnx)′= . ( 1 )
x
1144
提示:(1)×.(sin x)′=cos x.
(2)×. ( ′1=) (x-1)′=-x-2=- . 1
x
1 x2
1111
2.关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)幂函数f(x)=xα中的α可以由Q*推广到任意实数. (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号) 正同余反”.
1122
(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然 对数. (4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. (5)注意区分幂函数f(x)=xα与指数函数f(x)=ax的导数.
44
(4)若y=f(x)=x3,则f′(x)=___. 3x2
(5)若y=f(x)= (6)若y=f(x)=
1
,则1x f′(x)=____= ____x(x2 ≠0). -x-2
学案7：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用~1.2.3 导数
1.2.1 常数函数与幂函数的导数~ 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用~1.2.3 导数的四则运算法则学习目标1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数． 基础知识1．基本初等函数的导数公式表(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．做一做1－1 给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y＝1x 2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 做一做1－2 下列结论中正确的是( )． A ．(log a x )′＝a x B ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5x ln 5 2．导数的四则运算法则 (1)函数和(或差)的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________． (2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝________________. 名师点拨(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分． (2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ). (3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则． (4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x ，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 做一做2 下列求导运算正确的是( )． A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y′x ＝y′u ·u ′x . 即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 知识拓展对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 做一做3 函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________． 重点难点1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数． 2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1. 典型例题题型一 利用公式求函数的导数 例题1 求下列函数的导数： (1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x4)．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 例题2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)y ＝x －1x ＋1.反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误． 题型三 求复合函数的导数 例题3 求下列函数的导数： (1)y ＝(2x ＋1)n (x ∈N ＋)； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫x1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)； (4)y ＝x cos x 2.反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环． 题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键． 例题4 求函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数．错解：y′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x )． 随堂练习1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝x B ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos x C ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin x D ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos x x 的导数是( )．A ．－sin xx 2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos x x 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )． A ．121＋a ＋121－x B ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.参考答案基础知识·梳理1．nx n－1a x ln a1x ln a cos x－sin x做一做1－1 【答案】B由求导公式可知，①③④⑥正确．做一做1－2 【答案】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )做一做2 【答案】B由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x 2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 做一做3 【答案】y′＝22x ＋3【解析】函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数， 于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟例题1 解：(1)y′＝(x x )′＝⎝⎛⎭⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y′＝(5x 3)′＝⎝⎛⎭⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2 x 4＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2 x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y′＝cos x .例题2 解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′ ＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x ·sin x cos x ′＝(x ·sin x )′·cos x －x ·sin x (cos x )′cos 2x ＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2x cos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2xcos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x .(3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11. (4)方法1：y′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.方法2：y ＝1－2x ＋1，y′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.例题3 解：(1)y′＝[(2x ＋1)n ]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1. (2)y′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 5′＝5·⎝⎛⎭⎫x 1＋x 4·⎝⎛⎭⎫x 1＋x ′＝5x 4(x ＋1)6. (3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′ ＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′ ＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′ ＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)． (4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x ＝cos x 2－2x 2sin x2.例题4 错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u 与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x ×(－1)＝－e －x ， 所以y′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固 1．【答案】D 2．【答案】B【解析】f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 3．【答案】C【解析】y′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·x ′x 2＝－x sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2. 4．【答案】D【解析】由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′ ＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x.5．【答案】－3 9【解析】∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－2(4a ＋b )＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.。
1.2.2常数导数与导数公式表
x x x x
x x x x x x x x x x
1 , x x x
y 1 1 所以 y` lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x
问题 2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么，有什么 规律？
(2)∵点 P(0,1)不在曲线 y＝ x上, 故 需 设 切 点 坐 标 为 M(t,u), 则 切 线 斜 率 为 1 .…… 8 分 2 t
u－ 1 u－ 1 t－1 1 又∵切线斜率为 ,∴ ＝ ＝ , t t t 2 t ∴ 2t－ 2 t＝ t,得 t＝ 4 或 t＝ 0(舍去 ),10 分 1 ∴切点为 M(4,2),斜率为 , 4 1 ∴切线方程为 y－ 2＝ (x－4), 4 即 x－ 4y＋ 4＝ 0.12 分
1.2 常数函数与幂函数的导数 及导数公式表
基本初等函数的导数
[提出问题] 已知函数： (1)y＝f(x)＝c，(2)y＝f(x)＝x， 1 (3)y＝f(x)＝x ，(4)y＝f(x)＝x，
2
(5)y＝f(x)＝ x.
