2018二次函数与直角三角形存在性问题(新)
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理由 .
例二、 如图， 抛物线 y=-x 2+mx+n与 x 轴分别交于点 A（ 4，0），B（ -2 ，0），与 y 轴交于点 C． （1）求该抛物线的解析式； （2） M为第一象限内抛物线上一动点，点 M在何处时，△ ACM的面积最大； （3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点 P，使得△ PAC为直角三角形？若存在， 请求出 所有可能点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）在（ 1）的条件下，点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 面积的最大值及此时点 P 的坐标；
AB 下方，试求出△ ABP
（3）如图 2，抛物线 y=x 2+( k - 1)x- k （k＞ 0）与 x 轴交于点 C、D 两点（点 C 在点 D 的左 侧），在直线 y=kx+1 上是否存在唯一一点 Q，使得∠ OQC=90 °？
三条边分别表示之后，利用勾股定理求解
例一： 如图， 抛物线 y mx2 2mx 3m m 0 与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于 C 点 . （1）请求出抛物线顶点 M 的坐标（用含 m 的代数式表示） ， A、B 两点的坐标； （2）经探究可知， △ BCM 与 △ ABC 的面积比不变，试求出这个比值； （3）是否存在使 △BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明
若存在，请求出此时 k 的值；若不存在，请说明理由．
5、如图，直线
y=x+2 与抛物线
y=ax2+bx+6（ a≠０）相交于
15
A（பைடு நூலகம்
， 2
）和 2
B(4， m)，点
P 是线
段 AB 上异于 A、 B 的动点，过点 P 作 PC⊥ｘ轴于点 D，交抛物线于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存 在，请说明理由；
练习： 1. 如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+c （a≠０）的顶点 M 在第一象限，抛物线与 x 轴相交于 A 、B 两点（点 A
在点 B 的左边），与 y 轴交与点 C ， O 为坐标原点，如果△ ABM 是直角三角形， AB=2 ， OM ＝ 5
（1 ）求点 M 的坐标； （2 ）求抛物线 y=ax 2+bx+c 的解析式； （3 ）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得△ PAC 为直角三角形？若存在， 请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（ 1 ）
二次函数中直角三角形存在性问题
1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么
以动点为直角顶点 .以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直
; 以动点为直角
顶点时，以已知线段为直径构造圆找点
2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则
k1*k2= -1
以已知线段为斜边时，利用 K 型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者
2.如图，抛物线 y=x2- 2mx (m＞ 0)与 x 轴的另一个交点为 A，过 P(1，- m)作 PM ⊥x 轴与点 M ， 交抛物线于点 B．点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C． （1）若 m=2，求点 A 和点 C 的坐标； （2）令 m＞ 1，连接 CA，若△ ACP为直角三角形，求 m 的值； （3）在坐标轴上是否存在点 E，使得△ PEC是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在， 求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）求△ PAC 为直角三角形时点 P 的坐标．
6、如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A( - 3，0)、 C(0 ，4) ，点 B 在抛物线上， CB∥ x 轴，且 AB 平分∠ CAO ． （1）求抛物线的解析式； （2）线段 AB 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的最大 值； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 M ，使△ ABM 是以 AB 为直角边的直角 三角形？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由．
3. 如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于点 A(1 ，0)和 B(4 ， 0)． （1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 F 是位于 x 轴上方对称轴上一点， FC∥ x 轴，与 对称轴右侧的抛物线交于点 C，且四边形 OECF 是平行四边形，求点 C 的坐标；
（3）在（ 2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点
P，使△ OCP
是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
4、在平面直角坐标系中，抛物线 点 B 的左侧．
y=x 2+( k - 1)x- k 与直线 y=kx+1 交于 A ， B 两点，点 A 在
（1）如图 1，当 k=1 时，直接写出 A ， B 两点的坐标；
例二、 如图， 抛物线 y=-x 2+mx+n与 x 轴分别交于点 A（ 4，0），B（ -2 ，0），与 y 轴交于点 C． （1）求该抛物线的解析式； （2） M为第一象限内抛物线上一动点，点 M在何处时，△ ACM的面积最大； （3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点 P，使得△ PAC为直角三角形？若存在， 请求出 所有可能点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）在（ 1）的条件下，点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 面积的最大值及此时点 P 的坐标；
AB 下方，试求出△ ABP
（3）如图 2，抛物线 y=x 2+( k - 1)x- k （k＞ 0）与 x 轴交于点 C、D 两点（点 C 在点 D 的左 侧），在直线 y=kx+1 上是否存在唯一一点 Q，使得∠ OQC=90 °？
三条边分别表示之后，利用勾股定理求解
例一： 如图， 抛物线 y mx2 2mx 3m m 0 与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于 C 点 . （1）请求出抛物线顶点 M 的坐标（用含 m 的代数式表示） ， A、B 两点的坐标； （2）经探究可知， △ BCM 与 △ ABC 的面积比不变，试求出这个比值； （3）是否存在使 △BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明
若存在，请求出此时 k 的值；若不存在，请说明理由．
5、如图，直线
y=x+2 与抛物线
y=ax2+bx+6（ a≠０）相交于
15
A（பைடு நூலகம்
， 2
）和 2
B(4， m)，点
P 是线
段 AB 上异于 A、 B 的动点，过点 P 作 PC⊥ｘ轴于点 D，交抛物线于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存 在，请说明理由；
练习： 1. 如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+c （a≠０）的顶点 M 在第一象限，抛物线与 x 轴相交于 A 、B 两点（点 A
在点 B 的左边），与 y 轴交与点 C ， O 为坐标原点，如果△ ABM 是直角三角形， AB=2 ， OM ＝ 5
（1 ）求点 M 的坐标； （2 ）求抛物线 y=ax 2+bx+c 的解析式； （3 ）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得△ PAC 为直角三角形？若存在， 请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（ 1 ）
二次函数中直角三角形存在性问题
1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么
以动点为直角顶点 .以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直
; 以动点为直角
顶点时，以已知线段为直径构造圆找点
2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则
k1*k2= -1
以已知线段为斜边时，利用 K 型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者
2.如图，抛物线 y=x2- 2mx (m＞ 0)与 x 轴的另一个交点为 A，过 P(1，- m)作 PM ⊥x 轴与点 M ， 交抛物线于点 B．点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C． （1）若 m=2，求点 A 和点 C 的坐标； （2）令 m＞ 1，连接 CA，若△ ACP为直角三角形，求 m 的值； （3）在坐标轴上是否存在点 E，使得△ PEC是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在， 求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）求△ PAC 为直角三角形时点 P 的坐标．
6、如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A( - 3，0)、 C(0 ，4) ，点 B 在抛物线上， CB∥ x 轴，且 AB 平分∠ CAO ． （1）求抛物线的解析式； （2）线段 AB 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的最大 值； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 M ，使△ ABM 是以 AB 为直角边的直角 三角形？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由．
3. 如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于点 A(1 ，0)和 B(4 ， 0)． （1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 F 是位于 x 轴上方对称轴上一点， FC∥ x 轴，与 对称轴右侧的抛物线交于点 C，且四边形 OECF 是平行四边形，求点 C 的坐标；
（3）在（ 2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点
P，使△ OCP
是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
4、在平面直角坐标系中，抛物线 点 B 的左侧．
y=x 2+( k - 1)x- k 与直线 y=kx+1 交于 A ， B 两点，点 A 在
（1）如图 1，当 k=1 时，直接写出 A ， B 两点的坐标；