二次量子化简介

(q1, q2...qN )

ni!
i
N!

p
P[ k1 (q1 ) k 2 (q2 )... k N ( q N )]
n1 n2 nN
归一化系数 ni! n1!n2!nN! P－处于不同单粒子态的粒子进行置换
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ni N ) 归一化的对称波函数： 粒子数 n1 , n2 ... nN ( i ni! s (q ) (q )... ( q )] n1n2n3...nN (q1, q2...qN ) N! P[
3
经典物理学中，我们习惯称这是电子1，那是电 子2……，它们在外力作用下，按自己的轨道运 动，我们在任何时刻都能跟踪它，我们不会误认 电子1为电子2，即可以按轨道来区分不同的粒子。 但从量子力学的观点来看，情况就发生变化。 它不能 用轨道的概念来描述，而只能用波函数来描述。根据 波函数来描述出现在 r 1 r 1 d r 的体积之中几率大小 或根据一些力学量完全集来描述 绘粒子所处状态。即
引进一个置换算符 Pij ：
(q1, q2 qi q j qN ) ＝ (q1, q2 q j qi qN ) P ij
9
(q1, q2 qi q j qN ) ＝ (q1, q2 q j qi qN ) P ij
P 显然： ij
若
2
1 ，P ij 的本征值 1
数目不能超过1，此即Pauli原理。
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3.N个全同玻色子体系的波函数 对于N个全同玻色子体系，波函数对任何两个粒子 的交换是对称的。所以可以有多个粒子处于同一个 单粒子态。 单粒子态 k1 , k2 ... kN n1 , n2 ... n N 粒子数
( ni N )
i

s
n1n2n3 ...nN
哪个单粒子态被哪一个粒子占据，显然，这 与全同粒子的不可区分性是一致的，称
| 1 , 2 ,... n 是福克空间的一个态矢。
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1. 多粒子体系波函数的二次量子化表示
,
1
N 2 ,...
(q1, q2 ,...qn ) | 1,2 ,... n | n1, n2 ,...n
(q1 )
(q1 )
(q2 ) (q2 ) (q3 ) (q3 )
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推广：在坐标表象中，N个全同费米子的归一化的 量子态：
(q1 ) 1 (q1 ) A ...(q1 , q2 ...qN ) N ! (q1 )

(q2 ) ... (qN ) (q2 ) ... (qN ) (q2 ) ... (qN )
n1 个粒子处于 1 态； n 2 个粒子处于 2 态……。 但它不可能告诉你，哪一个粒子处于 1 态，那
一个粒子处于 2 态，等等。
4
注意：全同性原理只是说全同粒子不可区分，不可编号，
但并不是说它们的量子态不可区分。例如：氢原子中电
子的波函数用 n,l , m, ms 表示，n,l ,m,m s 四个量子数
(q1, q3 , q2 )
对称波函数：
1 (q1, q2 , q3 ) (q2 , q3 , q1 ) (q3 , q1, q2 ) (q1, q2 , q3 ) 6 (q2 , q1, q3 ) (q1, q3 , q2 ) (q3 , q2 , q1 )
s 用对称波函数 描述的全同粒子体系：
玻色子体系（Bose）, 自旋量子数是 的整数倍 （光子， 介子……），遵守Fermi-Dirac统计.
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用反对称波函数 A 描述的全同粒子体系： 费米子体系（Fermi）, 自旋量子数是 的半整数倍
（电子，质子，中子……），遵守Bose-Einstain统计. 举例： 有N个全同粒子体系的波函数 (q1, q2 qi q j qN )
的不同取值，就标志了电子处在不同的量子态。
全同性原理的最根本意义在于：应该用处于某一个量 子态的粒子的数目来描写体系的状态，而不是用它的 坐标，动量等来描述。应该将多粒子体系的问题由
原来的表象（例如：坐标表象，动量表象等）经过表象
变换后，换到粒子数表象中进行讨论。
5
何谓粒子数表象？ 粒子数表象用第一个量子态中有n1个粒子，第二个 量子态中有n2个粒子……来表征。只能说某一个 量子态中有几个粒子,但不能明确指明是那几个粒子。 这种用粒子数表象来 讨论全同粒子系统的方法， 称为二次量子化方 法。
1
N 2 ,...
(q1, q2 ,...qn ) | 1,2 ,... n | n1, n2 ,...nn
其中qi表示第i个粒子的全部坐标和自旋变量，j 表示粒子的第j个单粒子状态相应的全部量子数， nk表示第k个单粒子态上的粒子数。
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1. 多粒子体系波函数的二次量子化表示
,
1
N 2 ,...
(q1, q2 ,...qn ) | 1,2 ,... n | n1, n2 ,...n
（1）组态空间的多粒子体系波函数
,
1
N 2 ,...
(q1, q2 ,...qn )表示组态空间中的N体波函数，
它是有N个单粒子态构成的，对费米子而言它是 反对称的波函数，对玻色子来说它是对称波函数。
1
＝ (q1, q2 qi q j qN )
Pij (q1, q2 qi q j qN )＝ (q1, q2 q j qi qN )
s 则 ―对称波函数（当两粒子交换，波函数不变，
即处于对称态）
10
若 1 ，则：
(q1, q2 qi q j qN ) ＝ (q1, q2 q j qi qN ) P ij
s
1 (q1 , q2 ) (q2 , q1 ) 反对称波函数： (q1 , q2 ) 2
A
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N=3 有6个量子态：
(q1, q2 , q3 )
(q2 , q1, q3 )
(q2 , q3 , q1 )
(q3 , q1, q2 )
(q3 , q2 , q1 )

