不等式基本性质的应用
《高考数学第一轮复习课件》第41讲 不等式的性质与基本不等式及应用
(4)a>b,c>0 ac>bc ;a>b,c<0 11 ac<bc . 推论１ 推论１:a>b>0,c>d>0 12 ac>bd .
13 推论２ 推论２:a>b>0 an>bn .
n a > n b . 推论３ 推论３:a>b>0 14
3.基本不等式 基本不等式 定理1:如果 、 ∈ 那么 那么a 定理 如果a、b∈R,那么 2+b2≥ 如果 且仅当a=b时取“＝”号). 时取“ 且仅当 时取
第41讲 41讲
不等式的性质与基本不等 式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不 了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组 的实际背景 的实际背景. 等关系，了解不等式 组)的实际背景 2.掌握并能运用不等式的性质，掌 掌握并能运用不等式的性质， 掌握并能运用不等式的性质 握比较两个实数大小的一般步骤. 握比较两个实数大小的一般步骤 3.掌握基本不等式，会用基本不等 掌握基本不等式， 掌握基本不等式 式解决简单的最大（ 值问题. 式解决简单的最大（小）值问题
新课标高中一轮 总复习
理数
第六单元 不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系 不等关系. 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（ 的实际背景. 了解不等式（组）的实际背景 2.一元二次不等式 一元二次不等式. 一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式 会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. 模型 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相 通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. 应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二 会解一元二次不等式， 会解一元二次不等式 次不等式，会设计求解的程序框图. 次不等式，会设计求解的程序框图
不等式的基本性质教案
不等式的基本性质教案教学目标：1. 理解不等式的概念及其表示方法；2. 掌握不等式的基本性质，包括同向相加、反向相减、乘除性质；3. 能够运用不等式的基本性质解决实际问题。
教学内容：一、不等式的概念与表示方法1. 不等式的定义：比较两个数的大小关系；2. 不等式的表示方法：用“<”、“>”、“≤”、“≥”表示；3. 示例：2>1，3<4。
二、不等式的同向相加性质1. 性质定义：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变；2. 示例：若a>b，则a+c>b+c（c为任意实数）；3. 练习：判断下列不等式是否成立，并解释原因。
三、不等式的反向相减性质1. 性质定义：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；2. 示例：若a>b，则-a<-b；3. 练习：判断下列不等式是否成立，并解释原因。
四、不等式的乘除性质1. 性质定义：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；2. 示例：若a>b，则ac>bc（c为正数）；3. 练习：判断下列不等式是否成立，并解释原因。
五、不等式的大小比较1. 性质定义：比较两个不等式的大小关系；2. 示例：若a>b 且c>d，则ac>bd；3. 练习：判断下列不等式的大小关系，并解释原因。
教学方法：1. 采用讲解、示例、练习的方式进行教学；2. 引导学生通过观察、分析、归纳不等式的基本性质；3. 鼓励学生积极参与，提问解答，巩固知识点。
教学评价：1. 课堂练习：判断下列不等式是否成立，并解释原因；2. 课后作业：选择一道与不等式基本性质相关的问题，进行解答；3. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问解答等情况。
教学资源：1. PPT课件：展示不等式的概念、表示方法及基本性质；2. 练习题：提供不同难度的不等式题目，巩固所学知识。
六、不等式的解法与应用1. 性质定义：解不等式，找出使不等式成立的未知数的取值范围；2. 示例：解不等式2x-3>7，得到x>5；3. 练习：解下列不等式，并写出解集。
不等式的性质
不等式的性质不等式是数学中一种重要的关系表达方式。
它描述了数值大小之间的关系，常用于解决优化问题、证明数学定理等。
在学习不等式的过程中，我们需要了解不等式的性质，这有助于我们更好地理解和应用不等式。
1. 不等式的传递性不等式的传递性是指，如果一个不等式A > B成立并且B > C成立，那么A > C 也一定成立。
同样地，如果A < B成立并且B < C成立，那么A < C也一定成立。
传递性在解决不等式问题时起到了重要的作用。
通过利用不等式的传递性，我们可以将一个复杂的不等式问题转化为一系列简单的不等式问题，从而更容易求解。
2. 不等式的加法性和减法性不等式的加法性是指，如果一个不等式A > B成立，那么A + C > B + C也一定成立。
类似地，不等式的减法性是指，如果一个不等式A > B成立，那么A - C > B - C也一定成立。
加法性和减法性使得我们可以在不等式两边加上或减去相同的数，从而得到等效的不等式，方便我们进行问题的变形和求解。
3. 不等式的乘法性和除法性不等式的乘法性是指，如果一个不等式A > B成立，并且C > 0，那么A * C >B * C也一定成立。
类似地，如果A > B成立，并且C < 0，那么A * C < B * C也一定成立。
乘法性使得我们可以在不等式两边乘以正数或负数，从而改变不等式的方向。
需要注意的是，当乘以负数时，不等式的方向会颠倒。
除法性是乘法性的逆运算。
不等式的除法性是指，如果一个不等式A > B成立，并且C > 0，那么A / C > B / C也一定成立。
类似地，如果A > B成立，并且C < 0，那么A / C < B / C也一定成立。
乘法性和除法性在求解不等式时起到了重要的作用。
它允许我们在不改变不等式的基本性质的情况下，对不等式进行一些操作，从而得到更简单的形式。
不等式的基本性质的应用
不等式的基本性质的应用江苏 宋文宝不等式的基本性质不仅是不等式变形的重要依据，也是解不等式（组）的基础，因此学好不等式的基本性质十分重要．下面通过几个例子一起来看看不等式的三条基本性质在解题中的应用，供同学们学习时参考．一、直接应用例1 若a ＞b ，用“＞”或“＜”填空：（1）2-a 2-b ；（2）a 2 b 2；（3）2a - 2b -． 分析：对照两边所产生的变化，正确运用不等式的基本性质是解决本题的关键．解：（1）因为a ＞b ，根据不等式的性质1，不等式a ＞b 的两边都减去2，不等号的方向不变，所以2-a ＞2-b ；（2）因为a ＞b ，根据不等式的性质2，不等式a ＞b 的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以a 2＞b 2；（3）因为a ＞b ，根据不等式的性质3，不等式a ＞b 的两边都乘以21-，不等号的方向改变，所以2a -＜2b -． 点评：解决这类问题时，先看已知不等式与变化后的不等式两边变化情况，从而确定应用哪一个性质． 例2 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：（1）2-x ＜3；（2）x 6＞15-x ；（3）x 4-＞4．分析：适当地选用不等式的基本性质对所给不等式进行变形，注意不等号方向的“不变”与“改变”． 解：（1）由不等式的性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以22+-x ＜23+，即x ＜5；（2）由不等式的性质1可知，不等式的两边都减去x 5，不等号的方向不变，所以x x 56-＞x x 515--，即x ＞1-；（3）由不等式的性质3可知，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以x ＜1-．点评：解决这类问题，要观察题中不等式与所要得到的不等式在形式的差别，从而采用适当的方法进行变形．二、逆向应用例3 如果关于x 的不等式x a )1(+＞1+a 的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ）A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ＞1-D ．a ＜1-分析：由不等式x a )1(+＞1+a 变形成为x ＜1，则需要根据不等式的性质3，在原不等式的两边同时除以负数1+a ，即1+a ＜0，故可得a ＜1-．答案：D点评：逆用不等式的基本性质解题时，一定要注意不等号的方向是否改变，从而判断未知系数的正负性．请同学们自我评价一下，看有没有收获？1．如果x ＜y ，那么下列不等式①4-x ＜4-y ；②y x -＞0；③x 2-＞y 2-；④13-x ＞13-y 中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知关于x 的不等式x a )1(-＞2的解集为x ＜a-12，则a 的范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ＜1 C ．a ＞0 D ．a ＜0答案：1．B ；2．A。
不等式性质的应用
又因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
所以5≤3f(-1)+f(1)≤10,
故5≤f(-2)≤10.
