2020年中考专题复习 第8讲 二次函数中线段、面积最值问题 练习题(无答案)

中考专题复习第8讲二次函数中线段、面积最值问题

知识点1：二次函数中线段最值问题

1、一条线段的最值问题解题思路：通常运用函数思想设动点的坐标将动线段用所设坐标表示出来结合函数的性质求解

2、多条线段的和、差最值问题解题思路：通过对称、平移等手段将“折”转“直”。

例1. （2019模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y轴于点M.

(1)求抛物线的表达式；

(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；

例2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；并求出周长的最小值；

【变式】已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD ∥y轴交直线AC于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

（3）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

知识点2：二次函数中三角形、四边形面积问题 1、二次函数之面积问题的处理思路

①运用公式；②割补法；③转化法．

【注意】

（1）存在某条边与坐标轴重合或平行的三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示 （2）复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想 （3）利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。 （4）利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

2、二次函数之三角形面积问题的常见模型

①割补求面积——铅垂法：

x B -x A

x B -x A

B

M

P

P

M 1

()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△ 1()

2APB B A S PM x x =⋅⋅-△

②转化法——借助平行线转化：

B

A

若S △ABP =S △ABQ ，

若S △ABP =S △ABQ ，

当P ，Q 在AB 同侧时， 当P ，Q 在AB 异侧时， PQ ∥AB ．

AB 平分PQ ．

3. 四边形的面积问题可以利用分割求和法转化为三角形面积问题处理

例1. 如图，抛物线

c bx x y ++-=2

与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；

（2）该二次函数在第二象限内的图像上是否存在一点Q 使得BQC ∆的面积达到最大，若存在求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由。

例2.（2018辽宁省朝阳市）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），顶点为G ． （1）求抛物线和直线AC 的解析式；

（2）如图1，设E （m ，0）为x 轴上一动点，若△CGE 和△CGO 的面积满足S △CGE

4

3

=S △CGO ，求点E 的坐标；

A

B

C

【变式】如图，抛物线2

23y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，与直线y x p =-+交于点A 和点C(2，-3).

（1）若点M 在抛物线上，且以点M ，A ，C 以及另一点N 为顶点的平行四边形ACNM 的面积为12，求M ，N 两点的坐标．

（2）在（1）的条件下，若点Q 是x 轴下方抛物线上的一动点，当△QMN 的面积最大时，请求出△QMN 的最大面积及此时点Q 的坐标．