二维形式的柯西不等式
二维柯西不等式
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1, acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
二维形式的柯西不等式大全
⑵ 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .
另外由这两个结论，你和以前学过的什么知识 会有联想.
根据二维形式的柯西不 等式, 容易得出
a 2 b2 c2 d 2
a
2
b 2 c 2 d 2
变式 2.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 y 2 的最小值. 变式 3.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 2 y 2 的最小值.
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习
课堂练习 1: 已知 a,b R ， a+b=1, x1 , x2 R ,
证
明
根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
反思 在证明不等式时，联系经典不等式， 既可以启发证明思路，又可以简化运算.
例1 已知 a, b 为实数 , 证明
a
4
b
4
a
2
b a b
2 3
3 2
.
分析 虽然 可以作乘法展 开上式的两边 , 然而再比较 它们, 但是如果 注意到这个 不等式的形式与柯西不等 式的一致性 , 就可以避免繁 杂的计算.
证明：因为2x 2 3 y 2 6, 1 4 所以 x 2 y 2 x 3 y 11. 2 3
2 2
因此x 2 y 11.
求特定函数的极值问题
函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值为____________． 【思路分析】 将其配凑成柯西不等式的形式， 然后用它求解， 但要注意等号成立的条件．
二维形式的柯西不等式人教版1课件
讨论 对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助
设在平面直角坐标系xoy中有向量α=(a,b), =(c,d) ，与之间的夹角为θ，0≤ θ ≤π （如图）
根据向量数量积的定义，有α.β=│α││β│cos θ
0xy 设在平面直角坐标系xoy中有向量α=(
把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解决。
分析 把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解
解：
展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2
即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2
知识与能力
1.认识二维柯西不等式的代数和向量形式.理解二维柯西不等式的几何意义.
教学目标知识与能力1.认识二维柯西不等式的代数和向量形式.理
3.掌握柯西不等式的应用.
2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形两方面认识柯西不等式的代数和向量的等价关系。
3.掌握柯西不等式的应用.2.通过探究，思考和讨论，使学生从
证 明≥x12+y12+2│x1x2+y1y2│+x2
《二维形式的柯西不等式》ppt人教版1《二维形式的柯西不等式
不等式(3)对于任何实数都成立，于是可以得到：
分析 不等式(3)对于任何实数都成立，于是可以得到：《
请结合平面直角坐标系，解释不等式(4)的几何意义。
探究 请结合平面直角坐标系，解释不等式(4)的几何意
解：展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d
二维形式的柯西不等式
思考：求函数y 3 x 1 4 10 2x的最大值 3 x 1 4 10 2x =3 x 1 4 2 5 x
32 +（4 2）2 ( x 1)2 ( 5 x)2 =2 41
随堂练习
1.已知a2 b2 1,求证|a cos bsin |1
a2 a b2 b 2 a3 b3 2
推论 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2
a2 b2 c2 d 2 ac bd ad bc
a2b2(a,cb2), d 2 (ca, d2 ) b 2 c 2 d 2
a |c| b | d ||ac || b| d ad bc
(a2 b2)(d 2 c2) (ad bc)2 ac bd 时取“=”
等号成立时条件相同吗？
例题
例1 已知a,b为实数 ,证明
a4 b4
a2 b2
a3 b3
2
.
