3.1恒定电流的电场
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G
S S C d d
2π ln(b / a)
又知单位长度内同轴线的电容 C
。那么，
若同轴线的填充介质具有的电导率为 ，则单位长度内
同轴线的漏电导
G 2π ln(b / a)
【例1】同轴线内外导体半径分别为a和b,其间填充介质的电导 率为 ，内外导体间的电压为U。求：①同轴线单位长度的 漏电电导；②同轴线单位长度的功率损耗。【教材例3-1】
I
dq dt
S
v
dS
电流密度：是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为正电荷的 运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。
J
dI n dS
那么，穿过任一截面 S 的电流 I 为
I J dS
S
此式表明，穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度 的通量。
如下图所示，△t时间内通过截面△S的电量为
1 2 1 1 2 2
n n
1 2 1 1 2 2
n n
qI C G
S
D dS q
l
S
J dS I
l
U E dl Cq U
U E dl GI U
本构关系
D E
J E
与静电场的讨论类似，由 E 0 可引入恒定电场的 电位函数
E
J E
J 0
由
2 0
五. 恒定电流场的边界条件
n
由电流连续性方程 S J d S 0 得出
J1
h
S
1
J1n 1
2
J1n J 2 n
2
或
n J1 J 2 0
q vt S
垂直通过横截面的电流I为
I q v S t
S
v
vt
则电流密度J为
I J v S
电流I与电流密度J的关系：
（1）J为体电流密度，且为I的偏导；I为J的积分。
（2）I描述导线内总电流的强弱，J描述导线内某点 的电流强弱。
二. 电流连续性原理
电荷守恒定律： 电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从一 个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转 移到另一部分；在转移的过程中，电荷的总量保持 不变。
l
对于横截面均匀的导体
R
代入欧姆定律积分形式可得：
dl l l l S S S l El JS S
在外源的作用下，大多数导电媒质中某点的传导电流密度 J 与该 点的电场强度 E 成正比，即
欧姆定律的微分形式
J E
式中 称为电导率，其单位为 S/m 。 值愈大表明导电能力愈强。
已知恒定电流场中的电荷分布与时间无关，
即
0 t
，由此得
S
J dS 0
J 0
此式表明，在恒定电流场中电流线是连续闭合的。 恒定电流场是无散场。
三. 欧姆定律的微分形式
由欧姆定律积分形式：
U IR
由于
I J d S JS
S
U E dl El
电导率为无限大的导体称为理想导电体。 电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质 称为理想介质。
常用材料的电导率 媒 质 银 紫 铜 电导率(S/m) 媒 质 海 水 淡 水 电导率(S/m) 4
6.17 107
5.80 107
10 3
10 5
金
铝 黄 铜 铁
3.10 107
3.54 107
2
那么，单位体积中的功率损失即热功率密度为
p EJ E 2 J
p EJ
焦耳定律 的微分形 式
设圆柱体两端的电位差为U，则 E U ，又知 J I ， dS dl 那么单位体积中的功率损失可表示为
p UI UI dS dl dV
dl
U
J
dS
可见，圆柱体中的总功率损失为
一. 电流密度
恒定电流：电荷是运动的，但是任意点的电荷分布不随时间而变 化。由恒定电流形成的电场称为恒定电场。
电 流 的 分 类 传导电流：
导体中的自由电子或者电解液中的离子在电场作用下定向运
动形成的电流。 运流电流：
电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。
