2.3数学归纳法(上课)

证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。 这种证明方法就叫做___数__学_归__纳__法____。
证明一个与正整数n有关的数学命题 关键步骤如下：
(1)证明当n取第一个值n0 时命题成立
n0 N*, n0=1或n0=2或n0=3等 （基础） (2)假设当n k k N*, k n0 时,命题成立
2.3 数学归纳法
2.3 数学归纳法
课题引入
观察数列{an },已知a1
1 a2 2 ,
a3
1 3
,
1, an1
1 a4 4 ,
an 1 an
,
猜想归纳通项公式: an
1 n
不完全归 纳法
回想等差数列通项公式的推倒过程：
a2 a1 d
a1 a1 0d a2 a1 1d
a3 a2 d
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。
多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要 一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志 力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。
例2、用数学归纳法证明：当n k 1时，需要证明的式子是： 1 3 5 (2k 1) (2k 1) (k 1)2 1+3+5+…+(2n-1)＝n2
(1) n＝1时，左边=1，右边=1，等式成立；
(2)假设n＝k时，等式成立，即
1+3+5+…+(2k-1)＝k2 需要证明的式子是?
家，他曾认为，当n∈N时，22n 一1定都是
质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4时
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
思考3：下面是某同学 用数学归纳法证明等式
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1 1 1 （n∈N＊）
2 22 23
2n
2n
成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？
第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合 数学归纳法的证明要求
证明：①当n=1时，左边＝
1 2
,Leabharlann Baidu
右边＝
1
1 21
1 2
,
等式成立
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
猜测an＝? 猜测是否正确呢？
对一切n N ，都有an (n2 5n 5)2 1
由于a5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的
所以由归纳法得到的结论不一定可靠
思考：归纳法有什么优点和缺点？ 优点：可以帮助我们从一些具体事
步是递推的基础，第二步是递
推的依据。缺了第一步递推失
去基础；缺了第二步，递推失去 依据，因此无法递推下去。
思考：步骤 (1) 中n取的第一个值n0一 定是1吗？为什么？
答：不一定
举例说明：用数学归纳法证明 n边形
的对角线的条数是 n n 3
2
此时n取的第一值 n0 3
课堂小结
1. 数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命递题推基 础
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，就是
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么
12 22 32 k 2 (k 1)2
k (k 1)(2k 1) (k 1)2 6
k (k 1)(2k 1) 6(k 1)2 6
(k 1)(2k 2 7k 6) 6
证明：（1）当n=1时，左边 a1 , 右边 a1 0 d a1,
等式是成立的
（2）假设当n=k时等式成立，就是 ak a1 (k 1)d,
那么 ak1 ak d [a1 (k 1)d ] d
a1 [(k 1) 1]d
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
由（1）和（2），可知等式对任何 n N 都成立
a4...a.3 ..d
a3 a2 d a4 a3 d
a3 a1 2d
...... a4 a1 3d
由a1, a2 , a3, a4的表达式,我们得到 :
对一切n N*,都有 an a1 n 1 d
像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理 方法，叫做归纳法。
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学
例中发现一般规律
缺点：仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的
在使用归纳法探究数学命题时，必 须对任何可能的情况进行论证后，才能 判别命题正确与否。
思考1：与正整数n有关的数学命题能否 通过一一验证的办法来加以证明呢？
思考2：如果一个数学命题与正整数n有 关,我们能否找到一种既简单又有效的证 明方法呢？
则当n=k+1时
2+4+6+…+2k+2(k+1)
＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1
这就是说，n＝k+1时也成立
所以等式对任何n∈N*都成立
该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提 下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早
事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3 左边≠右边，等式不成立
多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （依据）
条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
②假设n=k时，等式成立， 即
1＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1
2 22 23
2k
1
1 2k
,
那么n=k+1时
1＋ 1 2 22
＋1 23
＋＋ 1 2k
1 2k1
1 2
[1
(
1 2
)k
1
]
1 1
1
1 2k1
.
2
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立
因此，用数学归纳法证明命 题的两个步骤，缺一不可。第一
1
思考：你认为证明数列的通项公式 an n 是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
数学归纳法的概念：
定义：对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性： 1.先证明当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，
那么当n＝k+1时，
1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）
＝k2+（2k+1）＝（k+1）2
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
∴由①、② 可知对任何n∈N*时，等式都成立
例题3 用数学归纳法证明
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
证明：
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝1 23 1 6
(k 1)(k 2)(2k 3) 6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1
6
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
变式：用数学归纳法证明：
n 1n 2n n 2n 1 3 5 2n 1
对于数列{an }，已知 a1
1，an1
命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 ④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的
方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。
思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某 同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同 学得到的结论正确吗？
解:设n＝k时成立，即 2+4+6+…+2k＝k2+k+1
2. 数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：
（1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时命题成立
（2）假设 n k(k N且k n0 ) 时命题成立 证明 n k 1 时命题也成立 递推依据
在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都成立 3. 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点， 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法， 使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 。
证明当 n k 1时,命题也成立（依据）
完成这两个步骤后, 就可以断定：
命题对从 n0 开始的所有正整数n都成立
这种证明方法叫做数学归纳法
验证n=n0时 命题成立
归纳奠基
若n=k(k≥n0)时命题成立, 证明n=k+1时命题也成立.
归纳递推
命题对从n0开始所有 的正整数n都成立
例1 如果 {an }是等差数列，已知首项为 a1 公差为 d ，那么 an a1 (n 1)d 对一切n N 都成立 试用数学归纳法证明
an 1 an
(n
1,2,3,),
证明： an
1 n
证明：（1）当n
1时，a1
1 1
1成立；
(2)假设当n
k时，ak
1 k
成立，则当n
k
1时，
1
ak 1
ak 1 ak
k 1 1
1 ，也成立， k 1
k
综上（1）（2）知，an
1 n
.
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
① 明确首取值n0并验证真假。（必不可少） ② “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 ③ 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时
上述结论是容易理解的：根据（1），n 1 时等式成立，再根据（2），n 11 2时等式 也成立。由于n 2时等式成立，再根据（2）， n 2 1 3时等式也成立，这样递推下去，就 知道n 4，5，6，时等式都成立，即等式对任 何n N 都成立。
因此数学归纳法是一种科学的递推方法
(1)是递推的基础 (2)是递推的依据