第5课时二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图象与性质

第5课时二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质

要点感知1 对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来说，利用配方法可将其化成y=a(x-h)2+k的形式.因此，二次函数y=ax2+bx+c的图象同样可由抛物线y=ax2平移得到，它们的相同，只是位置不同.

预习练习1-1 若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k,则b，k的值分别为( )

A.0，5

B.0，1

C.-4，5

D.-4，1

要点感知 2 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是，对称轴是直线；当a＞0时，抛物线开

口；当a＜0时，抛物线开口；当a＞0，x= 时，y有最小值

2

4

4

ac b

a

；当a＜0，x=-

2

b

a

时，y有最大值.

预习练习2-1 抛物线y=-x2-8x+2开口向，对称轴是直线，当x= 时，函数有最值是.

知识点1 二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的关系

1.在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是( )

A.(-1,1)

B.(1,-2)

C.(2,-2)

D.(1,-1)

2.抛物线y=x2-4x+3向左平移2个单位长度后所得新的抛物线为.

知识点2 画二次函数y=ax2+bx+c的图象

3.二次函数y=x2+bx+3的图象经过点(3，0).

(1)求b的值；

(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；

(3)在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+3的图象.

知识点3 二次函数y=ax2+bx+c的性质

4.抛物线y=x2-2x-3的对称轴和顶点坐标分别是( )

A.x=1，(1，-4)

B.x=1，(1，4)

C.x=-1，(-1，4)

D.x=-1，(-1，-4)

5.(2013·河南)在二次函数y=-x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( )

A.x＜1

B.x＞1

C.x＜-1

D.x＞-1

6.已知二次函数y=-1

2

x2-7x+

15

2

，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大

小关系正确的是( )

A.y1＞y2＞y3

B.y1＜y2＜y3

C.y2＞y3＞y1

D.y2＜y3＜y1

知识点4 求二次函数y=ax2+bx+c的最值

7.当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值.

8.抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为( )

A.(3，-4)

B.(3，4)

C.(-3，-4)

D.(-3，4)

9.(2014·广东)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是( )

A.函数有最小值

B.对称轴是直线x=1 2

C.当x＜1

2

时，y随x的增大而减小

D.当-1＜x＜2时，y＞0

10.(2013·衢州)抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4，则b，c的值为( )

A.b=2,c=-6

B.b=2,c=0

C.b=-6,c=8

D.b=-6,c=2

11.(2014·陕西)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )

A.c＞-1

B.b＞0

C.2a+b≠0

D.9a+c＞3b

12.二次函数y=x2-2x+3的最小值是.

13.已知二次函数y=1

2

x2+x+

5

2

.

(1)通过配方，写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)画出此函数的图象，并说出此函数图象与y=1

2

x2的图象的关系；

(3)根据图象分析该函数有哪些性质？

挑战自我

14.根据下表中二次函数2( )

x -3 -2 0 1 5

y -29 -15 1 3 -29

A.x=-1

B.x=0

C.x=1

D.x=1.5

15.(2014·滨州)已知二次函数y=x2-4x+3.

(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；

(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积.

参考答案

课前预习

要点感知1形状

预习练习1-1 D

要点感知2 (-2b a ，244ac b a -) x=-2b a 向上 向下 -2b a

244ac b a - 预习练习2-1 下 x=-4 -4 大 18

当堂训练

1.B

2.y=x 2-1

3.(1)将(3,0)代入函数解析式,得9+3b+3=0.解得b=-

4.

(2)∵y=x 2-4x+3=(x-2)2-1，

∴顶点坐标是(2，-1)，对称轴为直线x=2.

(3)图略.

4.A

5.A

6.A

7.①当k=1时，函数为y=-4x+4，是一次函数(直线)，无最值；

②当k=2时，函数为y=x 2-4x+3，为二次函数.此函数图象的开口向上，函数只有最小值而无最大值；

③当k=-1时，函数为y=-2x 2-4x+6，为二次函数.此函数图象的开口向下，函数有最大值.

因为y=-2x 2-4x+6=-2(x+1)2+8，所以当x=-1时，函数有最大值，为8.

课后作业

8.A 9.D 10.B 11.D 12.2

13.(1)y=12x 2+x+52=12(x 2+2x)+52=12

(x+1)2+2. 所以，抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为(-1，2).

(2)列表：

描点，连线图略.

此函数图象可以看作是由y=

12x 2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的. (3)函数y=12x 2+x+52

开口向上，对称轴为直线x=-1；顶点坐标为(-1，2)；当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小；当x ＞-1时，y 随x 的增大而增大；当x=-1时，y 有最小值2.

14.C

15.(1)y=x 2-4x+3=(x-2)2-1.

∴其函数的顶点C 的坐标为(2，-1).

∴当x ≤2时，y 随x 的增大而减小；

当x>2时，y 随x 的增大而增大.

(2)令y=0，则x 2-4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3.

∴当点A 在点B 左侧时，A(1，0)，B(3，0)；

当点A 在点B 右侧时，A(3，0)，B(1，0).

∴AB=|1-3|=2.

过点C 作CD ⊥x 轴于D ，

S △ABC =

12AB ·CD=12×2×1=1.