证明：根据柯西不等式，有
a4 b4 a2 b2 ((a2 )2 (b2 )2 ) a2 b2
| || || || cos |
当且仅当 | cos | 1 时等号成立
即 与 共线
等号
何时成, 是两个向量,则
| || || |
当且仅当 是零向量,或存在实数k, 使 k 时,等号成立. ac bd a2 b2 c2 d 2 (ad bc)
二维形式的柯西不等式
证定明理：1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c, d都是实数,则
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2
当且仅当 ad bc 时,等号成立
平方和的乘积不 小于乘积和的平
方
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
二维形式的柯西不等式
06
二维形式的柯西不等式的拓 展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当 且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高 维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解 某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、 马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的 平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边 总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几 何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对 三角形的面积进行估计，得到面积的 上界和下界。
边长关系
式关系， 如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边 长之间的关系。
柯西不等式二维形式证明
柯西不等式二维形式证明
柯西不等式是指对于任意实数集合A和B，有以下不等式成立：
（∑(a_i * b_i))^2 ≤ (∑a_i^2) * (∑b_i^2)
其中∑表示求和，a_i和b_i分别是A和B中的元素。
现在我们来证明柯西不等式的二维形式。
假设有两个二维向量
a=(a1,a2)和b=(b1,b2)。
根据柯西不等式的二维形式，我们有：
(a1*b1 + a2*b2)^2 ≤ (a1^2 + a2^2) * (b1^2 + b2^2)
我们将要证明这个不等式。
首先，假设a1,b1,a2,b2是任意实数。
我们可以通过将不等式两边展开后进行移项来开始证明。
展开不等式后，我们得到：
(a1^2 * b1^2 + 2*a1*b1*a2*b2 + a2^2 * b2^2) ≤ (a1^2 * b1^2 + a2^2 * b1^2 + a1^2 * b2^2 + a2^2 * b2^2)
接下来，我们可以通过移项将右侧的四项相加合并，并将左右两侧的相同项合并。
合并同类项后，不等式变为：
2*a1*b1*a2*b2 ≤ a1^2 * b2^2 + a2^2 * b1^2
我们注意到左侧是两个实数相乘的结果，右侧是两个实数平方的和。
由于(x+y)^2 ≥ 0对于任意实数x和y成立，我们可以推导出右侧是非负数。
因此，我们证明了柯西不等式的二维形式。
通过类似的推理，我们可以证明柯西不等式的多维形式。
高二数学,人教A版,选修4-5第3讲, 二维形式的柯西不等式,课件
【答案】 B
[小组合作型]
二维柯西不等式的向量形式及应用
已知 p，q 均为正数，且 p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.
【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．
【自主解答】 p ＋q
2 2
设
1 1 3 3 m＝p2，q2，n＝(p2，q2)，则
3 1 3 1 ＝p2p2＋q2q2＝|m· n|≤|m||n|
＝ p3＋q3· p＋q＝ 2 p＋q. 又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)， p＋q2 ∴ 2 ≤p2＋q2≤ 2 p＋q， p＋q2 ∴ 2 ≤ 2· p＋q，则(p＋q)4≤8(p＋q)． 又 p＋q>0， ∴(p＋q)3≤8，故 p＋q≤2.
使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向 量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝ x2＋y2对数学式子变形的影响．
[再练一题] 1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否 仍然成立？
【解】 设 m＝(p，q)，n＝(1,1)， 则 p＋q＝p· 1＋q· 1＝|m· n|≤|m|· |n|＝ p2＋q2· 12＋12. 又 p2＋q2＝2. ∴p＋q≤ 2· 2＝2. 故仍有结论 p＋q≤2 成立.
一
二维形式的柯西不等式
1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点) 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)
[基础· 初探] 教材整理 二维形式的柯西不等式
阅读教材 P31～P36，完成下列问题． 内容 代数形式 等号成立的条件 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2 ＋b2)· (c2＋d2)≥ (ac＋bd)2 当且仅当 ad＝bc 时，等号成立
二维形式的柯西不等式
而f (t ) = (at − c) + (bt − d )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
= (a t − 2act + c ) + (b t − 2bdt + d ) = (a + b )t − 2(ac + bd )t + (c + d )
2 2
因为t取任何实数都有 因为 取任何实数都有f(t)≥0，故有 中的 取任何实数都有 ，故有f(t)中的 判别式必是非正数。 判别式必是非正数。即
的最大值. 变式 3.已知 4 x 2 + 9 y 2 = 36 ,求 x + 6 y 的最大值.
