固体物理能带理论
固体物理中的电子结构与能带理论
固体物理中的电子结构与能带理论在固体物理学中,电子结构与能带理论是研究固体材料中电子的行为和性质的重要理论。
通过理解电子结构和能带理论,我们可以深入了解固体材料的导电性、磁性、光学性质等,并为材料设计和应用提供基础。
一、电子结构电子结构是指描述固体材料中电子分布和能级的方式。
根据波尔模型,原子中的电子分布在不同的能级上,而在固体中,原子之间的相互作用会导致电子能级的改变。
在经典物理学中,电子的行为可用经典力学描述,但是在固体中,电子的波动性变得显著,因此需要引入量子力学的概念。
量子力学中的薛定谔方程描述了电子在固体中的行为。
根据波粒二象性,电子既可以被视为粒子,也可以被视为波动。
薛定谔方程描述了电子波函数的演化,并通过解方程得到电子的能级和波函数。
电子结构的计算方法有多种,如密度泛函理论(DFT)、紧束缚模型等。
二、能带理论能带理论是解释固体材料中电子能级分布的重要理论。
它基于电子在固体中的周期性势场中运动的性质。
根据布洛赫定理,电子波函数可以表示为平面波和周期函数的乘积形式。
在周期势场中,电子波函数满足布洛赫定理的条件。
根据能带理论,固体中的电子能级可以分为禁带和能带。
禁带是指电子不能占据的能级范围,而能带是指电子可以占据的能级范围。
能带又可以分为价带和导带。
价带是指电子占据的能级范围,而导带是指电子可以自由运动的能级范围。
固体材料的导电性质与其能带结构密切相关。
对于导体,导带中存在自由电子,电子可以在导带中自由移动,导致材料具有良好的导电性。
对于绝缘体,导带与价带之间存在较大的能隙,电子不能跃迁到导带中,导致材料具有较差的导电性。
对于半导体,导带与价带之间的能隙较小,可以通过施加外界电场或提高温度来激发电子跃迁,从而改变导电性。
能带理论还可以解释固体材料的光学性质。
在能带中,电子跃迁可以吸收或发射光子。
固体材料的能带结构决定了其能量吸收和发射的范围,从而影响其光学性质。
例如,带隙较小的材料通常对可见光具有较好的吸收和发射能力,因此在太阳能电池等领域有广泛应用。
《固体物理能带理论》课件
探索禁带宽度
禁带宽度的影响
深入探究禁带宽度对材料性质的 影响,介绍如何利用禁带宽度调 控材料性质。
直接/间接带隙
介绍直接带隙和间接带隙的概念 和特点,以及如何通过调控禁带 宽度实现它们之间的转换。
量子点
了解量子点的概念及其在光伏、 光催化、发光等方面的应用。
电子在周期势场中的行为
布拉歇特条件
探究布拉歇特条件的作用和意义,以及如何通过布拉歇特条件来理解材料导电性。
电子自旋
介绍电子自旋的概念和特点,以及在磁性材料中的重要作用。
量子霍尔效应
了解量子霍尔效应的概念和特点,以及其在电子学、自旋测量等方面的应用。
应用能带理论
1
太阳能电池
探究太阳能电池的原理和构造,以及如
半导体激光器
2
何利用能带理论来提高太阳能电池的性 能。
介绍半导体激光器的原理和构造,以及
如何通过能带理论来优化激光器的性能。
《固体物理能带理论》 PPT课件
通过本PPT了解固体物理能带理论,理解能带的概念和特点,并探究能带理论 在实际应用中的应用。
什么是固体物理能带理论?
晶体的电子结构
介绍晶体的基本结构和存在能带 的原因,以及能带分布的规律。
能带、狄拉克相对论
进一步探究能带的特点及其与材 料导电性的关系,介绍狄拉克相 对论的意义。
Bloch定理和能带图
介绍Bloch定理的作用,以及如何 通过能带图来描绘材料的电子结 构。
深入理解价带和导带
价带的物理意义
介绍价带中电子的特征和性 质,并探讨不同能级之间的 关系。
导带的物理意义
深入剖析导带中的电子行为, 介绍电子元件中导带的作用。
轻重空穴带
固体物理_第4章_能带理论
ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ,代入上式有:
(2 )
则:u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知:哈密顿量和平移算符有共同的本征态,可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有: N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
,而内层电子的变化较小,可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场,其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论,即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
,又称为哈特里(Hartree)-福克(o )自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似: 原子核或者离子实的质量比电子大的多,离子的运动速度慢,在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题;
能带理论取得相当的成功,但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小,相应的自由程和晶格常数相当,这时不 能把价电子看成共有化电子,周期场的描述失去意义,能带理论不 再适用。此外,从电子和晶格相互作用的强弱程度来看,在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变,电子是带着这种畸变一起 前进的,这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
《固体物理基础教学课件》第4章-能带理论共34页文档
势垒 电子能级
+
第 四 章 固体的能带
解定态薛定谔方程, 可以得出两点重要结论: [ 2 2 V (r)] E
2m
➢电子的能量是量子化的 ➢电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子(在高能级) 势垒穿透概率较大, 电子可以在整个固体中运动,称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧,一般不是共有化电子, 称为离子实。
不满带:未填满电子的能带
E
空带:没有电子占据的能带
禁带:不能填充电子的能区
价带:在0k时能被电子占满的最高能