电流强度：单位时间内穿过某一截面的电荷量，又简称为电流，以 I 表示，单位为A（安培）。因此，电流 I 与电荷 q 的关系为
J2
J 2n
导电媒质中恒定电流场的边界条件为
1E1n 2 E2n
n
E1t
1 a
2 d
l
1
E1
b
由环路定理 l E dl 0 得出
E2 t
E2
2
E1t E2t
或
n E1 E2 0
c
恒定电流场电流密度的切向分量满足
1
J1t
2
J 2t
由此可见，在两种导电媒质的边界上，电流密度矢量的 切向分量是不连续的，但其法向分量连续。
焦耳定律 微分形式
p EJ
积分形式
P UI
恒定电流场与静电场的静电比拟法中的对偶量
DJ
qI
C G
作业：P84
3-1 、3-2、3-3
根据这种类似性，当某一特定的静电问题的解 已知时，与其对应的恒定电流场的解可以通过对偶 量的代换直接得出；或者由于在某些情况下，恒定 电流场容易实现且便于测量时，可通过对偶量的代 换来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟法。
例如，已知面积为 S ，间距为 d 的平板电容器的电 容 C S ，若填充的非理想介质的电导率为 ，则平板 d 电容器极板间的漏电导为
第三章 恒定电流 的电场和磁场
3.1 恒定电流的电场
主要内容
电流密度J（重点） 电流连续性原理 恒定电流场的基本方程（重点） 欧姆定律、焦耳定律的微分形式 恒定电流场的边界条件 静电比拟法（难点）
学习目的
掌握恒定电流场与静电场的区别和联系 掌握电流密度J的定义及物理意义，其与电流强度I的关系 利用恒定电流场的本构关系和静电场基本知识求解恒定电流 场问题：接地电阻、漏电电导等。
a
设金属球带电量为q，由高斯定理得 金属球的表面电位为 金属球与地的电容为
U E dl
a
q q dr 2 2r 2 a
C
q 2 a U
由静电比拟法可得漏电电导为
G
接地电阻为
I 2 a U
R
1 1 G 2 a
【例3】 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如 图示。其介电常数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ， 厚度分别为 d1 和 d2 。当外加恒定电压为 U 时，试求（1） 两层介质中的电场强度；（2）单位体积中的电场储能及功 率损耗。 （3）介质分界面上的自由电荷密度。
由电荷守恒定律知：通过任意封闭曲面 S流出的电流 等于以S为边界的体积V内单位时间减少的电荷量。
I
S
J dS
q dV V t t
电流连续 性原理的 积分形式
即
S
J d S
dV V t
根据高斯定理，求得
J t
电流连续 性原理的 微分形式
设在恒定电流场中，沿电流方向取一个长度为 dl， 端面为 dS 的小圆柱体，如图所示。若在电场力作用 下，d t 时间内有 d q电荷自圆柱的左端面移至右端面， 那么电场力作的功为
dl
dW dqE dl Edqdl
dS
dt
J
电场损失的功率 P 为
P dW dq E dl EIdl EJdSdl EJdV dt dt
P pdV UI
七. 恒定电流场与静电场的比拟
对比内容 静电场
(无电荷分布)
E 0 D 0 2 0
恒定电场
E 0 J 0 0
2
对偶 量
DJ
基本方程
边界条件 积分量
D1n D2 n E1t E2t
J1n J 2 n E1t E2t
t
由欧姆定律微分形式： 恒定电流场的基本方程 积分形式
J E
J dS 0 E dl 0
S l
微分形式
J 0 E 0
恒定电场的边界条件为
J1n J 2 n
E1t E2t
1 2 1 1 2 2
n n
tg1 1 tg 2 2
D1 1E1
介质分界面 z d1 上的自由电荷
s D1 D2 2 1 1 2 U 2 d1 1d2
内容小结
电流密度 电流连续性原理
I J dS
S
S
J d S
dV V t
J
故同轴线单位长度的功率损耗为
P J EdV
v
J2
v
dV
2
0
U 2 2U 2 rdrd a b 2 b [r ln( )] ln( ) a a