根据斯莱特（slater）行列式的性质，可以看出： （1） 交换任意两个粒子的坐标（ q1 q2），相当
。 于交换行列式的两列元素，行列式将改变符号，
A 即 是反对称的。
（2） 若有两个或两个以上的粒子的单粒子态相同，
A 0 则行列式中两行元素相同，所以 例如：
结论：对于全同费米子体系，处于每个粒子态上的
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k n1 , k n2 ... k nN
1 2 N
所以为了避免对全同粒子进行编号，可以脱离具体的表象， 采用粒子数表象（粒子填布数表象）－占有数表象 （occupation particle number representation） 全同玻色子体系的量子态可用下列右矢表示：
A
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若忽略N个粒子间的相互作用，则N个全同粒子 的波函数为N个单粒子波函数的乘积。即：
(q1, q2...qN ) (q1) (q2 )... N (qN )
1. 多粒子体系波函数的二次量子化表示 对全同粒子的体系而言，N个粒子构成的状态可以 有以下三种表示形式：
,
第五章 二次量子化方法
主要内容

§5.1 全同粒子系的量子态的描述 §5.2 Bose子体系的单体和二体算符的表达式


§5.3 Fermi子体系的单体和二体算符的表达式
§5.4 坐标表象与二次量子化
§5.5 Hartree-Fock 自洽场 独立粒子模型
1
何谓二次量子化方法
一次量子化：是由经典力学过渡到量子力学采用的 方法。把经典力学系统的正则坐标 qi 和正则动量 pi ˆi p ˆ i ，使它们满足一定的对易关系： 用算符表示： q
s
反对称波函数：
1 (q1 , q2 , q3 ) (q2 , q3 , q1 ) (q3 , q1 , q2 ) (q1 , q2 , q3 ) 6 (q2 , q1 , q3 ) (q1 , q3 , q2 ) (q3 , q2 , q1 )
＝ (q1, q2 qi q j qN )
则 ―反对称波函数 A（当两粒子交换，波函数反号， 即处于反对称态）
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s A ？以N=2,N=3为例： 如何构造 ，
(q1, q2 ), (q2 , q1 ) N=2 有2个量子态：
1 (q1 , q2 ) (q2 , q1 ) 对称波函数： (q1 , q2 ) 2


1 p P[ (q1 ) (q2 )... N (qN )] N! p
P－置换算符 p 1 是置换P的奇偶性。
斯莱特（slater）行列式
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(q1 ) (q2 ) ... (qN ) 1 (q1 ) (q2 ) ... (qN ) A ...(q1 , q2 ...qN ) N! (q1 ) (q2 ) ... (qN )
N=2
A (q1 , q2 )

1 (q1 ) (q2 ) (q2 ) (q1 ) 2 1 (q1 ) (q1 ) 2 (q2 )
( q2 )
N=3
1 (q1 , q2 , q3 ) (q2 ) 3! (q3 )
A
(q1 )
i wk.baidu.com k1 1 k2 2 kN N n1 n2 nN
归一化系数
ni! n1!n2!nN!
P－处于不同单粒子态的粒子进行置换
因为对全同粒子的编号是没有意义的。所以利用 坐标表象来描述全同粒子的量子态是比较麻烦的。 只需要把处于每个单粒子态上的粒子个数交待清楚，
则全同粒子的量子态可以完全确定。
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引入粒子数表象的另一个优点在于：
它能描述粒子的产生和湮灭。在微观世界中，绝大部分 粒子都有一定的寿命，都有生和死。因此可以用产生 算符和湮灭算符来处理全同粒子系统。
7
5－1 全同粒子系的量子态的描述 一.粒子数表象 对于由全同粒子组成的体系，由于粒子的不可分辨性， 全同粒子的波函数只能取对称的或反对称的。
ˆ j，q ˆ i ]= iij [ p
给这些算符找一些作用对象，用来描述系统的量子状态。
二次量子化方法：是从单粒子的量子理论出发， 通过类似的方法建立全同粒子系统的量子化方法。 用产生和湮灭算符来表示力学量的算符和波函数， 称之为二次量子化方法。
2
何谓全同粒子？
各种微观粒子有一定属性，具有一定质量、电荷、 自旋…人们根据它们的属性不同分别称为电子，质 子，介子，等等。实验证明，每一种粒子，都是完 全相同的（如两个氢原子中的质子或电子都一样）。 质量、电荷、自旋等所有内禀属性都相同的粒子叫 做全同粒子。例如：所有的电子都是全同粒子，所 有的质子也是全同粒子，但质子和电子不是全同粒 子。既然全同粒子的内禀固有属性都相同，它们之 间完全不可区分，对粒子就不能进行编号。这和经 典力学不同。
（3）粒子数表象中的多粒子体系波函数
| n1 , n2 ,...n 也可表示N个粒子的状态，具体来说，
就是在第k个单粒子态上有nk个粒子，称为粒子数 表象中的态矢。对N个粒子的体系而言：
n
i 1

k
N
对于费密子体系， nk＝0，1；对玻色子体系， nk可取不同的值。
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2.N个全同费米子体系的波函数
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1. 多粒子体系波函数的二次量子化表示
,
1
N 2 ,...
(q1, q2 ,...qn ) | 1,2 ,... n | n1, n2 ,...n
（2）福克空间的多粒子体系波函数
| 1 , 2 ,... n 表示N个粒子占据了用量子数 1 , 2 ,... n 标志的N个单粒子态，它并不考虑