1. 函数 y f x c的导数
y f x x f x 因为 x x
y
yx
O
x
图1.2 2
3. 函数 y f x x2 的导数 y f x x f x 因为 x x x x 2 x2 x
x 2 x x x x 2 x 2 x x,
2 2
y
y x2
例2 求函数 f(x)＝
【解】
x2
2 －5 2 1 ∵ f′(x)＝ (x 3)′＝－ x 3＝－ · , 3 3 3 x5
学案10：1.2.1 常数函数与幂函数的导数 ~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
1.2.1 常数函数与幂函数的导数 ~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用学习目标1.了解基本初等函数的导数公式．2.理解函数y ＝C (C 为常数)、y ＝x 、y ＝x 2、y ＝1x 的导数公式的推导过程．3．掌握基本初等函数的导数公式的应用．新知提炼基本初等函数的导数公式表自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( )(2)因为(ln x )′＝1x ，所以⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) (3)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( )2．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定4．已知f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________．题型探究题型一 运用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3；(2)y ＝x x ；(3)y ＝2sin x 2cos x2；(4)y ＝1x 2；(5)y ＝log 3x .方法归纳用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y ＝1x4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝x 35等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 跟踪训练 1.已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________．2．求下列函数的导数： (1)y ＝1x 5；(2)5x 3；(3)y ＝3x ；(4)y ＝log 2x .题型二 求函数在某点处的导数例2 (1)求函数y ＝a x 在点P (3，f (3))处的导数； (2)求函数y ＝ln x 在点P (5，ln5)处的导数． 方法归纳求函数f(x) 在x＝x0处的导数的方法与步骤(1)由已知函数解析式先求f′(x)；(2)求f′(x0)的值．跟踪训练求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．题型三利用导数公式求曲线的切线方程例3已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．互动探究在本例中是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．跟踪训练已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．素养提升1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．失误防范在应用求导公式时应注意的问题(1)对于正余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．(2)对于公式(ln x)′＝1x和(ex)′＝e x很好记，但对于公式(log a x)′＝1x ln a(a＞0且a≠1)和(ax)′＝a x lna (a ＞0)的记忆就较难．当堂检测1．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－2)＝( )A ．4B ．14C ．－4D ．－142．曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD ．1e3．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′（2），则m ＝________．4．抛物线y ＝x 2的一条切线方程为6x －y －b ＝0，则切点坐标为________．参考答案新知提炼0 nx n－1μxμ－1a x ln a e x1x ln acos x －sin x 自我尝试1．(1)× (2)× (3)× 2．C 3．B 4．－32题型探究题型一 运用导数公式求函数的导数 例1 [解] (1)y ′＝3x 2.(2)因为y ＝x 32，所以y ′＝32x 12＝32x .(3)因为y ＝sin x ，所以y ′＝cos x . (4)因为y ＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x 3.(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 跟踪训练 1. 1【解析】因为f (x )＝ln x (x >0)， 所以f ′(x )＝1x，所以f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，所以x 0＝1.2．解：(1)y ′＝(1x 5)′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6；(2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2； (3)y ′＝3x ln 3； (4)y ′＝1x ln 2. 题型二 求函数在某点处的导数例2 [解] (1)因为y ＝a x ，所以y ′＝(a x )′＝a x ln a ，则y ′|x ＝3＝a 3ln a .(2)因为y ＝ln x ，所以y ′＝(ln x )′＝1x ，则y ′|x ＝5＝15.方法归纳求函数f (x ) 在x ＝x 0处的导数的方法与步骤 (1)由已知函数解析式先求f ′(x )； (2)求f ′(x 0)的值．