方法二:由f(x)=ax2+bx得f(-1)=a-b①,
f(1)=a+b②,
由①+②得2a=f(1)+f(-1),
由②-①得2b=f(1)-f(-1),
从而f(-2)=4a-2b=2[f(1)+f(-1)]-[f(1)-f(-1)]=3f(-1)+f(1).
因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,所以3×1+2≤3f(-1)+f(1)≤3×2+4,
所以5≤3f(-1)+f(1)≤10. 所以f(-2)的取值范围是5≤f(-2)≤10,即f(-2)的取值范围是[5,10]. 答案:[5,10]
不等式性质的应用
【典例】设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
则f(-2)的取值范围是__________.
【解题过程】
【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了 f(-2) 的范围扩大.
【规避策略】用不等式性质求代数式取值范围的途径 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的 性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题一般是利用整体思 想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体的范围,是避免错误的有
效途径.
【自我矫正】方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数), 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
不等式的性质及应用(高中数学)
01 不等式的性质及应用【知识分析】不等式的性质及应用是不等式的一个基础内容，高考中主要以客观题形式呈现，难度不大，分值5分，复习时注意不等式的等价变形，特别是不等式两边同乘以或同除以一个数时，不等式的方向变化． 【经典例题】(1)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab ＞0，bc －ad ＞0，则c a －db ＞0；②若ab ＞0，c a －db ＞0，则bc －ad ＞0；③若bc －ad ＞0，c a －db ＞0，则ab ＞0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4的解集记为D.有下面四个命题：p 1：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≥－2， p 2：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≥2， p 3：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≤3， p 4：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≤－1. 其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3【解析】 (1)对于①，∵ab ＞0，bc －ad ＞0，∴c a －d b ＝bc －ad ab ＞0，∴①正确；对于②，∵ab ＞0，又c a －db ＞0，即bc －ad ab ＞0，∴bc －ad ＞0，∴②正确；对于③，∵bc －ad ＞0，又c a －db ＞0，即bc －ad ab＞0，∴ab ＞0，∴③正确．(2)设x ＋2y ＝m(x ＋y)＋n(x －2y)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝m ＋n ，2＝m －2n ，解得⎩⎨⎧m ＝43，n ＝－13.∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4，∴43(x ＋y)≥43，－13(x －2y)≥－43，∴x ＋2y ＝43(x ＋y)－13(x －2y)≥0.故命题p 1，p 2正确，p 3，p 4错误． 【答案】 (1)D (2)B题(1)实质为ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －db ＞0三个结论之间的轮换，知二推一，利用不等式的性质判断．(2)利用不等式组求x ＋2y 的范围，注意性质应用的条件，以免扩大取值范围．判断关于不等式的命题真假的三种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．利用不等式的性质求取值范围的方法由a ＜f(x ，y)＜b ，c ＜g(x ，y)＜d 求F(x ，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x ，y)＝mf(x ，y)＋ng(x ，y)，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F(x ，y)的取值范围． 【针对训练】1.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b a B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c1．D 方法一：c<d<0⇒cd>0⇒c cd <d cd <0⇒1d <1c<0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d >－1c >0a>b>0⇒－a d >－b c ⇒a d <b c .方法二：依题意取a ＝2，b ＝1时，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确． 2．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________． 2.【解析】 方法一：由题意知，实数x ，y 均为正数，则条件可化为lg 3≤lg x ＋2lg y≤lg 8，lg 4≤2lg x －lg y≤lg 9.令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧lg 3≤a ＋2b≤3lg 2，2lg 2≤2a －b≤2lg 3.设t ＝x 3y 4，则lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b.令3a －4b ＝m(a ＋2b)＋n(2a －b)，解得m ＝－1，n ＝2，故lg t ＝－(a ＋2b)＋2(2a －b)≤－lg 3＋4lg 3＝lg 27.所以x 3y 4的最大值为27.方法二：将4≤x 2y ≤9两边平方，得16≤x 4y2≤81.①由3≤xy 2≤8，得18≤1xy 2≤13.②由①②，得2≤x 3y 4≤27，即x 3y 4的最大值是27.【答案】 27, 【测试】1．设a ，b 为实数，命题甲：ab ＞b 2，命题乙：1b ＜1a ＜0，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2 D ．ab ＞ab 2＞a2．D 由－1＜b ＜0，得b ＜b 2＜1.又∵a ＜0，∴ab ＞ab 2＞a. 3．已知0<a<b<1，则( ) A.1b >1aB.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12bC ．(lg a)2<(lg b)2 D.1lg a >1lg b3．D 因为0<a<b<1，所以1b －1a ＝a －b ab<0.可得1b <1a ，⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫12b，(lg a)2>(lg b)2，lg a<lg b<0.由lg a<lg b<0得1lg a >1lg b，因此只有D 项正确．思路点拨：利用不等式的性质和指数函数、对数函数的单调性求解．4．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c≤3a ，则ca 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，3)D ．(0，3)4．B 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca≤3，1＋b a ＞ca ，1＋c a ＞ba ，∴⎩⎨⎧1＜b a ＋ca≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得，0＜2×ca＜4，∴ca 的取值范围为(0，2)，故选B. 5．对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)＜log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ； ②log a (1＋a)＞log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ； ③a 1＋a ＜a1＋1a ； ④a 1＋a ＞a1＋1a .其中成立的是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y≤3，－1≤x －y≤1，则4x ＋2y 的取值范围是________．6．【解析】 方法一：∵1≤x ＋y≤3，① －1≤x －y≤1，②由①＋②，得0≤2x≤4，③ ③×2得0≤4x≤8，④ 由①－②，得2≤2y≤2，⑤ 由④＋⑤得2≤4x ＋2y≤10.方法二：令4x ＋2y ＝m(x ＋y)＋n(x －y)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. 即4x ＋2y ＝3(x ＋y)＋(x －y)， ∵1≤x ＋y≤3， ∴3≤3(x ＋y)≤9， 又∵－1≤x －y≤1， ∴2≤3(x ＋y)＋(x －y)≤10. ∴2≤4x ＋2y≤10. 【答案】 [2，10] 【点击高考】1．已知x ，y ∈R ，且x>y>0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y>0 C.⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y>02．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 32．D 因为0＜a ＜1，a x ＜a y ，所以x ＞y.对于选项A ，取x ＝2，y ＝1，则1x 2＋1＜1y 2＋1，显然A 错误；对于选项B ，取x ＝－1，y ＝－2，则ln(x 2＋1)＜ln(y 2＋1)，显然B 错误；对于选项C ，取x ＝π，y ＝π2，则sinπ2＞sin π，显然C 错误；对于选项D ，若x ＞y ，则x 3＞y 3一定成立，故选D. 3．设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( ) A ．[－x]＝－[x] B ．[2x]＝2[x] C ．[x ＋y]≤[x]＋[y] D ．[x －y]≤[x]－[y]4．如果a<b<0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab<b 2C ．－ab<－a 2D ．－1a <－1b4．D 方法一(利用不等式性质求解)：A 项，由a<b<0，得b －a>0，ab>0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b ，故A 项错误；B 项，由a<b<0，得b(a －b)>0，ab>b 2，故B 项错误；C 项，由a<b<0，得a(a －b)>0，a 2>ab ，即－ab>－a 2，故C 项错误；D 项，由a<b<0，得a －b<0，ab>0，故－1a －⎝⎛⎭⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b 成立．故D 项正确．方法二(特殊值法)：令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>－1＝1b ，ab ＝2>1＝b 2，－ab ＝－2>－4＝－a 2，－1a ＝12<1＝－1b.故A ，B ，C 项错误，D 项正确．5．若a ，b ∈R ，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 5．D A 项，当a ＝b ＝1时，满足ab>0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；B ，C 项，当a ＝b ＝－1时，满足ab>0，但a ＋b<0，1a ＋1b <0，而2ab>0，2ab >0，显然B ，C 错误；D 项，当ab>0时，由基本不等式得b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，所以D 正确． 6．若a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“a<1b 或 b>1a ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．A 当0<ab<1时，若b>0，则有a<1b ；若b<0，则a<0，从而有b>1a ，故“0<ab<1”是“a<1b 或b>1a ”的充分条件．反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a<1b 或b>1a ，但ab<0，故选A.02 一元二次不等式的应用【知识分析】解一元二次不等式及分式不等式一般为容易题，主要以选择题、填空题出现．常与集合的交、并、补结合，难度不大．在平时复习中应熟练掌握图象法解一元二次不等式的方法，注重分式不等式、绝对值不等式转化为一元二次不等式(组)的等价过程，书写时注意解集写成集合或区间的形式． 【典型例题】1(1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)不等式－x 2－3x ＋4＞0的解集为________．(用区间表示)(3)已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x ＞0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)＞x 的解集用区间表示为________．【解析】 (1)不等式x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x≤1，∴不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1. (2)由－x 2－3x ＋4＞0得x 2＋3x －4＜0， 即(x ＋4)(x －1)＜0，解得－4＜x ＜1. (3)当x ＞0时，f(x)＝x 2－4x ， 令x ＜0，则－x ＞0， ∴f(－x)＝x 2＋4x.∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x 2＋4x ，即x ＜0时，f(x)＝－x 2－4x.f(x)＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x 2－4x ＞x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2－4x ＞x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，0＞x. 解得－5＜x ＜0或x ＞5，∴不等式f(x)＞x 的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)． 