长沙历年备战中考数学易错题汇编-锐角三角函数练习题

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=81

4

．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒

5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；

（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=9

5

S△QCN时，求t的值；

（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【答案】（1）coaA=4

5

；（2）当t=

3

5

时，满足S△PQM=

9

5

S△QCN；（3）当t=2733

-s或

2733

+s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【解析】

分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=9

5

S△QCN构建方程即可解决问题；

（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；

详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．

∵S△ABC=1

2

•AC•BE=

81

4

，

∴BE=

92

， 在Rt △ABE 中，AE=22=6AB BE -，

∴coaA=

64

7.55

AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．

∵PA=5t ，PH=3t ，AH=4t ，HQ=AC-AH-CQ=9-9t ， ∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+（9-9t ）2， ∵S △PQM =9

5

S △QCN ， ∴

3•PQ 2=935⨯•CQ 2， ∴9t 2+（9-9t ）2=9

5

×（5t ）2， 整理得：5t 2-18t+9=0，

解得t=3（舍弃）或35

． ∴当t=

35时，满足S △PQM =9

5

S △QCN ． （3）①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．

易知：PM ∥AC ， ∴∠MPQ=∠PQH=60°， ∴3， ∴39-9t ），

-．

∴t=2733

26

②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．

同法可得PH=3QH，

∴3t=3（9t-9），

∴t=27+33

，

26

-s或27+33s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN 综上所述，当t=2733

26

的边上．

点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点

F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin

31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)

【答案】2.5m.

【解析】

试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得

AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．

试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，

∴CF=tan·DF=，

又∵CB=4，

∵AB=6，DE=1，BM= DF=，

∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，

在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，

tan==0．60，

解得=2．5，

答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．

考点：解直角三角形．

3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．

（1）求证：△ABC∽△BCD；

（2）求x的值；

（3）求cos36°-cos72°的值．

【答案】(1)证明见解析；（2

15

-+

；（3

758

+

【解析】

试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；

（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；

（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．

试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BCD；

（2）∵∠A=∠ABD=36°，