跟踪训练 解：f ′(x )＝(1x )′＝(x －12)′＝－12x －12－1＝－12x －32＝－12x 3，所以f ′(1)＝－12×1＝－12，所以函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.题型三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又因为直线PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于直线PQ ， 所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.所以所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.互动探究 解：假设存在与直线PQ 垂直的切线， 因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，所以与PQ 垂直的切线斜率k ＝－1， 设切点为(x ′0，y ′0)，则y ′|x ＝x ′0＝2x ′0， 令2x ′0＝－1，则x ′0＝－12，y ′0＝14，切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0. 跟踪训练 解：设切点为(x 0，ln x 0)， 由y ＝ln x 得y ′＝1x.因为曲线y ＝ln x 在x ＝x 0处的切线为x －y ＋c ＝0，其斜率为1.所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＝1，即x 0＝1，所以切点为(1，0)．所以1－0＋c ＝0，所以c ＝－1.当堂检测1．D【解析】因为f ′(x )＝(1x )′＝－x －1－1＝－x －2，所以f ′(－2)＝－x －2|x ＝－2＝－14.2．A【解析】由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 3．－4【解析】f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .因为g ′(2)＝1f ′（2），所以m ＝－4.4．(3，9)【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)， 所以k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝6， 所以x 0＝3，y 0＝9， 即切点坐标为(3，9)．。
20-21版：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用（创新设
1.2 导数的运算 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
学习目标
1.理解各个公式的证明过程,进一步理解运用定义求导数的 方法. 2.掌握常见函数的导数公式. 3.灵活运用公式求某些函数的导数.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 课前预习 2 课堂互动 3 课堂反馈
8
2.基本初等函数的导数公式 y＝f(x)
y＝c(c为常数) y＝xn(n∈N＋) y＝xμ(x＞0,μ≠0且μ∈Q) y＝ax(a＞0,a≠1)
y＝logax(a＞0,a≠1,x＞0)
y′＝__f′___(_x_)_
y′＝__0_ y′＝ nxn－1 ,n为正整数
y′＝ μxμ－1 ,μ为有理数
1234
3 A. 6
1 C.2 x
B.0 3
D. 2
解析
∵f′(x)＝(
x)′＝21
x,∴f′(3)＝2
1
3＝
3 6.
1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
25
1234
3.设正弦曲线 y＝sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,
则直线 l 的倾斜角的范围是( A.0，π4∪34π，π C.π4，34π
y′| x＝π6
＝cosπ6＝
3 2.
1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
19
∴过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为－
2 3,
故所求的直线方程为 y－12＝－ 23x－π6,
即 2x＋ 3y－ 23－3π＝0.
1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
常数与幂函数的导数、导数公式表
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在 点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
可导与连续关系
可导必连续
如果函数在某点可导，则该函数 在该点必定连续。
连续不一定可导
即使函数在某点连续，也不一定 在该点可导。例如，函数$y = |x|$在$x = 0$处连续但不可导。
常数函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
若$f(x) = c$（$c$为常 数），则$f^{prime}(x) = 0$。
若$f(x) = x^n$（$n$为 实数），则$f^{prime}(x) = nx^{n-1}$。
若$f(x) = a^x$（$a > 0, a neq 1$），则 $f^{prime}(x) = a^x ln a$。
导函数。
如果$u = g(x)$在点$x$可导，且$y = f(u)$在点$u = g(x)$可导，则复合 函数$y = f[g(x)]$在点$x$也可导，
且其导数为$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx}$或
写作$y' = f'(u) cdot g'(x)$。
限为-1/6。
练习
求解极限lim(x->∞) (x^2 - 2x + 1) / (3x^2 + 4x + 1)，并说明求解过程中洛必达法则 的应用。
06
泰勒公式与泰勒级数
泰勒公式简介
泰勒公式定义
泰勒公式的意义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法， 通过在某点的各阶导数值来构造一个多项式， 以此多项式来近似表示该函数在该点附近的 性态。
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1.2.1＆1.2.2 常数与幂函数的导数＆导数公式表
● 学习目标：
1、 能够由定义根据求导的步骤，推导常数函数与幂函数的导数.
