练习106(三重积分的计算(截面法和求体积))- 答案
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练习册 106 三重积分的计算（截面法和求体积）（答案）
1、计算⎰⎰⎰Ω
zdv ，其中积分区域Ω是由平面()0>=h h z 和锥面()0,022>>+=
h R y x R
h
z 围成的闭区域。
解：画出积分区域Ω（如右图所示），
()()()⎭⎬⎫⎩
⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧
=+=∈≤≤=Ω222 ,,,0 ,,z h R y x y x D y x h z z y x z ，
2
204
22
0222
0414h R z h R dz z h R z dxdy zdz zdv h
h D h z
πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω。
2、计算⎰⎰⎰Ω
zdv ，其中积分区域Ω是由曲面4222=++z y x 和z y x 322=+围成的闭区
域。
解：联立方程4222=++z y x 和z y x 322=+，求解得1=z 。画出积分区域Ω，并用平面
1=z 把Ω分成两部分1Ω和2Ω（如右图所示），
()()(){}{}
222114 ,,,21 ,,z y x y x D y x z z y x z -=+=∈≤≤=Ω ， ()()(){}{}
z y x y x D y x z z y x z 3 ,,,10 ,,2222=+=∈≤≤=Ω，
()()()
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-⋅+⋅=+=∴Ω
2
1
210
21
10
4312dz z z dz z z dxdy zdz dxdy zdz zdv z
z
D D ππ
[]
πππ413
422
14
2103=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-⋅+⋅=z z z 。
3、计算由曲面22y x z +=和z y x =+22所围立体的体积。 解：联立方程4222=++z y x 和z y x 322=+，求解得0=z 和
1=z 。
（方法1：利用定积分）因为当10≤≤z 时，截面面积2z z S ⋅-⋅=ππ，
所以，立体的体积()()6
1
21
π
ππ=
⋅-⋅==⎰⎰dz z z dz z S V 。
（方法2：利用二重积分）设所围立体Ω在xoy 平面内的投影记为xy D ， 因为(){}10,20 ,≤≤≤≤=r r D xy πθθ， 所以，立体的体积(
)()
⎰⎰+-+=
xy
D dxdy y x y x
V 2
2
2
2
()
⎰⎰
-=
1
220
rdr r r d π
θ6
π
=
。
（方法3：利用三重积分）
()()(){}{}
z y x z y x D y x z z y x z ≤+≤=∈≤≤=Ω222 ,,,10 ,, ，
所以，立体的体积()()
6
11
21
1
π
ππ=
⋅-⋅==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
dz z z dz z S dxdy dz dv V Z
D 。
4、求球体2222R z y x ≤++和Rz z y x 2222≤++公共部分的体积。 解：联立方程2222R z y x ≤++和Rz z y x 2222≤++，求解得2
R z =。 （方法1：利用定积分） 因为当2
0R
z ≤
≤时，截面面积()()22z Rz z S -=π， 当
R z R
≤≤2
时，截面面积()()22z R z S -=π， 所以，公共部分的体积()()()⎰⎰⎰+==R
R R R
dz z S dz z S dz z S V 2
20
()()=-+-=⎰⎰R
R R dz z R dz z Rz 22
2
20
2
2ππ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2443224233333R R R R R ππ3
125R π=。
（方法2：利用二重积分）设所围立体Ω在xoy 平面内的投影记为xy D （如右图所示）。
因为()⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧≤
≤≤≤=R r r D xy 230,20 ,πθθ，
所以，公共部分的体积()()
⎰⎰------=
xy
D dxdy y x R R y x R
V 222222
(
)
⎰
⎰--=R rdr R r R d 2
30
2220
2π
θ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎰⎰202302222R R
rdr R dr r R r π
(
)3
2
30
2
2
3
2
32212
5223
2
2R r R r
R R R πππ=
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--=。
（方法3：利用三重积分） 记公共部分为Ω，Ω在平面2
R
z =
以下的部分记作1Ω，Ω在平面2
R
z =
以下的部分记作2Ω（如图所示）。 ()()(){}
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-≤+=∈≤≤=Ω222112 ,,,20 ,,R Rz y x y x D y x R z z y x z ，
()()(){}
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-≤+=∈≤≤=Ω222221 ,,,2 ,,z R y x y x D y x R z R z y x z
所以，公共部分的体积⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==Ω
z
z
D R
R D R
dxdy dz dxdy dz dv V 212
20
()()=-+-=⎰⎰
R
R R dz z R dz z Rz 22
2
20
2
2ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2443224233333R R R R R ππ3
125R π=。