【答案】 (1)A (2)(－4，1) (3)(－5，0)∪(5，＋∞),解一元二次不等式的步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax 2＋bx ＋c>0(a>0)或ax 2＋bx ＋c<0(a>0)的形式； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）＞0(<0) ⇔f(x)·g(x)＞0(<0)； (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）·g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0. 注意：求解分式不等式，关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．解题时要注意含有等号的分式不等式在变形为整式不等式后，及时去掉分母等于0的情形．含参数的一元二次不等式问题是高考的热点，主要出现在综合题中，常与函数、导数联系在一起，难度较大，复习时要加强此知识点的强化训练． 【典型例题】2(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152(2)已知函数f(x)＝2x 2＋bx ＋c(b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)＜m 的解集为(n ，n ＋10)，则实数m 的值为( )A ．25B ．－25C ．50D ．－50【解析】 (1)方法一：由条件知，x 1和x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，所以(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2＝152.又a ＞0，所以a ＝52.方法二：由x 2－2ax －8a 2＜0，得(x ＋2a)(x －4a)＜0.因为a ＞0，所以不等式的解集为(－2a ，4a)．又不等式的解集为(x 1，x 2)，所以x 1＝－2a ，x 2＝4a ，从而x 2－x 1＝6a ＝15，解得a ＝52.(2)由函数f(x)＝2x 2＋bx ＋c(b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)知，Δ＝b 2－8c ＝0，所以c ＝b 28.不等式f(x)＜m 即2x 2＋bx ＋b 28＜m ，即2x 2＋bx ＋b 28－m ＜0的解集为(n ，n ＋10)．设方程2x 2＋bx ＋b 28－m ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b 2，x 1x 2＝b 216－m2，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－b 22－4⎝⎛⎭⎫b 216－m 2＝2m.由题意知|x 1－x 2|＝|n ＋10－n|＝10，所以m ＝50. 【答案】 (1)A (2)C,(1)方法一利用不等式的解集以及根与系数的关系得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a 的值；方法二注意因式分解的恰当应用会给解题带来意想不到的效果．(2)二次函数f(x)＝2x 2＋bx ＋c(b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)等价于Δ＝0；f(x)＜m 的解集为(n ，n ＋10)转化为两交点间的距离|x 1－x 2|＝10.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 一元二次不等式恒成立问题也是高考的一个考点，主要考查根据一元二次不等式的恒成立求参数的范围、求最值等，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大． 【典型例题】3(1)已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f(x)(x ∈R )．对函数y ＝g(x)(x ∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y ＝h(x)(x ∈I)，y ＝h(x)满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h(x))，(x ，g(x))关于点(x ，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝4－x 2关于f(x)＝3x ＋b 的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b 的取值范围为________．(2)由已知得h （x ）＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h(x)＝6x ＋2b －4－x 2.因为h(x)>g(x)恒成立，所以6x ＋2b －4－x 2>4－x 2， 即3x ＋b>4－x 2恒成立．在同一坐标系中画出y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2的图象，如图所示．当直线3x －y ＋b ＝0与半圆相切时，d ＝b10＝2，此时，b ＝210. 结合图象可知，b 的取值范围为(210，＋∞)． 【答案】 (1)⎝⎛⎭⎫－22，0 (2)(210，＋∞) 【名师点拨】(1)结合二次函数的图象及性质只需满足f(m)＜0且f(m ＋1)＜0即可；(2)先根据“对称函数”的定义，求出h(x)，然后在同一坐标系下，画出整理后的两个函数的图象，利用数形结合的思想求解．一元二次不等式恒成立问题的解题方法(1)图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．(2)更换主元法：如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗．一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解．(3)分离参数法：如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max ，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min .对任意的k ∈[－1，1]，函数f(x)＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．【针对训练】1．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2，2) D ．(－2，2]1．D 当a －2＝0，即a ＝2时，－4＜0，恒成立；当a －2≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，4（a －2）2＋16（a －2）＜0，解得－2＜a ＜2， ∴－2＜a≤2. 故选D.2．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)，若对任意x ＞2，不等式(x －a)⊗x≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，7]B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)2．C 由题意可知，不等式(x －a)⊗x≤a ＋2可化为(x －a)(1－x)≤a ＋2，即x －x 2－a ＋ax≤a ＋2，则a≤x 2－x ＋2x －2对x ＞2都成立，即a≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋2x －2min (x ∈(2，＋∞))， 由于x 2－x ＋2x －2＝(x －2)＋4x －2＋3≥2（x －2）·4x －2＋3＝7(x ＞2)，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立，∴a≤7，故选C.3．“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，解关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a ＞0.”给出如下的一种解法： 解：由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，得a ⎝⎛⎭⎫1x 2＋b ⎝⎛⎭⎫1x ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫12，1，即关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫12，1.参考上述解法：若关于x 的不等式b x ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式bx －a－x －bx －c ＞0的解集为( ) A ．(－1，1)B.⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 3．B 根据题意， 由bx ＋a ＋x ＋b x ＋c＜0的解集为 ⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，得b－x ＋a ＋－x ＋b －x ＋c＜0的解集为 ⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1，即b x －a －x －b x －c＞0的解集为 ⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1.故选B.4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x≥0，1，x ＜0则满足不等式f(1－x 2)＞f(2x)的x 的取值范围是________．4．【解析】 当x ＝－1时，无解．当－1＜x ＜0时，1－x 2＞0，f(1－x 2)＞f(2x)化为(1－x 2)2＋1＞1，恒成立．当0≤x≤1时，1－x 2≥0，2x≥0，f(1－x 2)＞f(2x)化为(1－x 2)2＋1＞(2x)2＋1，即1－x 2＞2x ，(x ＋1)2＜2，∴0≤x ＜2－1.当1－x 2＜0时，无解． 综上可知－1＜x ＜2－1. 【答案】 (－1，2－1)5．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________． 5．【解析】 因为不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立， 所以Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0， 即64sin 2α－32＋64sin 2α≤0， 解得－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π.所以α∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 6．已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．6．【解析】 原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t≥1，则x ＝t 2－1.所以（t 2－1）2a ≥1＋t 2－12－t＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22对t≥1恒成立，所以（t ＋1）2a ≥12对t≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a≤[2(t ＋1)2]min＝8，故a 的最大值是8. 【答案】 8 【点击高考】1．设集合A ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x|2x －3>0}，则A∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，32．设集合S ＝{x|(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x|x>0}，则S∩T ＝( ) A ．[2，3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(0，2]∪[3，＋∞)2．D S ＝{x|x≤2或x≥3}，T ＝{x|x>0}，∴S∩T ＝(0，2]∪[3，＋∞)． 3．设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．A 由|x －2|＜1⇔－1＜x －2＜1⇔1＜x ＜3. 由x 2＋x －2＞0⇔x ＜－2或x ＞1. 而(1，3)(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，故选A.4．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－1或x>12，则f(10x )>0的解集为( ) A.{}x |x<－1或x>－lg 2 B.{}x |－1<x<－lg 2 C.{}x |x>－lg 2 D.{}x |x<－lg 24．D ∵f(x)<0的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－1或x>12，∴f(x)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x<12. ∴由f(10x )>0得，－1<10x <12，解得x<－lg 2.5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]6．已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，设关于x 的不等式f(x ＋a)<f(x)的解集为A.若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 6．A 由题意可得0∈A ，即f(a)<f(0)＝0，所以a(1＋a|a|)<0，当a>0时无解，所以a<0，此时1－a 2>0，所以－1<a<0.抛物线的对称轴x ＝12a ，x ＝－12a 之间的距离大于1，而[x ＋a ，x]的区间长度小于1，所以不等式f(x ＋a)<f(x)的解集是⎝⎛⎭⎫12a －a 2，－12a －a2，所以 ⎣⎡⎦⎤－12，12⊆⎝⎛⎭⎫12a －a 2，－12a －a 2， 所以⎩⎨⎧12a －a 2<－12，－12a －a 2>12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －1<0，a 2＋a ＋1>0， 解得1－52<a<1＋52，又－1<a<0，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0.7．设a ∈R ，若x ＞0，均有[(a －1)x －1]·(x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.7．【解析】 (1)当a ＝1时，不等式可化为对∀x ，x>0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立， ∴a≠1.(2)当a<1时，∵x>0，∴(a －1)x －1<0，则不等式可化为x>0时均有x 2－ax －1≤0.∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能恒成立，∴a<1不成立．(3)当a>1时，令f(x)＝(a －1)x －1，g(x)＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)．