2、 培养学生归纳推理、探究规律的能力. ● 知识梳理： 1.前情回顾：
（1）导数公式：=)(0'
x f ；
（2）导数的几何意义：)(0'
x f 表示： ；
● 典例分析
例1试用上节学习的导数公式推导以下函数的导数:并加以记忆： （1）C C x f ,)(=为常数 （2）x x f =)(
（3）2
)(x x f = （4）x
x f 1
)(=
跟踪练习1：用导数公式推导以下函数的导数：
（1）3
()f x x = （2）()f x =
例2 利用求导公式求下列函数的导数：
（1）12
)(x x f = （2）π=)(x f （3）()f x =
（4）2log y x = （5）2sin cos 22
x x y =
跟踪练习2：
利用求导公式求下列函数的导数：
（1）5)(x x f = （2）x
x f 2)(= （3）y x =
（4）sin()2
y x π
=- （5）x x f 3log )(= （6）x x f ln )(=
例3.已知抛物线2
y x =在点P 处的切线与直线24y x =+平行，求点P 的坐标和切线方程.
跟踪练习3：
求下列函数在给定点处的切线方程：
（1）2
)(x x f =； （2,4） （2）2
)(x x f = ； 1=x ，2=x
(3) x x f cos )(=； 2
π
=x (4) x x f =)( ； 3=x
1．下列结论中正确的个数为
( )
①y ＝ln 2，则y ′＝12，②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－2
27，
③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2，④y ＝log 2x ，则y ′＝1
x ln 2
. A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．过曲线y ＝1
x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，2
B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2
C.⎝⎛⎭
⎫－1
2，－2
D.⎝⎛⎭⎫12，－2
3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于
( )
A ．4
B ．－4
C ．5
D ．－5 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有
( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．不确定
5．若f (x )＝10x ，则f ′(1)＝________.
1．抛物线y ＝1
4
x 2在点(2,1)处的切线方程是( )
A ．x －y －1＝0
B ．x ＋y －3＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x ＋y －1＝0 2．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D.1
2
3．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3
＝( )
A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 4.lim Δx →0
(1＋Δx )2－1Δx 表示( )
A ．曲线y ＝x 2的斜率
B ．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率
C ．曲线y ＝－x 2的斜率
D ．曲线y ＝－x 2在(1，－1)处的斜率 5．若y ＝cos 2π
3，则y ′＝( )
A ．－
32 B ．－12 C ．0 D.12
6．下列命题中正确的是( )
①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x ②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1 ③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①②③ 7．正弦函数y ＝sin x 上切线斜率等于1
2
的点为( )
A ．(π3，32)
B ．(－π3，－32)或(π3，32
)
C ．(2k π＋π3，32)(k ∈Z)
D ．(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，3
2)(k ∈Z)
8．给出下列函数
(1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′ (2)y ＝(sin x )′＋cos x (3)y ＝sin x ＋(cos x )′ (4)y ＝(sin x )′·(cos x )′ 其中值域不是[－2，2]的函数有多少个( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．下列结论正确的是( )
A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin x
B ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos x
C ．若y ＝1x ，则y ′＝－1
x 2 D ．若y ＝x ，则y ′＝x 2
10．已知f (x )＝x 3，则f (x )的斜率为1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不能确定 11．若函数y ＝cos t ，则y ′|t ＝6π＝____________.
12．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是____________________________． 13．曲线y ＝2x 4＋3x 的斜率等于－5的切线的方程为____________． 14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，1
2)的切线方程．
15．求抛物线y ＝14x 2过点(4，7
4)的切线方程．。