(完整版)高考物理专题-双星问题

专题：“双星”及“三星”问题

【前置性学习】

1. 甲、乙两名溜冰运动员m 甲=70kg,m 乙=36 kg ，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演（如图1），两人相距0.9 m ，弹簧秤的示数为21 N ，下列判断正确的是（ ）

A ．两人的线速度相同，约为1 m/s

B ．两人的角速度相同，为1 rad/s

C ．两人的运动半径相同，为0.45 m

D ．两人的运动半径不同，甲为0.6 m,乙为0.3 m ★学习目标 1. ★新知探究

一、 “双星”问题：

两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。 1.要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源

双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提 供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

2.要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系

两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等 的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。 3.要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角 速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：

M 1： 2

212111112

1

M M v G M M r L

r ω==

M 2： 2

2122

22222

2

M M v G M M r L

r ω==

在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距

离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。 4.“双星”问题的分析思路

质量m 1，m 2；球心间距离L ；轨道半径 r 1 ，r 2 ；周期T 1，T 2 ；角速度ω1，ω2 线速度V 1 V 2；周期相同：（参考同轴转动问题） T 1=T 2 角速度相同：（参考同轴转动问题）ω1 =ω2 向心力相同：Fn 1=Fn 2

（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）

轨道半径之比与双星质量之比相反：（由向心力相同推导）r 1：r 2=m 2：m 1

m 1ω2

r 1=m 2ω2

r 2

m 1r 1=m 2r 2 r 1:r 2=m 2:m 1

线速度之比与质量比相反：（由半径之比推导） V 1:V 2=m 2:m 1

V 1=ωr 1 V 2=ωr 2 V 1:V 2=r 1:r 2=m 2:m 1

二、 “三星”问题 有两种情况：

第一种三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R 的圆轨道上运行，周期相同；

第二种三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同。

★例题精析

【例题1】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为

，质量分别为

和，试计算：

（1）双星的轨道半径；

（2）双星的运行周期； （3）双星的线速度。

分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两者做匀速圆周运动的半径不相等。

M 1 M 2

ω1 ω2

L r 1

r 2

图1

解：设行星转动的角速度为，周期为

（1）如图，对星球，由向心力公式可得：

同理对星球有：

两式相除得：（即轨道半径与质量成反比）

又因为

所以，，

（2）因为，所以

（3）因为，所以

说明：处理双星问题必须注意两点（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；（2）轨道半径不等于引力距离（这一点务必理解）。弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误。

【例题2】（01北京.08宁夏卷）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。（引力常量为G）【例题3】宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设三颗星质量相等,每个星体的质量均为m。

（1）试求第一种情况下，星体运动的线速度和周期

(2)假设第二种情况下星体之间的距离为R,求星体运动的线速度和周期

★自我测评

1.两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是：

A 、它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比。

B 、它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比。

C 、它们做圆周运动的半径与其质量成正比。

D 、它们做圆周运动的半径与其质量成反比。

解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等。由v=r ω得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的。因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由212112

M M G M r L ω=，212222M M G M r L

ω=可知：221122M r M r ωω=，所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的。而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的。正确答案为：BD 。

2.(2010·全国卷Ⅰ)如图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间的距离为L .已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧．引力常数为G .

(1)求两星球做圆周运动的周期；

(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的

运行周期记为T 2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024

kg 和7.35×1022

kg.求T 2与T 1两者平方之比．(结果保留3位小数)

解析：(1)设两个星球A 和B 做匀速圆周运动的轨道半径分别为r 和R ，相互作用的引力大小

为f ，运行周期为T .根据万有引力定律有f ＝G

Mm

R ＋r

2

①

由匀速圆周运动的规律得f ＝m (2πT

)2

r ②

f ＝M (

2πT

)2

R ③

由题意有L ＝R ＋r ④ 联立①②③④式得T ＝2π

L 3

G M ＋m

⑤

(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O 不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出

T 1＝2πL ′3

G M ′＋m ′

⑥

式中，M ′和m ′分别是地球与月球的质量，L ′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地

球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则G M ′m ′L ′2＝m ′(

2πT 2

)2

L ′ ⑦ 式中，T 2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得

T 2＝2π

L ′3

GM ′ ⑧ 由⑥⑧式得(T 2T 1

)2

＝1＋

m ′

M ′

⑨ 代入题给数据得(T 2

T 1

)2

＝1.012

3. 用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对

宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M ，两者相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。

（1）计算该双星系统的运动周期T 计算。

（2）若实验上观测到的运动周期为T 观测，且T 观测：T 计算=1：N (N>1)，为了解释T 观测与T 计算

的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为

一种简化模型，我们假定在这两个星体边线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

解析：（1）双星绕它们的连线中点做圆周运动，由万有引力提供向心力，根据万有引力和牛

顿第二定律得：2222

M M L G L ω=，而2T πω=。解得：L 2L /GM T π计算＝。

（2）因为N

T T T 观测计算计算＝

＜，这个差异是以双星连线为直径的球体内均匀分布着的暗物质引起的，设这种暗物质质量为M ′，位于两星连线中点处的质点对双星的影响相同，这时双星做圆周运动的向心力由双星的万有引力和M ′对双星的万有引力提供，所以有：

()

22

/

222

/2M L M MM

G

G L L ω=

观测＋，又2T πω=

观测观测

解得暗物质的质量为：/N 1/4M M ＝（－）