∵a>1，∴f(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫1a －1，0，即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －1时，f(x)<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，f(x)>0.又∵二次函数g(x)＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2>0，则只需g(x)＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝⎛⎭⎫1a －1，0重合， 如图所示，则命题成立，即⎝⎛⎭⎫1a －1，0在g(x)图象上，所以有⎝⎛⎭⎫1a －12－a a －1－1＝0，整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a＝0(舍去)． 综上可知a ＝32.【答案】 3203 基本不等式利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值是基本不等式的考点，高考主要求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题，试题难度不大，主要是以选择题、填空题形式出现，有时解答题中也会利用基本不等式求最值．在复习时，注意利用基本不等式判断不等式是否成立(比较大小)，一般将所给不等式变形，使一侧为常数，另一侧利用基本不等式求解后判断． 【典例】1(1)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3(2)设f(x)＝ln x ，0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r<pB ．p ＝r<qC ．q ＝r>pD ．p ＝r>q【解析】 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2. 所以xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤12x y ·4y x－3＝1，当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2，⎝⎛⎭⎫xy z max ＝1， 则2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －2xy ＝2y ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝2y⎝⎛⎭⎫1－12y ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＋1－12y 22＝1. (2)方法一：由题意知，p ＝f(ab)＝ln ab ，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f(a)＋f(b))＝12(ln a ＋ln b)＝12ln ab ＝ln ab.又∵b ＞a ＞0，∴a ＋b2＞ab ＞0.∵函数f(x)＝ln x 为增函数，∴p ＝r ＜q ，故选B. 方法二(特值法)：令a ＝1，b ＝2，∴p ＝f(2)＝ln 2， q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32，r ＝12(ln 1＋ln 2)＝ln 2.∵2<32，∴ln 2<ln 32，∴p ＝r<q.【答案】 (1)B (2)B 【名师点睛】(1)含有三个变量，可以把其中一个变量用另两个变量来代替，借助基本不等式求最值； 解(2)时注意利用不等式与对数函数相结合，方法二是不等式常用的方法，特殊值法应灵活应用．利用基本不等式求最值的类型及方法(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．(3)多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号，若等号不成立，一般利用函数单调性求解．若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5C 将(1，1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，故a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C. 基本不等式的实际应用高考中利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题转化为代数问题，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值． 【典例】2(1)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．(2)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k>0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． ①求炮的最大射程；②设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【解析】 (1)设池底长为x m ，宽为y m ，则xy ＝4，所以y ＝4x ，则总造价为f(x)＝20xy ＋2(x ＋y)×1×10＝80＋80x ＋20x＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80，x ∈(0，＋∞)． 所以f(x)≥20×2x·4x ＋80＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元． (2)①令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件知x>0，k>0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．②因为a>0，所以炮弹可以击中目标等价于存在k>0， 使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，故关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根， 所以有判别式Δ＝(－20a)2－4a 2(a 2＋64)≥0，即a≤6. 所以当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标．, 【名师点睛】解(1)关键是列出函数关系式f(x)＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80，利用基本不等式求最值； 题(2)①求炮的最大射程即求y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(x ＞0)与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解；②求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)根据题意设出相应变量，一般把要求最值的变量设为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案． 【针对训练】1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．49 1．A 因为a ，b ＞0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1）（b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a)＝4(b ＋4a)·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥20＋4×2b a ·4ab＝36， 当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号．所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16.2．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则2m ＋1n 的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.923．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c>0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．23．A 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C(0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a×0＋b×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c)⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c>0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 4．已知x ＞0，y ＞0，若2y x ＋8xy＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】 (－4，2)5．若当x>－3时，不等式a≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________．5．【解析】 设f(x)＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x>－3，所以x ＋3>0， 故f(x)≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立， 所以a 的取值范围是(－∞，22－3]． 【答案】 (－∞，22－3]6．已知实数x ，y 满足x －x ＋1＝y ＋3－y ，则x ＋y 的最大值为________． 6．【解析】 ∵x －x ＋1＝y ＋3－y. ∴x ＋y ＝x ＋1＋y ＋3≤2x ＋y ＋42，则(x ＋y)2≤2(x ＋y ＋4)，解得－2≤x ＋y≤4.∴x ＋y 的最大值为4. 【答案】 47．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?7．解：方法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数， 则y ＝kab ，其中k 为比例系数，且k>0.根据题意有，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a>0，b>0)， 所以b ＝30－a2＋a (0<a<30)．所以ab ＝a×30－a 2＋a ＝30a －a 22＋a＝－a ＋32－642＋a＝34－⎝⎛⎭⎫a ＋2＋64a ＋2≤34－2（a ＋2）·64a ＋2＝18.当a ＋2＝64a ＋2时取等号，y 达到最小值．此时解得a ＝6，b ＝3.所以当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 方法二：设y 为流出的水中杂质的质量分数， 则y ＝kab ，其中k 为比例系数，且k>0.根据题意有，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a>0，b>0)， 即2b ＋ab ＋a ＝30.因为a ＋2b≥22ab ， 所以30－ab ＝a ＋2b≥22ab. 所以ab ＋22ab －30≤0. 因为a>0，b>0，所以0<ab≤18， 当a ＝2b 时取等号，ab 达到最大值18. 此时解得a ＝6，b ＝3.所以当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 【点击高考】1．（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m>0)，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C ，D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b.当m 变化时，ba的最小值为( )A ．16 2B ．8 2C ．834D ．4342．B 在平面直角坐标系中作出函数y ＝|log 2x|的图象如图所示，不妨设点A(x 1，m)，B(x 2，m)，C ⎝⎛⎭⎫x 3，82m ＋1，D ⎝⎛⎭⎫x 4，82m ＋1，则0＜x 1＜1＜x 2，0＜x 3＜1＜x 4，此时有－log 2x 1＝m ，log 2x 2＝m ，－log 2x 3＝82m ＋1，log 2x 4＝82m ＋1，解得x 1＝⎝⎛⎭⎫12m ，x 2＝2m ，x 3＝⎝⎛⎭⎫1282m ＋1，x 4＝282m ＋1，线段AC 与BD 在x 轴上的投影长度分别为a ＝|x 1－x 3|＝，b ＝|x 2－x 4|＝⎪⎪⎪⎪2m －282m ＋1， 则ba＝＝2m ＋82m ＋1，令t ＝m ＋82m ＋1(m ＞0)，则t ＝m ＋4m ＋12＝⎝⎛⎭⎫m ＋12＋4m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当⎝⎛⎭⎫m ＋122＝4，即m ＝32时，t 取最小值为72，此时b a的最小值为8 2.3．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．3．【解析】 ∵x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22·xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时等号成立，∴x 2＋2y 2的最小值为2 2. 【答案】 2 24．(2013·天津，14，易)设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 4．【解析】 ∵a ＋b ＝2， ∴12|a|＋|a|b ＝24|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥a4|a|＋2b 4|a|×|a|b ＝a4|a|＋1. 当且仅当b 4|a|＝|a|b 且a ＜0，即b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a|＋|a|b 取得最小值．【答案】 －25．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物需建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x ＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 5．解：(1)由题设，建筑物每年能源消耗费用为C(x)＝k3x ＋5，由C(0)＝8，得k ＝40，∴C(x)＝403x ＋5. 而隔热层建造费用为C 1(x)＝6x ， ∴f(x)＝20C(x)＋C 1(x)＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)方法一：f(x)＝8003x ＋5＋6x＝1 6006x ＋10＋6x ＋10－10 ≥21 6006x ＋10×（6x ＋10）－10＝70，当且仅当1 6006x ＋10＝6x ＋10，即x ＝5时取等号．