作业： 作业： 上交作业： 上交作业：书P36 ，T1，T3，T4，T5 ， ， ， 作业本： 作业本：P57 T1—T8
2 2 2 2
上面两个不等式等号何时取到
二、二维柯西不等式应用
例1 已知a , b为实数 , 证明(a + b )(a + b ) ≥ (a + b )
4 4 2 2 3
3 2
变式1: a, b ∈ R + ,证明 (a + b)(a 2 + b 2 ) ≥ a a + b b 变式2: a, b ∈ R ,证明 (a + b)(a + b ) ≥ b a + a b
4(ac + bd ) − 4(a + b ) ⋅ (c + d ) ≤ 0
2 2 2 2 2
即(a + b ) ⋅ (c + d ) ≥ (ac + bd )
2 2 2 2
2
证法三:构造向量法 证法三 构造向量法
二维形式的柯西不等式 课件
a1b1， a2b2； ab11， ab22.
证明 ∵(a1b1＋a2b2)ba11＋ab22
＝[( a1b1)2＋( a2b2)2]
ab112＋
ba222≥
a1b1·
ba11＋
a2b2·
ab222＝(a1＋a2)2.
提示
∵cos〈α，β〉＝|αα|·|ββ|＝
a1b1＋a2b2 a12＋a22 b21＋b22
∴cos2〈α，β〉＝a21a＋1ba122＋ba212＋b2b222≤1，
即(a12＋a22)(b12＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，
a21＋a22· b21＋b22≥|a1b1＋a2b2|.
∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为 α＝λβ (λ≠0)．
二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1) 定 义 ： 若 a ， b ， c ， d 都 是 实 数 ， 则 (a2＋ b2)(c2＋ 形式的柯西不等式的一些变式 变式 1: a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时，等 号成立) 变式 2：(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2.(a，b，c，d∈R＋，当 且仅当 ad＝bc 时，等号成立) 变式 3: a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时， 等号成立)
∴原不等式得证．
题型二 利用柯西不等式求函数的最值 【例 3】 求函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值．
[思维启迪] 变形 → 构造柯西不等式的形式 → 巧拆常数 → 凑出定值 解 函数的定义域为{x|1≤x≤5}． y＝5 x－1＋ 2 5－x≤ 52＋2 x－1＋5－x ＝ 27×2＝6 3， 当且仅当 5 5－x＝ 2 x－1， 即 x＝12277时取等号，故函数的最大值为 6 3.
二维形式的柯西不等式大全
2.已知x,
y, a, b
R , 且
a x
b y
1,求x
y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
a2 b2 c2 d 2 | ac bd | , a2 b2 c2 d 2 | ac | | bd | .
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
4x2 9y2 1 . 2
当Hale Waihona Puke 仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
[方法总结] 利用柯西不等式求最值的方法 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
[方法总结] 利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等
式的基本特征： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中 a，b，c，d∈R 或(a
＋b)·(c＋d)≥( ac＋ bd)2，其中 a，b，c，d∈R＋.
[例3] 若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值． [精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解答本题需 要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后 利用柯西不等式求最值． 由柯西不等式 (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2 得 25(x2＋y2)≥4，所以 x2＋y2≥245. 当且仅当x3＝4y时等号成立，
3.1 二维形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)
柯西不等式在求最值中的应用是考试的热点.2012年 郑州模拟以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的 应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
ห้องสมุดไป่ตู้ [考题印证]
(2012· 郑州模拟)已知实数a、b、c、d满足a2＋b2＝1，c2＋ d2＝2，求ac＋bd的最大值．
[命题立意]
[解]
本题考查柯西不等式在求最值中的应用．
[例 1]
[研一题] 设 a，b，c 为正数，
本题考查柯西不等式的应用．解答本题
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
[精讲详析]
需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各 组不等式相加即可． 由柯西不等式： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2· a2＋b2≥a＋b，
本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的 变形，创造利用柯西不等式的条件． ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad) ≤ 2[ab＋cd2＋bc－ad2]＋ b2＋a2c2＋d2 ＝ 2· a2＋c2b2＋d2＋ a2＋b2c2＋d2
[读教材· 填要点]
1．二维形式的柯西不等式
(ac＋bd)2， (1)若 a， c， 都是实数， b， d 则(a ＋b )(c ＋d )≥
2 2 2 2
当且仅当 ad＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论：
( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)； (a＋b)(c＋d)≥
a2＋c2＋b2＋d2 a2＋b2＋c2＋d2 ≤ 2· ＋ 2 2 2＋1 2 ＝ (a ＋b2＋c2＋d2)． 2 ab＋2bc＋cd 2＋1 ∴ 2 . 2 2 2≤ 2 a ＋b ＋c ＋d
二维形式的柯西不等式课件
又 x∈
π
0,
2
,所以 sin x=
7
5
7
.
