离散数学(01)概要

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“离散数学”一方面给后继课，如“数据 结构”、“编译系统”、“操作系统”、 “数据库原理”等，提供必要的科学基础； 另一方面，通过学习离散数学，培养和提高 了同学们的抽象思维和逻辑推理能力，为大 家今后继续学习和工作打下坚实的数学基础。
我们选用的这本教材是方世昌著《离散 数学》（第二版），西安电子科技大学
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出版社出版。是高等学校工科电子类规划教材 精选系列，本书是一本非常有特点的教材。初 版出版十三年后，经过全国众多学校的应用， 于1996年改进后出第二版；本书力求把握与计 算机科学密切相关的问题，通过精选的大量实 例深入浅出地介绍了数理逻辑、集合论、二元 关系、函数、代数系统、格与布尔代数* 、图 论等（我们省掉其中的“无限集合”一章）
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学业结束后学生拒绝支付学费，他认为： 教师您可以通过打官司解决，如果教师
官司打输了，我自然不支付学费，如果教师 官司打嬴了，说明我还没有学成，根据先前 的约定，我仍然可以不支付学费。
这也是个悖论的例子，无论教师乙的怎样 努力，在签合同时就被学生甲算计进去了。
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若一个命题已不能分解成更简单的命题, 则这个命题叫原子命题或本原命题。
第三章 二元关系 是研究“关系”的运算、 复合、划分，以
及“关系”上的闭包运算等问题。本章内容 占全书很大比例。
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第四章 函数 本章内容我们已经是第三次学习，重点放
在函数的映射问题上。 第六章 代数
是研究“代数系统”中元素与运算构成群、 半群、环与域的有关问题。完全不同于中学、 大一学习过的代数问题
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例 3ຫໍສະໝຸດ Baidu一个人说:“我正在说谎”。
他是在说谎还是在说真话呢? 如果他讲真 话, 那么他所说的是真, 也就是他在说谎。 我 们得出结论如果他讲真话, 那么他是在说谎。
另一方面, 如果他是说谎, 那么他说的是假; 因为他承认他是说谎, 所以他实际上是在说真 话, 我们得出结论如果他是说谎, 那么他是讲 真话。
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从以上分析, 我们得出他必须既非说谎也 不是讲真话。这样, 断言“我正在说谎”事实 上不能指定它的真假, 所以不是命题。 这种 断言叫悖论。
例：学生甲在教师乙处学习法律，约定一年学 成甲支付学费2000圆，同时规定在学生甲和 教师乙在同一场官司中，师生分别作为控辩 双方，若学生方获胜为学成的标准；
以上命题, (a)的真值取决于今天的天气, (b)和(c)是真, (d)已无法查明它的真值, 但它 是或真或假, 将它归属于命题。 (e)目前尚未 确定其真假, 但它是有真值的, 应归属于命题。
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例 2 下述都不是命题:
(a) x+y＞4。
(c) 真好啊!
(b) x=3。
(d) 你去哪里?
(a)和(b)是断言，不是命题, 因为它的真值 取决于x和y的值。 (c)和(d)都不是断言, 所 以不是命题。自然语句中有陈述句、祈使句、 疑问句、和感叹句等，其中能判断对错的只 有陈述句。
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第七章 格与布尔代数*(在时间充足时学习) 是研究“代数系统”中“格”以及“特殊
格” 的有关问题。是对“代数系统”的进一 步研究。 第八章 图论
是研究平面图形中“结点”与“连线”之 间的关系，路径的优化、网络、匹配等问题，
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《离散数学》课每周上课两次，4学时，安 排15周，共60学时。 考核方式：期末笔试占70%，平时作业占30%，
例如：陈述句“你吃饱了”在“形式逻辑”中 可以理解为：
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（1）你的确是吃的过饱了
（2）你这个人的行为很无聊，如同吃饱饭撑的。 这就是“形式逻辑”的二意性。一个陈述句
可能有两个意识。 命题是逻辑学中的基本单位；陈述语句是逻
辑学的形式语言，断言是一个陈述语句。
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1.1.1 命题 在特定的范围、时间、和空间内具有唯
“离散数学”是一门相对于“连续数学” 而命名的数学分支，也叫“不连续的数 学”“离散数学”主要研究一些不连续的数 学问题。
《概率论与数理统计》中的随机变量就 有离散型和连续型之区分；
离散数学是现代数学的一个重要分支，上 世纪八十年代，计算机科学得到迅猛发展， 1
迫切需要一门适合计算机科学的相关数学课 程，离散数学由此建立，它是研究离散量的结 构及相互关系的学科。它充分描述了计算机科 学离散性的特点，是计算机科学与技术的理论 基础，所以又称为计算机数学。是计算机、软 件专业本科生必修的专业基础课；到硕士研究 生段还将开设“组合数学”；到博士研究生段 还将开设“计算数学”；
每人准备两个作业本（或者用合页纸），写 清班级、学号、姓名。每星期交一次作业，由 班长统一收齐交到四楼“专业教研室”。交新 作业时领回批改过的作业，按学校规定每次作 业将登记，批改三分之一。
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第一章 数理逻辑
1.1 命 题
逻辑学分为：“形式逻辑”和“数理逻辑” 两个部分，他们的最大区别在于， “形式逻辑” 允许有二意性而“数理逻辑”决不允许。“数 理逻辑” 就是将 “形式逻辑”数学符号化；
例 1 中(a) , (b) , (d) , (e)都是本原命题, 但(c)不 是, 因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数” 两个命题。
命题和本原命题常用大写字母P , Q , R : 表示。 如用P表示“4 是质数”, 则记为 ： P: 4 是质数。
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与计算机科学技术密切相关的课题，既着重于 各部分内容之间的紧密联系，又深入探讨各部 分内容的概念、理论、算法和实际应用。因而 本书既有深度，又有广度，相信学了本书，即 能培养思维能力，又能培养理论联系实际的扎 实功底 。各章内容大致如下： 第一章 数理逻辑
将形式逻辑符号化后进行逻辑推理，来
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证明命题的真值，对命题公式运算。 第二章 集合 研究集合基本概念、集合之间的运算关 系以及特殊集合。
一确定的真假性。这样的陈述语句就是命题； 一个命题是一个或真或假而不能两者都是的 断言。如果命题是真, 我们说它的真值为真， 如果命题是假, 我们说它的真值是假。
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例 1 下述都是命题:
(a) 今天下雪; (c) 2 是偶数而 3 是奇数;
(b) 3+3=6;
(d) 陈胜起义那天, 杭州下雨;
(e) 2008年人类将登上火星。