∴当隔热层修建厚度为5 cm 时，总费用最小，最小值为70万元． 方法二：f′(x)＝6－ 2 400（3x ＋5）2，令f′(x)＝0，即2 400（3x ＋5）2＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0<x<5时，f′(x)<0；当5<x<10时，f′(x)>0.故x ＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建厚度为5 cm 时，总费用达到最小，最小值为70万元．04 函数与方程函数零点的求解与判断 【知识分析】高考中对函数零点个数和所在区间的考查中“函数”往往是由基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等)或三角函数组合而成的，题目常以选择题或填空题的形式出现，体现数形结合思想的运用，难度不大． 【典例】1(1)若a<b<c ，则函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c)(x －a)的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b)和(b ，c)内 B ．(－∞，a)和(a ，b)内 C ．(b ，c)和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a)和(c ，＋∞)内(2)函数f(x)＝4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________． 【解析】(1)易知f(a)＝(a －b)(a －c)，f(b)＝(b －c)(b －a)，f(c)＝(c －a)(c －b)．又a<b<c ，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别在(a ，b)和(b ，c)内． (2)令4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －||ln （x ＋1）＝0. ∴2sin x ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2－1＝||ln （x ＋1）， 即sin 2x ＝||ln （x ＋1）. 令y 1＝sin 2x ，y 2＝||ln （x ＋1）. 如图画出y 1，y 2的图象，结合图象可得y 1与y 2有两个交点， ∴方程有2个根． ∴函数f(x)有2个零点．【答案】 (1)A (2)2【名师点睛】解题(1)的依据是零点存在性定理；解题(2)的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，数形结合求解．1.函数f(x)＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)2．设函数f(x)(x ∈R )满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x ∈[0，1]时，f(x)＝x 3.又函数g(x)＝|xco s(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．82．B ∵f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，∴f(－x)＝f(2－x)，∴f(x)的周期为2.如图画出f(x)与g(x)的图象，它们共有6个交点，故h(x)在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为6.故选B.,判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上； (2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．判断函数零点个数的方法(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x 轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；(3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y ＝h(x)与函数y ＝g(x)的图象的交点个数； (4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断． 函数零点的应用高考对函数零点的应用的考查多以选择题或填空题的形式出现，主要考查利用零点的个数或存在情况求参数的取值范围及利用零点的性质求其和、比较大小等问题，难度较大． 【典例】2.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|，x≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g(x)＝b －f(2－x)，其中b ∈R .若函数y ＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，74C.⎝⎛⎭⎫0，74D.⎝⎛⎭⎫74，2 【解析】 由已知条件可得g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧b －2＋|2－x|，x≥0，b －x 2，x ＜0.函数y ＝f(x)，y ＝g(x)的图象如图所示： 要使y ＝f(x)－g(x)恰有4个零点，只需y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象恰有4个不同的交点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2＋x ，y ＝b －x 2在x ＜0时有两个不同的解，即x 2＋x ＋2－b ＝0有两个不同的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4（2－b ）＞0，2－b ＞0，解得74＜b ＜2；同时要满足{y ＝（x －2）2，y ＝b －2＋x －2在x ＞2时有两个不同的解，即x 2－5x ＋8－b ＝0有两个大于2的不同实根，令h(x)＝x 2－5x ＋8－b ，需⎩⎪⎨⎪⎧h （2）＞0，h ⎝⎛⎭⎫52＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，8－254－b ＜0，解得74＜b ＜2.综上所述，满足条件的b 的取值范围是74＜b ＜2.【答案】 D,已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【针对训练】1．函数f(x)＝ln x ＋x －12，则函数的零点所在区间是( )A.⎝⎛⎭⎫14，12B.⎝⎛⎭⎫12，34C.⎝⎛⎭⎫34，1 D ．(1，2)1．C 函数f(x)＝ln x ＋x －12的图象在(0，＋∞)上连续，且f ⎝⎛⎭⎫34＝ln 34＋34－12＝ln 34＋14＜0，f(1)＝ln 1＋1－12＝12＞0，故f(x)的零点所在区间为⎝⎛⎭⎫34，1. 2．设函数f(x)的零点为x 1，g(x)＝4x ＋2x －2的零点为x 2，若|x 1－x 2|≤0.25，则f(x)可以是( ) A ．f(x)＝x 2－1 B ．f(x)＝2x －4 C ．f(x)＝ln(x ＋1) D ．f(x)＝8x －23．偶函数f(x)满足f(x －1)＝f(x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f(x)＝－x ＋1，则关于x 的方程f(x)＝lg(x ＋1)在x ∈[0，9]上解的个数是( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．103．C 依题意得f(x ＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f(x)的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图象在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0，9]时，方程f(x)＝lg(x ＋1)的解的个数是9.4．定义在R 上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1），1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则关于x 的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a ＜1)的所有零点之和为( )A ．2a －1B ．2－a －1 C ．1－2－a D ．1－2a5．已知函数f(x)满足f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈[1，3]时，f(x)＝ln x ，若在区间⎣⎡⎦⎤13，3内，曲线g(x)＝f(x)－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1e B.⎝⎛⎭⎫0，12e C.⎣⎡⎭⎫ln 33，1e D.⎣⎡⎭⎫ln 33，12e5．C 当x ∈⎣⎡⎦⎤13，1时，1x ∈[1，3]，f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ∈[1，3]，－ln x ，x ∈⎣⎡⎭⎫13，1，作出其图象，如图所示．设直线y ＝a 0x 与y ＝ln x(x ∈[1，3])的图象相切，其切点为(x 0，y 0)(x 0∈[1，3]，y 0∈[0，ln 3])， 则1x 0＝a 0⎝⎛⎭⎫a 0∈⎣⎡⎦⎤13，1， ∴x 0＝1a 0，∴y 0＝1，∴1＝ln1a 0，∴a 0＝1e.又点(3，ln 3)与原点连线的斜率为ln 33，故曲线g(x)＝f(x)－ax 与x 轴有三个不同的交点，可知实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫ln 33，1e ，故选C.6．已知函数f(x)＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，则n ＝________． 6．【解析】 a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f(x)＝0，得a x ＝－x ＋b.在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x 和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示，由图可知，两函数的图象在区间(－1，0)内有交点，所以函数f(x)在区间(－1，0)内有零点，所以n ＝－1. 【答案】 －17．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则b －2a －1的取值范围是________．7．【解析】 令f(x)＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＜－1，a ＋b ＞－2.根据该约束条件作出可行域(如图)，b －2a －1表示可行域内点与点(1，2)的连线的斜率，可知14＜b －2a －1＜1.【答案】 ⎝⎛⎭⎫14，1 【点击高考】1．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（4a －3）x ＋3a ，x<0，log a （x ＋1）＋1， x≥0(a>0，且a≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f(x)|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫341．C 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，知0<a<1. 又由f(x)在R 上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧02＋（4a －3）·0＋3a≥f （0）＝1，3－4a 2≥0⇒13≤a≤34. 由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－x 有且仅有一个解，故在(－∞，0)上，|f(x)|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a>2，即a>23时，令|x 2＋(4a －3)x ＋3a|＝2－x ， ∴x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x.又Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍)．当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件． 综上，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.选C.2．函数f(x)＝2x |log 0.5x|－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．B方法一：f(x)＝2x |log 0.5x|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x log 0.5x －1，0<x≤1，－2x log 0.5x －1，x>1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x log 2x －1，0<x≤1，2x log 2x －1，x>1. ∵f(x)＝－2x log 2x －1在(0，1]上递减且x 接近于0时，f(x)接近于正无穷大，f(1)＝－1<0，∴f(x)在(0，1]上有1个零点．又∵f(x)＝2x log 2x －1在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝22×log 22－1＝3>0， ∴f(x)在(1，＋∞)上有1个零点， 故f(x)共有2个零点．方法二：易知函数f(x)＝2x |log 0.5x|－1的零点个数⇔方程|log 0.5x|＝12x ＝⎝⎛⎭⎫12x 的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x|与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有2个交点．3．函数f(x)＝xcos x 2在区间[0，4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．4．【解析】 当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪（x －1）2－12，由f(x)是周期为3的函数，作出f(x)在[－3，4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f(x)在[－3，4]上有10个不同的根． 由图可知a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.。
3.1.1(1)不等式的基本性质
设底层石柱x根，中间六层每层2x根。
此塔共13x 12根石柱 则200 13x 12 250, x N , x 5n, n N
练习2：若 a≠－1 且 a∈R，试比较 1 与 1－a 的大小(字母讨论型）．
1＋a
【解】 ∵1＋1 a－(1－a)＝1＋a2 a，
做差变 形
∴①当 a>－1 且 a≠0 时，1＋1 a>1－a；
②当 a<－1 时，1＋1 a<1－a；
③当 a＝0 时，1＋1 a＝1－a.