5
故当 sin x= 时,函数 f(x)取最大值为 5 2.
(2)证明：因为 2 + 1 + 3 + 2 = 2 · +
2
3
+ ,所以设 m=( 2, 3),n=
1
2
+ , +
1
2
2
=1,则
x
+2y
的最小值为
2
1
1
1
1
+
≥x·
+
2y·
=1+ 2,
2 2
+
即 x2+2y2 的最小值为 2+1.
正解 x2+2y2=(x2+2y2)
1 2
2· =(1+
2
2
1
2
+
1
2
1
2
1
1
= ,且 2 + 2 =1,即
≥ · +
2)2=3+2 2,当且仅当
x2= 2+1,y 2= +1 时,等号成立,即 x2+2y2 的最小值为 3+2 2.
2
3
1
+
2
3·
,
所以 2 + 1 + 3 + 2=m·n.
由柯西不等式的向量形式可得|m·n|≤|m||n|,则 2 + 1 +
二维形式的柯西不等式 课件
∵(a－c)a－1 b＋b－1 c
＝[(a－b)＋(b－c)]a－1 b＋b－1 c
＝[( a－b)2＋( b－c)2]
a－1 b2＋
b－1 c2
≥ a－b
a－1 b＋ b－c
∴原不等式成立．
b－1 c2＝4.
求函数 f(x)＝ x－6＋ 12－x的最大值及此时 x 的值．
证明：根据柯西不等式，有
[(2－a)＋(2－b)]2－a2a＋2－b2 b
＝[(
2－a)2＋(
2－b)2]
2a－a2＋
b2 2－b≥2－a· 2a－a＋
2－b· 2b－b2＝(a＋b)2＝4.
∴原不等式成立．
7．若2x＋3y＝1，求x2＋y2的最小值及最小值点．
解析：由柯西不等式有(x2＋y2)(22＋32)≥(2x＋3y)2＝1， 于是 x2＋y2≥113，等号成立⇔2x＝3y，
2x＋3y＝1， 解方程组2x＝3y
x＝123， ⇒y＝133，
于是 x2＋y2 的最小值为113，最小值点为123，133.
＝12×14{(12＋12)[(a2)2＋(b2)2]} ≥213(1×a2＋1×b2)2＝213(a2＋b2)2 ＝213[12(12＋12)(a2＋b2)]2 ≥213×212(a＋b)2＝217， ∴原不等式成立．
已知 a＞b＞c，求证：a－1 b＋b－1 c≥a－4 c.
证明：原不等式可变形为(a－c)a－1 b＋b－1 c＞4.