b
【例2】一半球形接地金属球，半径为a,大地电导率为 ，求 接地电阻。【教材例3-3】
【解】：方法一：利用公式 R U
【解】（1） 由于电容器外不存在电 流，可以认为电容器中的电流线与边 界垂直，由边界条件 J1n J 2n 得 J1 J 2 J
U
1 1
2 2
d1
d2
E1 1 E2 2
又
E1d1 E2 d 2 U
由此求出两种介质中的电场强度分别为
E1 d1 2 d 2 1
【解】：设同轴线由内到外导体单位长度的漏电流为I ，则在半径为r处的 电流密度大小为
J I 2r
b a
( a r b)
b
U E dr
J
a
dr
I b lnห้องสมุดไป่ตู้ ) 2 a
G I 2 U b ln a
同轴线单位长度的漏电电导为
由于
I
2U U ,J b b ln( ) r ln( ) a a
2
U
E2
d1 2 d 2 1
1
U
（2）两种介质中电场储能密度分别为
1 1 2 we1 1E12 , we 2 2 E2 2 2 两种介质中单位体积的功率损耗分别为
p1 1E12 ,
2 p2 2 E2
（3）由边界条件 由于
D1n D2n s D2 2 E2
可以推导得出电位 满足的边界条件为
1 2 1 1 2 2
n n
夹角 1 ,2 满足的边界条件为 推论：
tg1 1 tg 2 2
若其中一种导电媒质为良导体时，电力线在分界面处近 似与界面平行，而在不良导体中，电力线近似与界面垂直。
六. 恒定电流场的能量损耗
I
设接地电流为 I ，则大地中的电流密度为
I 2r 2 J I E 2r 2 J
大地中的场强为
接地电阻表面的电位
U E dl
a a
I I d r 2r 2 2 a
接地电阻为
U 1 R I 2 a
方法二：利用静电比拟法
C→G →R
q E 2r 2
干 土
变压器油 玻 璃 橡 胶
10 11
10 12
1.46 107
10 7
10 15
四. 恒定电流场的基本方程
恒定电流场的环路定理与静电场相同
E dl 0
l
归纳恒定电流场的基本方程如下：
积分形式
J dS 0 E dl 0
S l
微分形式
J 0 E 0
S S C d d
2π ln(b / a)
又知单位长度内同轴线的电容 C
。那么，
若同轴线的填充介质具有的电导率为 ，则单位长度内
同轴线的漏电导
G 2π ln(b / a)
【例1】同轴线内外导体半径分别为a和b,其间填充介质的电导 率为 ，内外导体间的电压为U。求：①同轴线单位长度的 漏电电导；②同轴线单位长度的功率损耗。【教材例3-1】
I
dq dt
S
v
dS
电流密度：是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为正电荷的 运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。
J
dI n dS
那么，穿过任一截面 S 的电流 I 为
I J dS
S
此式表明，穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度 的通量。
如下图所示，△t时间内通过截面△S的电量为
1 2 1 1 2 2
n n
1 2 1 1 2 2
n n
qI C G
S
D dS q
l
S
J dS I
l
U E dl Cq U
U E dl GI U
本构关系
D E
J E
与静电场的讨论类似，由 E 0 可引入恒定电场的 电位函数
E
J E
J 0
由
2 0
五. 恒定电流场的边界条件
n
由电流连续性方程 S J d S 0 得出
J1
h
S
1
J1n 1
2
J1n J 2 n
2
或
n J1 J 2 0
q vt S
垂直通过横截面的电流I为
I q v S t
S
v
vt
则电流密度J为
I J v S
电流I与电流密度J的关系：
（1）J为体电流密度，且为I的偏导；I为J的积分。
（2）I描述导线内总电流的强弱，J描述导线内某点 的电流强弱。
二. 电流连续性原理