课堂练习:
1.在下列各题的横线中填入适当的不等号.
解：( px qy)2 px2 qy 2 p 2 x2 q 2 y 2 2 pxqy px2 qy2
( p 2 p)x2 (q 2 q) y 2 2 pxqy
( p 1) px2 (q 1)qy2 2 pxqy
p q 1, p 1 q, q 1 p
探究点二：两实数（代数式）比较大小
A
B
一一对应
实数a
点A
a
0
b
结论：1.对任意两个实数a,b在a=b,a>b,a<b三种关
系中有且仅有一种关系成立。
a>b a-b>0
a<b a-b<0
a=b a-b=0 等价符号的右边反映的是实数的_运__算__性__质_，左边反映的
是实数的_大__小__顺__序_，它是不等式内容的理论基础，是不
不等式的性质和应用
不等式的性质和应用不等式作为数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理等领域，它不仅有着严密的证明方法，而且还具有许多重要的性质和应用。
在本文中，我将就不等式的性质和应用进行一些讨论和探究。
一、不等式的性质1.传递性：不等式是具有传递性的。
也就是说，如果a<b，b<c，那么就可以得到a<c。
例如：2<3，3<4，因此2<4。
2.加减性：不等式也有加减性质。
也就是说，如果a<b，则a+c<b+c；如果a>b，则a-c>b-c。
例如：2<4，那么2+1<4+1，即3<5。
3.乘性：不等式也有乘性质。
如果a<b且c>0，则ac<bc；如果a<b且c<0，则ac>bc。
例如：2<4，2×3<4×3，即6<12。
二、不等式的应用1.解不等式：在数学中，我们常常需要解决不等式问题，例如x+5>3。
这时我们可以先把等式左右移位，得到x>-2。
也就是说，x的取值范围是大于-2的所有实数。
2.证明不等式：在数学证明中，我们也经常需要利用不等式的性质证明某些结论。
例如，在证明柯西不等式时，我们可以利用平方和的不等式，证明其正确性。
3.优化问题：不等式还可以用于解决一些优化问题。
例如，在求一个函数的最大值或最小值时，我们可以从不等式的角度出发，利用其性质进行推导和求解。
总之，不等式在数学中起着非常重要的作用，不仅有着严密的证明方法，而且还具有许多重要的性质和应用。
因此，我们在学习数学的过程中，一定要加强对不等式的学习和理解，掌握其性质和应用。
不等式的性质及应用
反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出 矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可 以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于 所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学 中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。
不等式的性质和应用
不等式的性质和应用不等式是数学中比较大小关系的一种表示形式，它在实际生活中和各个学科中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨不等式的性质以及它们在不同领域的应用。
一、不等式的性质1. 传递性不等式具有传递性，即如果a>b，b>c，则可以得出a>c。
这一性质在比较大小时起到了重要的作用。
2. 相加性对于任意的实数a、b、c，如果a>b，则a+c>b+c；如果a>b且c>0，则ac>bc。
这些相加性质可以方便地对不等式进行加减运算。
3. 相乘性对于任意的实数a、b、c，如果a>b且c>0，则ac>bc；如果a>b且c<0，则ac<bc。
这些相乘性质在不等式的乘除运算中起到了重要的作用。
4. 反向不等式两边同时取反，不等号的方向也会改变。
例如，如果a>b，则-b>-a。
这一性质在求解不等式时需要注意。
二、不等式的应用1. 经济学中的应用不等式在经济学中有着广泛的应用。
例如，用来描述消费者的预算约束条件、生产者的约束条件以及市场的供求关系等。
通过建立相应的不等式模型，可以对经济现象进行分析和预测。
2. 物理学中的应用不等式在物理学中也有着重要的应用。
例如，牛顿定律中的不等式关系、能量守恒定律中的不等式条件等，都可以通过不等式的运算和推导来得到。
3. 几何学中的应用在几何学中，不等式被广泛应用于证明和问题的求解中。
例如，通过不等式可以证明三角形的一些性质，如三角不等式；也可以用不等式求解最优化问题，如构造一个具有最大面积的矩形等。
4. 概率与统计学中的应用在概率与统计学中，不等式被用来描述和推导随机事件的概率关系。
例如，通过马尔可夫不等式可以得到随机变量的上界；通过切比雪夫不等式可以估计随机变量偏离其均值的程度等。
5. 计算机科学中的应用在计算机科学中，不等式在算法设计和复杂性分析中起到重要的作用。
例如，在排序算法中，通过不等式可以证明算法的正确性和效率；在算法复杂性的分析中，通过不等式可以得到问题的下界和上界等。
数学课件 人教a版必修1 第二章基本不等式的应用同步教学课件
当 a<1 时,
<0,即 a+2< .
-1
1-
+
反思感悟 用作差法比较实数大小的步骤
作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)
变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,
即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
课堂篇
探究学习
探究一
反思感悟 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不
等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采
用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题
中经常采用这种办法.
1
1
2.注意正确的倒数法则,应该是 a>b,ab>0⇒ < ,不能误认为是
1
1
a>b⇒ < ,在应用时不能出错.
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
实数大小的比较
例2比较下列各组中的两个代数式的大小:
(1)2x2+3与x+2,x∈R;
3
,a∈R,且 a≠1.