1．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，ad＝bc 2．|α|·|β|≥|α·β| 方向相同或相反(即两个向量共线)
练习 1：几何意义：设 α，β 为平面上以原点 O 为起点 的两个非零向量，它们的终点分别为 A(a，b)，B(c，d)，那么 它们的数量积为 α·β＝________，而|α|＝ a2＋b2，|β|＝ c2＋d2， 所以柯西不等式的几何意义就是：________，其中等号当且仅当 两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立．
二维形式的柯西不等式知识点梳理(经典系统全面知识点梳理)
课题：二维形式的柯西不等式1、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用.2、教学难点：二维形式柯西不等式的应用.3、学生必须掌握的内容：1．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．3．二维形式的三角不等式设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.注意：1．二维柯西不等式的三种形式及其关系定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式．根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示．2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件(1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号．(2)向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号．(3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号．3．掌握二维柯西不等式的常用变式(1) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|.(2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|.(3) a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd.(4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2.4．基本不等式与二维柯西不等式的对比(1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式．(2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效．4、容易出现的问题：在二维形式的柯西不等式相关要点中，对式子(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2取等号的条件容易忽略，由于式子过长容易弄错各个数据之间的对应关系，使用公式时容易混淆公式中数据之间的关系，数据位置的对应易出错。
二维形式的柯西不等式-PPT课件
(2)推论：对于任意的 x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32
≥ x1－x22＋y1－y22. 事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1、P2、P3 的坐标 分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，根据△P1P2P3 的边长关系 有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点 P1、P2、P3 共线，并 且点 P1、P2 在 P3 点的异侧时，等号成立．
3．设 a，b，c 为正数，
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)． 证明：由柯西不等式：
a2＋b2· 12＋12≥a＋b，
Байду номын сангаас
即 2· a2＋b2≥a＋b.
同理： 2· b2＋c2≥b＋c，
2· a2＋c2≥a＋c，
将上面三个同向不等式相加得：
2
a2＋b2＋
∴ a2＋b2＋
2．已知 a1，a2，b1，b2 为正实数． 求证：(a1b1＋a2b2)(ab11＋ab22)≥(a1＋a2)2. 证明：(a1b1＋a2b2)(ab11＋ba22)＝[( a1b1)2＋( a2b2)2][( ba11)2 ＋( ab22)2]≥ ( a1b1· ab11＋ a2b2· ab22)2＝(a1＋a2)2.
6．求函数 f(x)＝ x－6＋ 12－x的最大值及此时 x 的值．
解：函数的定义域为[6,12]，由柯西不等式得 ( x－6＋ 12－x)2≤(12＋12)[( x－6)2＋( 12－x)2]＝2(x －6＋12－x)＝12， 即 x－6＋ 12－x≤2 3. 故当 x－6＝ 12－x时 即 x＝9 时函数 f(x)取得最大值 2 3.
二维形式的柯西不等式CP
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
设f ( x) x , p, q 0,且p q 1,求证： pf ( x1 ) qf ( x2 ) f ( px1 qx2 )
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
分析：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9=1 1 12 ，
x2 x3
x3
L
xn1 xn
xn
xn x1
x1
x1 x2 L xn 2 ,
于是
x12 x2
x22 x3
L
x2 n1 xn
xn2 x1
≥
x1
x2 L
xn
.