电荷守恒定律： 电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从一 个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转 移到另一部分；在转移的过程中，电荷的总量保持 不变。
l
对于横截面均匀的导体
R
代入欧姆定律积分形式可得：
dl l l l S S S l El JS S
在外源的作用下，大多数导电媒质中某点的传导电流密度 J 与该 点的电场强度 E 成正比，即
欧姆定律的微分形式
J E
式中 称为电导率，其单位为 S/m 。 值愈大表明导电能力愈强。
已知恒定电流场中的电荷分布与时间无关，
即
0 t
，由此得
S
J dS 0
J 0
此式表明，在恒定电流场中电流线是连续闭合的。 恒定电流场是无散场。
三. 欧姆定律的微分形式
由欧姆定律积分形式：
U IR
由于
I J d S JS
S
U E dl El
电导率为无限大的导体称为理想导电体。 电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质 称为理想介质。
常用材料的电导率 媒 质 银 紫 铜 电导率(S/m) 媒 质 海 水 淡 水 电导率(S/m) 4
6.17 107
5.80 107
10 3
10 5
金
铝 黄 铜 铁
3.10 107
3.54 107
2
那么，单位体积中的功率损失即热功率密度为
p EJ E 2 J
p EJ
焦耳定律 的微分形 式
设圆柱体两端的电位差为U，则 E U ，又知 J I ， dS dl 那么单位体积中的功率损失可表示为
p UI UI dS dl dV
dl
U
J
dS
可见，圆柱体中的总功率损失为
一. 电流密度
恒定电流：电荷是运动的，但是任意点的电荷分布不随时间而变 化。由恒定电流形成的电场称为恒定电场。
电 流 的 分 类 传导电流：
导体中的自由电子或者电解液中的离子在电场作用下定向运
动形成的电流。 运流电流：
电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。
电流强度：单位时间内穿过某一截面的电荷量，又简称为电流，以 I 表示，单位为A（安培）。因此，电流 I 与电荷 q 的关系为
J2
J 2n
导电媒质中恒定电流场的边界条件为
1E1n 2 E2n
n
E1t
1 a
2 d
l
1
E1
b
由环路定理 l E dl 0 得出
E2 t
E2
2
E1t E2t
或
n E1 E2 0
c
恒定电流场电流密度的切向分量满足
1
J1t
2
J 2t
由此可见，在两种导电媒质的边界上，电流密度矢量的 切向分量是不连续的，但其法向分量连续。
焦耳定律 微分形式
p EJ
积分形式
P UI
恒定电流场与静电场的静电比拟法中的对偶量
DJ
qI
C G
作业：P84
3-1 、3-2、3-3
根据这种类似性，当某一特定的静电问题的解 已知时，与其对应的恒定电流场的解可以通过对偶 量的代换直接得出；或者由于在某些情况下，恒定 电流场容易实现且便于测量时，可通过对偶量的代 换来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟法。
例如，已知面积为 S ，间距为 d 的平板电容器的电 容 C S ，若填充的非理想介质的电导率为 ，则平板 d 电容器极板间的漏电导为
第三章 恒定电流 的电场和磁场
3.1 恒定电流的电场
主要内容
电流密度J（重点） 电流连续性原理 恒定电流场的基本方程（重点） 欧姆定律、焦耳定律的微分形式 恒定电流场的边界条件 静电比拟法（难点）
学习目的
掌握恒定电流场与静电场的区别和联系 掌握电流密度J的定义及物理意义，其与电流强度I的关系 利用恒定电流场的本构关系和静电场基本知识求解恒定电流 场问题：接地电阻、漏电电导等。
a
设金属球带电量为q，由高斯定理得 金属球的表面电位为 金属球与地的电容为
U E dl
a
q q dr 2 2r 2 a
C
q 2 a U
由静电比拟法可得漏电电导为
G
接地电阻为
I 2 a U
R
1 1 G 2 a
