第13节 余弦型函数的图像和性质

练习：y=2cos（ ﹣2x）的单调减区间是（ ）
A．[kπ+ ，kπ+ π]（k∈Z）
B．[﹣ π+kπ， +kπ]（k∈Z）
C．[ +2kπ， +2kπ]（k∈Z） D．[﹣ π+2kπ， +2kπ]（k∈Z）
解：y=2cos（ ﹣2x）=2cos（2x﹣ ）．由 2kπ≤2x﹣ ≤π+2kπ，（k∈Z）
得 +kπ≤x≤ π+kπ（k∈Z）时，y=2cos2x﹣ 单调递减．故选 A．
例 4：函数 f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递减区
间为（ ）
解：从图象可以看出：图象过相邻的两个零点为（ ，0），（ ，0），可得：T=2
×
=2，∴ω= =π，∴f（x）=cos（πx+φ），将点（ ，0）带入可得：
为 ，则 ω=（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24 解：∵函数 f（x）=cos（ωx+ ）（ω＞0）的相邻两个对称中心之间的距离为 ，
∴=
= ，∴ω=6 故选：B．
二.最值
例 2：已知函数
，
的最大值为 4，则正实数 a 的
值为
．
解：在区间[0， ]上，2x+ ∈[ ， ]，cos（2x+ ）∈[﹣1， ]，
函数
，
故答案为：2．
的最大值为 a+3=4，则正实数 a=2，
练习：已知 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期为 π，f（0）
= ，则 g（x）=2cos（ωx+φ）在区间[0， ]上的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．1 解：∵f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期为
向右平移 1 个单位，得到函数 y= cos π（x﹣1）的图象，即 g（x）= cos π
（x﹣1），令 2kπ≤ π（x﹣1）≤2kπ+π，k∈Z，解得 4k+1≤x≤4k+3，k∈Z； 所以函数 g（x）的单调减区间是[4k+1，4k+3]，k∈Z．故选：C．
四.对称性
例 6：已知函数 y=3cos（x+φ）﹣1 的图象关于直线 x= 对称，其中 φ∈[0，π]， 则 φ 的值为 ．
A．x=
B．x=
C．x=π D．x=
【解答】解：将函数 y=cos（x﹣ ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵坐标不变）， 得到函数 y=cos（ x﹣ ）的图象，再向左平移 个单位， 得到 y=cos[ （x+ ）﹣ ）]即 y=cos（ x﹣ ）的图象， 令 x﹣ =kπ 可解得 x=2kπ+ ，故函数的对称轴为 x=2kπ+ ，k∈Z， 结合选项可得函数图象的一条对称轴是直线 x= ， 故选：D．
=π，∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+φ）．∵f（0）=sinφ= ，∴φ= ，∴f（x）=sin（2x+ ）．
则 g（x）=2cos（ωx+φ）=2cos（2x+ ）．在区间[0， ]上，2x+ ∈[ ， ]，
故当 2x+ = 时，g（x）取得最大值为 ． 故选：C．
三.单调性
例 3：函数 y=cos（2x﹣ ）的单调减区间是（ ） A．[kπ﹣ ，kπ+ ]，（k∈Z） B．[kπ+ ，kπ+ ]，（k∈Z） C．[kπ+ ，kπ+ ]，（k∈Z） D．[kπ+ ，kπ+ ]，（k∈Z） 解：由 2x﹣ ∈[2kπ，2kπ+π]，可得 x∈[kπ+ ，kπ+ ]，（k∈Z）， ∴函数 y=cos（2x﹣ ）的单调递减区间是[kπ+ ，kπ+ ]，（k∈Z）．故选 C．
【解答】解：∵函数 y=3cos（x+φ）﹣1 的图象关于直线 x= 对称，其中 φ∈[0， π]， ∴ +φ=kπ，即 φ=kπ﹣ ，k∈Z， 则 φ 的最小正值为 ， 故答案为： ．
练习：将函数 y=cos（x﹣ ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐
标不变），再向左平移 个单位，所得函数图象的一条对称轴是直线（ ）
高中数学 必修四
第一章 三角函数 第13节 余弦型函数的图像和性质
典例分析：
一.周期性
例 1：函数 y=3cos（2x+ ）的最小正周期为 ．
解：函数 y=3cos（2x+ ）的最小正周期为 T= = =π．故答案为：π．
练习：如果函数 f（x）=cos（ωx+ ）（ω＞0）的相邻两个对称中心之间的距离
【解答】解：由函数 f（x）=3cos（ ﹣ωx）=3cos（ωx﹣ ）（ω＞0），函数 f （x）相邻两个零点之间的绝对值为 ， 可得 • = ，∴ω=2，函数 f（x）=3cos（2x﹣ ）． 令 2kπ≤2x﹣ ≤2kπ+π，求得 kπ+ ≤x≤kπ+ ， 可得函数的减区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z． 结合所给的选项， 故选：C．
cos（ +φ）=0，令 +φ= ，可得 φ= ，∴f（x）=cos（πx+ ），
由
，单点递减（k∈Z），解得：2k﹣ ≤x≤2k+ ，k∈
Z．故选 D
A．（kπ﹣ ，kπ+ ），k∈Z C．（k﹣ ，k﹣ ），k∈Z
B．（2kπ﹣ ，2kπ+ ），k∈Z D．（2k﹣ ，2k+ ），k∈Z
练习：已知函数 f（x）=3cos（ ﹣ωx）（ω＞0），函数 f（x）相邻两个零点之 间的绝对值为 ，则下列为函数 f（x）的单调递减区间的是（ ） A．[0， ] B．[ ，π] C．[ ， ] D．[ ， ]
例 5：函数 个单位后的单调递减区间是（ A． C．
Baidu Nhomakorabea
的最小正周期是 π，则其图象向右平移 ）
B． D．
【解答】解：由函数
的最小正周期是 π，即
，
解得：ω=2， 图象向右平移
个单位，经过平移后得到函数解析式为
，
由
（k∈Z），
解得单调递减区间为
．
故选：B．
练习：将函数 f（x）= cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵 坐标不变），再把图象上所有的点向右平移 1 个单位，得到函数 g（x）的图象， 则函数 g（x）的单调递减区间是（ ） A．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z） B．[2k+1，2k+3]（k∈Z） C．[4k+1，4k+3]（k∈Z） D．[4k+2，4k+4]（k∈Z） 【解答】解：将函数 f（x）= cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y= cos πx 的图象，再把该函数图象上所有的点