周期性势场中电子运动的特点

·周期性势场中电子运动的特点·

晶体中原子的排列是长程有序的，这种现象称为晶体内部结构的周期性。晶体内部结构的周期性可以用晶格来形象地描绘。晶格是由无数个相同单元周期性地重复排列组成的。晶格可以用基矢量来描述。以任一格点为原点，沿原胞的三个互不平行的边为晶格一组矢量称为原胞的基矢量。记作123,,a a a 。晶格的任一格点的位置可以用晶格矢量

3

1122331m i i i R m a m a m a m a ==++=∑ ( m 1，m 2，m 3是任意整数) （1）

确定。r 和'

m r r R =+为不同原胞的对应点。二者相差一个晶格矢量。可以说不同原胞的对应点相差一个晶格矢量。反过来也可以说相差一个晶格矢量的两点是不同原胞的对应点。通过晶格矢量的平移可以定出所有原胞的位置，这个就是晶体内部结构的周期性。

晶体内部结构的周期性意味着晶体内部不同原胞的对应点处原子的排列情况相同，晶体的微观物理性质相同。比如，不同原胞的对应点晶体的电子的势能函数相同，即 '()()()m V r V r V r R ==+ （2）

式（2）是晶体的周期性势场的数学描述。图1给出一维周期性势场的示意图。V 1，V 2，V 3，…，分别代表原子1，2，3，…，的势场，V 代表叠加后的晶体势场。

图1 一维周期性势场示意图

根据周期性势场的形状不难想象，在周期性势场中，属于某个原子的电子既可以在该原子附近运动，也可以在其它的原子附近运动，即可以在整个晶体中运动。例如图1中具有能量E 1或E 2的电子在可以在原子1的势场中运动，既局域化运动。根据量子力学的隧道效应，它还可以通过隧道效应越过势垒V 到势阱2，势阱3，…，中运动，既共有化运动。而处于E 2能态电子受原子核束缚较强，势垒V-E 2较大，电子从势阱1穿过势垒进入势阱2的概率就比较小，既共有化程度低。但对于束缚能较弱的状态E 1，由于势垒V-E 1的值较小，穿透隧道的概率就比较大，既共有化程度高。晶体中（也就是周期性势场中）的电子的运动是既有局域化的特征又有共有化特征。

在单电子近似条件下，一个电子所受的库仑作用仅随它自己的位置的变化而

变化。于是它的运动便由下面仅包含这个电子的坐标的薛定谔方程式所决定

()()()r E r r V m ψψ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+∇-222 （3） 式中

22

2∇-m

— 电子的动能算符 )(r V — 电子的势能算符，它具有晶格的周期性

E — 电子的能量

()r

ψ — 电子的波函数

π

2h = — h 为普朗克常数， 称为约化普朗克常数 布洛赫定理指出：如果势函数)(r V 有晶格的周期性，即 ()()m V r V r R =+ （4）

则方程式（3）的解)(r

ψ具有如下形式

)()(r u e r k r k i k ⋅=ψ （5） 式中函数)(r u k

具有晶格的周期性，即 ()()r u R r u k m k =+ （6）

以上陈述即为布洛赫定理。

由于

()()()m

ik r R m m k k r R e u r R ψ⋅++=+ =

()m ik R ik r k e e u r ⋅⋅ =

()m ik R k e r ψ⋅

即 ()m k r R ψ+=()m ik R k e r ψ⋅ （7）

式（7）说明，晶体中不同原胞对应点处的电子波函数只差一个模量为1的因子m ik R e ⋅ ，所以22()=()m k k r R r ψψ+。从而可知在晶体中各个原胞对应点处电子

出现的概率相同。即电子可以在整个晶体中运动—共有化运动。式（7）是布洛赫定理的另一种表述。

根据布洛赫公式（5）可以看出:

1. k是标志电子运动状态的量。波矢量k只能取实数值,若k取为复数,则在波函数中将出现衰减因子,这样的解不能代表电子在完整晶体中的稳定状态。

2.平面波因子ik r

e⋅与自由电子的波函数相同，它描述电子在各原胞之间的运动—共有化运动。

3.因子()

k

u r则描述电子在原胞中的运动—局域化运动。它在各原胞之间周期性地重复着。

根据布洛赫公式(7)可以看出：

4.

22

()()

m

k k

r R r

ψψ

+=，这说明电子在各原胞的对应点上出现的概率相等。

需要指出的是：

5.由于晶体中电子的波函数不是单纯的平面波,而是还乘以一个周期性函

数。所以它们的动量算符

i

∇与哈密顿算符H是不可交换的。因此, 晶体中电子的动量不取确定值。由于波矢量k与约化普朗克常数的乘积是一个具有动量量纲的量，对于在周期性势场中运动的电子,通常把p k

=称为“晶体动量”或电子的“准动量”

结论：通过以上的分析可知，在周期性势场中的电子具有局域化运动和共有化运动的特征；标志电子的运动状态的波矢量k只能取实数；电子出现在各原胞的对应点上出现的概率相等；电子不仅具有经典力学中动量，而且为了处理问题的方便还定义了一个具有动量量纲的准动量。

·半导体的导电性·

半导体导电的微观机理

半导体在外电场作用下是否存在电流并不取决于单个电子的行为，而是取决于整个晶体中所有电子运动的总和。

1.从能带的角度理解半导体导电性

能带理论指出，一个晶体是否具有导电性，取决于它是否有不满的能带存在。而固体中能带被电子填充的情况只能有三种。第一种情况是空带，即能带中的电子态是空的，没有电子占据；第二种情况是满带，即能带中的电子态完全被电子所占据，不存在没有电子的空状态；第三种情况是不满带，即电子填充了能带中的一部分电子态，还有一部分电子态是空的。