【例3】 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如 图示。其介电常数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ， 厚度分别为 d1 和 d2 。当外加恒定电压为 U 时，试求（1） 两层介质中的电场强度；（2）单位体积中的电场储能及功 率损耗。 （3）介质分界面上的自由电荷密度。
由电荷守恒定律知：通过任意封闭曲面 S流出的电流 等于以S为边界的体积V内单位时间减少的电荷量。
I
S
J dS
q dV V t t
电流连续 性原理的 积分形式
即
S
J d S
dV V t
根据高斯定理，求得
J t
电流连续 性原理的 微分形式
设在恒定电流场中，沿电流方向取一个长度为 dl， 端面为 dS 的小圆柱体，如图所示。若在电场力作用 下，d t 时间内有 d q电荷自圆柱的左端面移至右端面， 那么电场力作的功为
dl
dW dqE dl Edqdl
dS
dt
J
电场损失的功率 P 为
P dW dq E dl EIdl EJdSdl EJdV dt dt
P pdV UI
七. 恒定电流场与静电场的比拟
对比内容 静电场
(无电荷分布)
E 0 D 0 2 0
恒定电场
E 0 J 0 0
2
对偶 量
DJ
基本方程
边界条件 积分量
D1n D2 n E1t E2t
J1n J 2 n E1t E2t
t
由欧姆定律微分形式： 恒定电流场的基本方程 积分形式
J E
J dS 0 E dl 0
S l
微分形式
J 0 E 0
恒定电场的边界条件为
J1n J 2 n
E1t E2t
1 2 1 1 2 2
n n
tg1 1 tg 2 2
D1 1E1
介质分界面 z d1 上的自由电荷
s D1 D2 2 1 1 2 U 2 d1 1d2
内容小结
电流密度 电流连续性原理
I J dS
S
S
J d S
dV V t
J
故同轴线单位长度的功率损耗为
P J EdV
v
J2
v
dV
2
0
U 2 2U 2 rdrd a b 2 b [r ln( )] ln( ) a a
b
【例2】一半球形接地金属球，半径为a,大地电导率为 ，求 接地电阻。【教材例3-3】
【解】：方法一：利用公式 R U
【解】（1） 由于电容器外不存在电 流，可以认为电容器中的电流线与边 界垂直，由边界条件 J1n J 2n 得 J1 J 2 J
U
1 1
2 2
d1
d2
E1 1 E2 2
又
E1d1 E2 d 2 U
由此求出两种介质中的电场强度分别为
E1 d1 2 d 2 1
【解】：设同轴线由内到外导体单位长度的漏电流为I ，则在半径为r处的 电流密度大小为
J I 2r
b a
( a r b)
b
U E dr
J
a
dr
I b lnห้องสมุดไป่ตู้ ) 2 a
G I 2 U b ln a
同轴线单位长度的漏电电导为
由于
I
2U U ,J b b ln( ) r ln( ) a a
2
U
E2
d1 2 d 2 1
1
U
（2）两种介质中电场储能密度分别为
1 1 2 we1 1E12 , we 2 2 E2 2 2 两种介质中单位体积的功率损耗分别为
p1 1E12 ,
2 p2 2 E2
（3）由边界条件 由于
D1n D2n s D2 2 E2
可以推导得出电位 满足的边界条件为
1 2 1 1 2 2
n n
夹角 1 ,2 满足的边界条件为 推论：
tg1 1 tg 2 2
若其中一种导电媒质为良导体时，电力线在分界面处近 似与界面平行，而在不良导体中，电力线近似与界面垂直。
六. 恒定电流场的能量损耗
I
设接地电流为 I ，则大地中的电流密度为
I 2r 2 J I E 2r 2 J
大地中的场强为
接地电阻表面的电位
U E dl
a a
I I d r 2r 2 2 a
接地电阻为
U 1 R I 2 a
方法二：利用静电比拟法
C→G →R
q E 2r 2
干 土
变压器油 玻 璃 橡 胶
10 11
10 12
1.46 107
10 7
10 15
四. 恒定电流场的基本方程
恒定电流场的环路定理与静电场相同
E dl 0
l
归纳恒定电流场的基本方程如下：
积分形式
J dS 0 E dl 0
S l
微分形式
J 0 E 0