1-
(2)a+2 与
分析:利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a分类讨
论.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2
(4)若
(5)若
1
a>b,
>
;
-
1
> ,则 a>0,b<0;
不等式的基本性质
不等式的基本性质编稿：周尚达审稿：张扬责编：辛文升目标认知学习目标：理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在显示时节和日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式（组）的实际背景.能用不等式的基本性质比较代数式的大小。
重点：不等式的性质及运用，用不等式的基本性质比较代数式的大小。
难点：不等式性质的应用。
学习策略：①不等式的基本性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，注重性质的推导过程，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。
②要比较两个式子的大小，通常只需将他们作差即可。
如果差的符号不确定，就需要对其差进行讨论。
③要证的不等式或者需要比较大小的式子含“幂”或“指数”，常采用作商比较法。
知识要点梳理知识点一：不等式的概念用不等号（）表示不等关系的式子叫不等式.知识点二：不等式的性质1、不等式的基本性质：①对称性：②传递性：③可加性：（）④可乘性：如果，则2、不等式的运算性质：①可加法则：②可乘法则：③可乘方性：④可开方性：知识点三：比较大小的方法1、作差法：任意两个式子、，可以作差后比较差与0的大小关系，从而得到与的大小关系，这种比较大小的方法称为作差比较法。
作差比较法的理论依据：①；②；③。
2、作商法：任意两个式子，如果、，可以作商后比较商与1的关系，从而得到与的大小关系。
作商差比较法的理论依据：若、，则有①；②；③.注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。
3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.规律方法指导1、作差比较法的主要步骤：①作差；②变形（分解因式，配方等）；③判断差的符号；如果差的符号不确定，就需要对其差进行讨论。
④下结论。
注意：这里“判断差的符号”是目的，“变形”是关键过程。
2、作商比较法的主要步骤：①判断要比较两式的符号都为正；②作商；③变形；④判断商与1的大小关系；如果商与1的大小关系不确定，就需要对其商进行讨论。
不等式的基本性质和证明的基本方法
通过构造平方和并利用非负性进行证明。
应用领域
在线性代数、函数分析和概率论中有广泛应用，如证明某些函数的可 积性等。
切比雪夫不等式
定义
对于任意两个实数序列，序列和的乘积小于或等于序列各项乘积 的和。
证明方法
通过排序后应用算术-几何平均不等式进行证明。
应用领域
在数论、概率论和统计学中有应用，如证明某些概率分布的性质等。
06
经典不等式介绍及其证明
算术-几何平均不等式
定义
对于所有非负实数，算术平均数永远大于或等于 几何平均数。
证明方法
通过数学归纳法或拉格朗日乘数法进行证明。
应用领域
在概率论、信息论和统计学中广泛应用，如证明 熵的最大值等。
柯西-施瓦茨不等式
定义
对于任意两个向量，它们的内积的绝对值小于或等于它们的模的乘 积。
数列的单调性
利用不等式的性质，可以判断数列的单调性，即数列是递增还是 递减。
数列的有界性
通过不等式的性质，可以证明数列的有界性，即数列的每一项都落 在某个区间内。
数学归纳法中的不等式证明
在数学归纳法中，经常需要利用不等式的性质进行证明，如证明某 个不等式对所有的自然数都成立。
05
证明不等式的基本策略
不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，研究不等式有 助于解决实际问题。
不等式的基本性质概述
01
传递性
02
可加性
03 可乘性
04
特殊性
对称性
05
如果a>b且b>c，则a>c。 如果a>b，则a+c>b+c。 如果a>b且c>0，则ac>bc。 任何数都大于负数，小于正数。 如果a=b，则b=a。
基本不等式性质
基本不等式性质“基本不等式性质”是高等数学中的一个重要概念，它是一种不等式，可以应用于多种数学分析的问题中，如空间几何、微分方程和有限元分析等。
本文旨在研究基本不等式性质的基本原理及其实际应用。
首先，介绍基本不等式的定义。
基本不等式定义为：若某变量所取的值必须位于某取值范围之内，则称此变量为基本不等式，记作$ x < a$ $x > b$，中a,b为定义域中的实数。
本不等式可以与其他不等式组合来构造复杂的性质，以解决特定问题。
其次，介绍基本不等式的基本原理。
基本不等式属于等式的一种，由于其变量的取值被限制在定义域中，因此它所提出的不等式带有一定的性质。
基本不等式性质一般有三类：完全性、不失性、传递性。
首先是完全性。
若无特殊说明，基本不等式的结果至少包含定义域中所有数值。
即，当被除数不为零时，基本不等式具有完全性；当被除数为零时，基本不等式不具备完全性，具体受到具体情况的影响。
其次是不失性。
它指的是一组基本不等式的解集与原基本不等式的定义域要求一致，即满足解集的所有值都必须在定义域中。
最后是传递性。
传递性是指，当一组基本不等式中的变量发生变化时，不等式的结果仍然符合定义域要求，即传递性等式出现在原基本不等式的定义域中。
最后，介绍基本不等式的实际应用。
由于基本不等式有良好的结构性性质，可以方便地用于多种数学分析的问题中。
例如，基本不等式可以用来给出特定空间形状的解析表示，以及求解一些基本几何问题；可以用来分析函数在不同条件下的行为，并用来解决微分方程；同时，它还可以用来研究有界多变量函数的性质，以及用作有限元分析的基础。
综上所述，基本不等式性质对数学分析的问题具有重要意义，在数学分析中有着广泛的应用。
本文介绍了基本不等式的定义、基本原理和实际应用，以期能够更好地了解基本不等式的基本性质和它的应用。
函数的不等式性质与应用
函数的不等式性质与应用函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数的不等式性质的情况。
函数的不等式性质不仅能够帮助我们解决实际问题，还能够深化我们对函数的理解。
本文将探讨函数的不等式性质以及其应用。
一、函数的不等式性质函数的不等式性质是指函数在定义域上的取值范围。
通过研究函数的不等式性质，我们可以确定函数的最大值、最小值以及函数值的正负情况。
对于一元函数来说，我们可以通过求导的方法来研究其不等式性质。
当函数的导数大于零时，函数递增；当函数的导数小于零时，函数递减。
通过求导并研究导数的正负情况，我们可以确定函数的增减区间，从而得出函数的不等式性质。
对于二元函数来说，我们可以通过偏导数的方法来研究其不等式性质。
偏导数表示了函数在某个方向上的变化率。
通过研究偏导数的正负情况，我们可以确定函数的增减区域，从而得出函数的不等式性质。
二、函数不等式的应用函数的不等式性质在实际问题中有着广泛的应用。
下面将介绍函数不等式的两个典型应用：最优化问题和约束条件问题。
最优化问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值或最小值。
通过研究函数的不等式性质，我们可以确定函数的最大值或最小值所对应的自变量取值。
例如，在生产过程中，我们希望找到一种材料的最佳用量，使得成本最小或者产量最大。
这个问题可以通过建立成本函数或产量函数，并研究其不等式性质来解决。
约束条件问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值或最小值，同时满足一定的约束条件。
通过研究函数的不等式性质以及约束条件，我们可以确定函数在约束条件下的最大值或最小值所对应的自变量取值。
例如，在生产过程中，我们希望找到一种材料的最佳用量，使得产量达到一定的要求，同时成本最小。
这个问题可以通过建立成本函数和产量函数，并研究其不等式性质以及约束条件来解决。
三、函数不等式性质的实例为了更好地理解函数的不等式性质与应用，我们来看一个具体的实例。
假设有一块长方形的土地，其中一条边是河流。
应用基本不等式解决实际问题的方法
应用基本不等式解决实际问题的方法（原创版4篇）目录（篇1）一、基本不等式的概念和性质二、应用基本不等式解决实际问题的方法1.求解最值问题2.证明不等式3.解决实际生活中的问题三、基本不等式在实际问题中的应用案例1.求解最大利润问题2.证明不等式关系3.解决实际生活中的财务问题正文（篇1）一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，主要用于研究不等式之间的联系和关系。
基本不等式有两个基本性质，分别是对称性和传递性。
对称性指的是对于任意的实数 a 和 b，都有 a*b<=b*a，即乘法满足交换律。