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
一 二维形式的 柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）: 若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
柯西不等式及应用
柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+(,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；2(3)()()a b c d ++≥(,,,0)a b c d ≥，当且仅当ad bc =时取等号；三、n 维形式的柯西不等式：设,(1,2,3,)i i a b i n = 为实数，则22212()n a a a +++ 22212()n b b b +++ 21122()n n a b a b a b ≥+++ ，当且仅当0(1,2,3,)i b i n == 或存在一个实数k ，使得(1,2,3,)i i a kb i n == 时等号成立。
四、二维形式的柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤ ，当且仅当0β= 或存在实数k ，使k αβ= 时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知0,1a b ≤≤且1，求证：221a b +=.2、解方程（组）：12(1)x x =++.3、求最值（范围）:若实数x ，y ，z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值.4、证明不等式:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明： 2223333a b c a b c ++++≥.六、巩固练习：1.已知22223102x y z ++=，则32x y z ++的最小值为 .2. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，则a 的最大值为 ，最小值为 .3．在实数集内方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的解为 . 4.设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足20x y z -+=及320x y z +-=，则❒ABC 的最大角的大小是 .5.设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为 ,此时=b .6.设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 .7.空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = a b ⋅ 的最大值为 ,此时b = .8.设a 、b 、c 为正数，则4936()()a b c a b c++++的最小值为 .9.设x ，y ，z ∈ R ，且满足2225x y z ++=，则23x y z ++之最大值为 ，此时(x ，y ，z) = .10.设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，则22x y z -+的最大值为 ，最小值为 .11.设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则222z y x ++之最小值为 .12.,,x y z R ∈，226x y z --=，则222x y z ++的最小值为 ，此时x = ，y = ，z = .13.设,,x y z R ∈，2280x y z +++=，则222(1)(2)(3)x y z -+++-之最小值为 .14.设,,x y z R ∈，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为 ，又此时=y15.设,,a b c R +∈且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 . 16.设,,a bc R +∈，且232=++c b a ，则c b a 321++之最小值为 ，此时=a . 17.空间中一向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为,,αβγ，则γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为 .18.空间中一向量a 的方向角分别为,,αβγ，则22292516sin sin sin αβγ++的最小值为 . 19.设,,x y z R ∈，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为 ；又z y x 23--取最小值时，=x20.设,,x y z R ∈且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x y z ++之最大值为 ，最小值为 .21.求2sin sin cos cos θθϕθϕ-的最大值与最小值.22.设a 、b 、c 为正数且各不相等。
人教A版数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》 （共15张PPT）课件
2
+ −
2
.
分析:平方 → 应用柯西不等式
.
2
+ 2
2
+ 2
2
证明：∵
+
= 2 + 2 + 2 2 + 2 • 2 + 2 + 2 + 2
≥ 2 + 2 + 2| + | + 2 + 2
≥ 2 + 2 − 2( + ) + 2 + 2
.
二、讲授新课：
1. 二维形式的柯西不等式：
定理1 (二维形式的柯西不等式
) 若a , b, c , d都是
实数, 则 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
当且仅当ad bc时, 等号成立.
你能简明地写出这个定理的其它证明？
∵(a2+b2)(c2+d2)
当且仅当ad bc时, 等号成立.
( 2) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
( 3) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
证明：
= a2c2+b2d2+a2d2+ b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
∵(ad-bc)2≥0,
∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(1)
当且仅当ad=bc时，等号成立.
）
二维形式的柯西不等式的变式:
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即2x+y的最大值为 3 .
2.已知 a 1 b2 b 1 a 2 =1,则以下成立的是( A.a2+b2>1 B.a2+b2=1
)
C.a2+b2<1
D.a2b2=1
【解析】选B.由柯西不等式,得 a 1 b b 1 a
2
2
2
≤[a2+(1-a2)][(1-b2)+b2]=1,
(3)三角形式中当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线 且P1,P2在原点O两旁时取等号.
3.“二维”的含义 “二维”是对向量的个数来说的,在平面上一个向量有
两个量:横坐标与纵坐标,因此“二维”就要有四个量,
还可以认为是四个数组合成的一种不等关系.
4.二维形式的柯西不等式的变式 (1) a 2 b2 c2 d2 ≥|ac+bd|.
2
a 2 b 2 y ］ [( ) ( ) ]. x y
2
【解析】构造两组实数 因为x,y,a,b∈R+, 所以x+y=[(
x
a b x y
y
a b x， y； ， . x y
=1,
a 2 b [( ) ( )2 ] x y
)2+(
) 2]
a2 b2
) 2]
+ a 2 b2·
a2 b2
)2
类型二
利用柯西不等式求最值
a b x y
【典例】已知x,y,a,b∈R+,且
=1,求x+y的最
小值.
【解题探究】解答本例如何将x+y变形,向着柯西不 等式的形式转化?