传递性指的是对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a<=b 且 b<=c，那么 a<=c。
二、应用基本不等式解决实际问题的方法基本不等式在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下三种方法：1.求解最值问题：利用基本不等式可以方便地求解最值问题。
例如，对于函数 f(x)=x^2+ax+b，当 a^2-4b<=0 时，函数的最小值等于 b；当a^2-4b>0 时，函数的最小值等于 f(-a/2)。
2.证明不等式：基本不等式也可以用于证明不等式。
例如，要证明x+y<=2，可以利用基本不等式，得到 (x+y)^2<=4，从而证明 x+y<=2。
3.解决实际生活中的问题：基本不等式也可以用于解决实际生活中的问题。
例如，对于一个商人，他希望利润最大化，可以利用基本不等式，得到售价 - 成本<=售价*成本，从而得到最大利润的售价。
三、基本不等式在实际问题中的应用案例基本不等式在实际问题中有广泛的应用，以下是两个应用案例：1.求解最大利润问题：一个商人要销售一批商品，商品的成本为 c，售价为 x，销售量为 y，利润为 P=xy-c。
利用基本不等式，可以得到最大利润的售价 x<=sqrt(2*c/y)。
2.证明不等式关系：在实际问题中，基本不等式也可以用于证明不等式关系。
不等式的基本性质知识点总结
4.2 实例分析 以一道具体的不等式问题为例，详细分析其 解题过程和思路，展示如何运用不等式的性 质进行解题。通过实例分析，加深对不等式 基本性质的理解和掌握
不等式的常见题型与解题技巧
如何激发对不等式学习的兴趣
A
学习不等式 需要耐心和
毅力
B
当我们遇到困 难时，不要轻 易放弃，而是 要坚持下去， 相信自己能够
解决问题
C
通过不断练习 和反思，我们 可以逐渐提高 自己的解决问
题的能力
总结与展望未来
12.1 总结
01
本文总结了不等式的基本性质、解法与变形、常见题型 与解题技巧等方面的知识点，并探讨了如何进一步提高 不等式问题的解决能力以及学习不等式的重要性和意义。 同时，也提出了一些激发对不等式学习兴趣的方法
不等式在实际生 活中的应用
7.1 经济学中的应用：在经济学中，不等式常被用来描述和解决资 源分配、市场供需、成本与收益等问题。例如，通过比较不同投资 方案的收益与成本，利用不等式来选择最优的投资方案
7.2 物理学中的应用：在物理学中，不等式被广泛应用于力学、 热学、电磁学等领域。例如，牛顿第二定律中的力与加速度的 关系就可以用不等式来描述
10.4 提高综合素质
学习不等式不仅可以提高我 们的数学能力，还可以培养 我们的耐心、毅力和创新精 神
通过解决复杂的问题，我们 可以锻炼自己的意志品质， 提高自己的综合素质
如何激发对不等式学习的兴趣
了解不等式在实际生活中的应用，可以激发我们对不等式学 习的兴趣。当我们知道所学知识能够解决实际问题时，自然 会产生学习的动力 参加数学竞赛和活动，可以让我们更好地了解数学的魅力， 提高解决数学问题的能力。在竞赛和活动中，我们可以结交 志同道合的朋友，共同探讨数学问题，分享解决问题的乐趣 寻找合适的学习资源，如教材、网络课程、学习 app 等， 可以帮助我们更好地学习不等式。同时，也可以通过参加学 习小组或找老师请教等方式，获取更多的学习帮助和支持
不等式的应用
不等式的应用不等式是数学中非常常见的一种关系表达式。
与等式不同的是，不等式中的两个数或两个算式之间不一定相等，而是通过比较大小来表示它们之间的关系。
不等式的应用十分广泛，涵盖了各个数学领域和实际生活中的许多问题。
本文将探讨不等式在数学和实际应用中的具体用途和相关概念。
一、不等式在数学中的应用1. 不等式的解集表示在数学中，我们通常使用符号 <、>、≤、≥ 来表示不等式的关系。
针对具体问题，我们需要找到不等式的解集表示，即满足该不等式关系的数的集合。
例如，对于不等式 2x + 3 > x + 5，我们可以通过移项、合并同类项等方法得到 x > 2，表示这个不等式的解集为所有大于2的实数。
2. 不等式的基本性质不等式具有许多重要的基本性质，利用这些性质可以帮助我们解决各种不等式问题。
其中一些常见的性质包括：(1) 基本性质1：若 a > b, 则有 a + c > b + c (c 为任意实数) 的性质(2) 基本性质2：若 a > b, c > 0, 则有 ac > bc 的性质(3) 基本性质3：若 a > b, c < 0, 则有 ac < bc 的性质利用这些基本性质，我们能够对复杂的不等式进行简化和推导，从而更好地理解和解决问题。
3. 不等式的解法解不等式是数学中的基本技能之一。
对于简单的不等式，我们可以通过移项、合并同类项、化简等方法求解。
例如，对于不等式 2x + 3 > x + 5，我们可以将相同项合并得到 x > 2，得到该不等式的解集。
对于一些复杂的不等式，我们可能需要使用图像法、数轴法或者区间法等方法来解决。
二、不等式在实际问题中的应用1. 不等式的经济学应用不等式在经济学中有广泛的应用。
例如，需求与供给关系中的价格不等式问题，通过建立供求方程和价格不等式，可以得到市场均衡点的范围，为市场调控和决策提供依据。
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不等式基本性质的应用
不等式的基本性质是求不等式（组）的解的基础，也是中考的必考内容之
一．近几年，各地的中考试题中，有不少对不等式基本性质的考查的试题，解决这类问题时，特别要注意不等式性质3的运用，当不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数．．
时，必须把不等号的方向改变，所得的不等式才成立．本文举例说明． 例1．如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是（ ）
A ．a+t >a
B ．a+t <a
C ．a+t ≥a
D ．不能确定
解析：因为 t>0，两边都加上a ，根据不等式的性质1得a+t>a ，故答案为A ． 例2．已知a b <，则下列式子不正确的是（ ）
A ．44a b <
B ．44a b -<-
C ．44a b +<+
D ．44a b -<- 解析：由a b <，两边都加上4、减去4、乘以4，根据不等式性质1、2，不等式仍成立，知C 、D 、 A 正确，而两边都乘以－4，根据不等式性质3，必须把不等号的方向改变，不等式才能成立，所以B 不正确，故答案为B ． 例3．如果0m n <<，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．99m n -<-
B ．m n ->-
C ．11n m >
D ．1m n
> 解析：由0m n <<，两边都加上－9，根据不等式性质1，知A 正确；两边都乘以－1，根据不等式性质3，知B 正确；两边都除以n ，因为0n <，根据不等式性质3，必须改变不等号的方向，故D 正确．所以错误的结论是C ，选C ． 例4．（06芜湖）已知a>b>0，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A ．ab>b 2
B ．a+c>b+c
C ．1a < 1b
D ．ac>bc 解析：字母c 可以表示正数、负数或0，当不等式两边乘以0时，不等式转化为等式，当不等式两边乘以负数时，不等号要改变方向，所以ac>bc 不一定能成立，故答案为D ．
例5．如果关于x 的不等式 (a +1) x >a +1的解集为x <1，那么a 的取值范围是（ ）
A ．a >0
B ． a <0
C ． a >-1
D ．a <-1
解析：从不等式 (a +1) x >a +1得到不等式的解集x <1，是对不等式两边都除以a +1得到的，又注意到不等号方向改变了，根据不等式性质3，得10a +<，解得1a <-，故选D ．本题考查了对不等式性质3的逆向运用．
练习：
1． 若a b -<0，则下列各式中一定正确的是（ ）
A ．a b >
B ． ab >0
C ． a
b <0 D ． ->-a b
2．如果a ＞b ，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．a －3＞b －3
B ．3a ＞3b
C ．3a ＞3b
D ．－a ＞－b
3．若b a <，则下列各式中一定成立的是 （ ）
A ．0>-b a
B ．0<-b a
C ．0>ab
D ．0<ab
4．不等式ax ＞b 的解集是x ＜a b
，那么a 的取值范围是（ ）
A ．a≤0
B ．a ＜0
C ．a≥0
D ．a ＞0
5．若()11m x m ->-不等式的解集为1x >-，则m 必须满足（ ）
A ．0m <
B ．1m <
C ．1m <-
D ．1m >-
6．关于x 的不等式()12a x ->的解集为2
1x a <-，则a 的取值范围是（
） A ． 0a > B ．1a > C ． 0a < D ．1a < 参考答案：
1．D 2．D 3．B 4．B 5．B 6．B。