提示:关键是构造两组数
［
a b 使得x+y= x， y； ， ， x y
x
【证明】因为 ( x12 x 22 y12 y22 )2 =(x12+x22)+(y12+y22)+ 2 (x12 x 2 2 )(y12 y2 2 ), 由柯西不等式,得(x12+x22)( y12+y22)≥(x1y1+x2y2)2, 其中当且仅当x1y2=x2y1时,等号成立.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
一 二维形式的柯西不等式
【自主预习】 二维形式的柯西不等式
(ac+bd)2
| α || β |
(x1 x 2 )2 (y1 y2 ) 2
【即时小测】 1.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为 ( )
A. 2
B.2
C. 3
D.3
【解析】选C.3=(2x2+y2)(2+1)≥(2x+y)2, 所以- 3 ≤2x+y≤ 3 .
12 12
≥a+b,
2 ≥a+b.
同理 b2 c2 2 ≥b+c,
c2 a 2
2 ≥c+a.
将上面三个同向不等式相加得
2 2 2 ( a b + b 2 c2 +
c2 a 2 )≥2(a+b+c),
于是
a 2 b2
+ b2 c2 + c2 a 2 ≥ 2 (a+b+c).
x1 y1 x 2 y 2 .
2 2
其中等号当且仅当x1y2=x2y1时成立.
【方法技巧】利用柯西不等式的代数形式证明不等式
的方法
利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时,有时需 要将待证不等式进行变形,以具备柯西不等式的运用条
件,这种变形往往要认真分析题目的特征,根据题设条
件,利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等
方法,才能找到突破口.
【变式训练】1.设a,b,c为正数,求证: + c2 a 2 ≥
2 (a+b+c).
a 2 b2
+
b 2 c2
【解题指南】根据不等式的结构,分别使用柯西不等式.
【证明】由柯西不等式: 即
a 2 b2
a 2 b2
所以 (x12 x 22 )(y12 y22 ) ≥x1y1+x2y2, 所以 ( x12 x 22 y12 y22 )2 ≥(x12+x22)+(y12+y22)
+2(x1y1+x2y2)=(x1+y1)2+(x2+y2)2.
所以
x12 x 2 2 y12 y 2 2
又a2+b2=5,ma+nb=5, 所以m2+n2≥5,所以 m2 n 2 5.
答案:
5
【知识探究】 探究点 二维形式的的柯西不等式
1.在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的
条件可以写成 a c 吗?
b d
提示:不可以.当b=d=0时,等号成立,但 a c 不成立.
b d
2.用柯西不等式求最值时的关键是什么? 提示:利用柯西不等式求最值问题,通常设法在不等式
一边得到一个常数,并寻求不等式等号成立的条件.
【归纳总结】 1.柯西不等式三种形式的关系
根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯
西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不 等式的向量形式的坐标表示.
2.理解并记忆三种形式取“=”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad=bc时取等号.
(2)向量形式中当 α =k β 或 β =0时取等号.
(2) a 2 b2 c2 d2 ≥|ac|+|bd|.
(3) a 2 b2 c2 d2 ≥ac+bd.
类型一
利用柯西不等式证明不等式
x x 2 y y2
2 1 2 2 1 2
【典例】求证:
x1 y1 x 2 y 2
2
2
.
【解题探究】本例证明的关键是什么? 提示:关键是根据不等式的结构特征,改变一下多项式 的形态结构,达到利用柯西不等式解题的目的.
2 1 b 当且仅当 时,上式取等号, a 1 a2
b
所以ab= 1 a 2 1 b2， 化为a2b2=(1-a2)(1-b2), 于是a2+b2=1.
3.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 m 2 n 2 的 最小值为_________.
【解析】由柯西不等式知(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,
2.已知a1,a2,b1,b2为正实数,求证:(a1b1+a2b2)· ( a1 + a 2 )≥(a1+a2)2.
b1
b2
【证明】(a1b1+a2b2)(
a1 b1
+ a2 )
b2
a1 b1
=［( a1b1 )2+( a 2 b2 )2］［( ≥( a1b1 · =(a1+a2)2.
a1 b1
)2+(