带,对半导体价带通常是慢带
导带:半导体最外面(能量最高)的
一个能带。
空带
禁带体的能带
能带对电导的贡献 满带
…
电子交换能态并不改变 能量状态,所以满带不 导电。
导带: 不满带或满带以上最低的空带 为什么把空带或不满带称为导带? 因为只有这种能带中的电子才能导电。
第 四 章 固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动,
以一定速度漂移, v 10 -2 cm/s
E
电子得到附加能量
到较高的能级上去,
这只有导带中的电子才有可能。
第 四 章 固体的能带
p2 E
能级已填满不能再填充电子— 2s
分裂为两条
1s
第 四 章 固体的能带
各原子间的相互作用 原来孤立原子的能级发生分裂
若有N个原子组成一体,对于原来孤立原子的 一个能级,就分裂成N条靠得很近的能级,称
为能带(energy band)。
能带的宽度记作 E,E ~eV 的量级
若N数量级为1023,则能带中两相邻能级的间距约
pentium MMX
固体物理-能带理论
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
电子波函数的计算
—— 根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数 得到具体的波函数
—— 在不同的能带计算模型和方法中 采取的理论框架相同,只是选取不同的函数集合
能带理论的局限性
一些过渡金属化合物晶体
—— 价电子的迁移率小 自由程与晶格常数相当__电子不为原子所共有 周期场失去意义__能带理论不适用了
第四章 能带理论
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 —— 半导体理论问题的基础,推动了半导体技术的发展
能带理论 —— 单电子近似的理论
每个电子的运动 —— 看成是独立的 在一个等效势场中的运动
TT T T
平移算符和哈密顿量对易 对于任意函数
和
微分结果一样
T H HT
T和H存在对易关系 —— 具有共同本征函数
H E T1 1 T2 2 T3 3
—— 平移算符的本征值
—— 周期性边界条件
对于 对于 对于
—— 整数
2 i l1
1 e N1
2 i l2
2 e N2
2 i l3
—— 本征值相同
为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应
—— 取值限制第一布里渊区
bj 2
kj
bj 2
简约波矢
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
第一布里渊区体积
简约波矢
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
固体物理6-2 能带理论
波矢群中的对称操作 4z,mx,my,σ1,σ2 2z, mx,my 4z,mx,my,σ1,σ2 my
σ2
mx
简单立方晶格Oh (m3m)点群:
特殊位置 Γ点 R S ΔT X Γ Z Σ M Λ X点 M点 R点 Δ轴 Z轴 Σ轴 S轴 T轴 Λ轴 k (0, 0, 0) (π/a, 0, 0) (π/a, π/a, 0) (π/a, π/a, π/a) (k, 0, 0) (π/a, k, 0) (k, k, 0) (π/a, k, k) (π/a, π/a, k) (k, k, k) β群 Oh (m3m) D4h (4/mmm) D4h (4/mmm) Oh (m3m) C4V (4mm) C2V (mm2) C2V (mm2) C2V (mm2) C4V (4mm) C3V (3m)
T (α )ψ n ,k ( r ) = T (α ) eikr un ,k ( r )
=e
ik α 1r
un ,k (α 1r )
′ = eiα kr un ,α k ( r ) = ψ n ,α k ( r )
un ,k (α 1r ) 仍以格矢Rl为周期, 由于
可以改写为 由于α是正交变换,
∴ k α 1r = α k r
V = 2 3 8π
∫∫
等能面
dSdk⊥
dE = k E dk⊥
dZ V ∴N (E) = = 3 dE 4π
2. 近自由电子的能态密度 对于自由电子:
∫∫
dS k E
h2k 2 E (0) ( k ) = 2m
的球面
2mE 能量为E的等能面是半径为 k = h2
在球面上
dE h 2 k E = = k dk m
固体物理学能带理论小结
固体物理学能带理论⼩结能带理论⼀、本章难易及掌握要求要求重点掌握:1)理解能带理论的基本假设和出发点;2)布洛赫定理的描述及证明;3)三维近⾃由电⼦近似的模型、求解及波函数讨论;4)紧束缚近似模型及⼏个典型的结构的计算;5)明⽩简约布⾥渊区的概念和能带的意义及应⽤;6)会计算能态密度。
本章难点:1)对能带理论的思想理解,以及由它衍⽣出来的的模型的应⽤。
⽐如将能带理论应⽤于区分绝缘体,导体,半导体;2)对三种模型的证明推导。
了解容:1)能带的成因及对称性;2)万尼尔函数概念;3)波函数的对称性。
⼆、基本容1、三种近似在模型中它⽤到已经下假设:1)绝热近似:由于电⼦质量远⼩于离⼦质量,电⼦的运动速度就⽐离⼦要⼤得多。
故相对于电⼦,可认为离⼦不动,或者说电⼦的运动可随时调整来适合离⼦的运动。
多体问题化为了多电⼦问题。
2)平均场近似:在上述多电⼦系统中,可把多电⼦中的每⼀个电⼦,看作是在离⼦场及其它电⼦产⽣的平均场中运动,这种考虑叫平均场近似。
多电⼦问题化为单电⼦问题。
3)期场近似:假定所有离⼦产⽣的势场和其它电⼦的平均势场是期势场,其期为晶格所具有的期。
单电⼦在期性场中。
2、期场中的布洛赫定理1)定理的两种描述当晶体势场具有晶格期性时,电⼦波动程的解具有以下性质:形式⼀:()()nik R n r R e r ψψ?+=r u u r r v u u v ,亦称布洛赫定理,反映了相邻原包之间的波函数相位差形式⼆:()()ik rr e u r ψ?=r r r r ,亦称布洛赫函数,反映了期场的波函数可取布拉维格⼦的所有格⽮成⽴。
2)证明过程:a. 定义平移算符µT ,)()()()(332211321a T a T a T R T mmmm ?= b .证明µT 与?H的对易性。
ααHT H T =c.代⼊期边界条件,求出µT 在µT 与?H共同本征态下的本征值λ。
能带理论-固体物理理论
三 倒格子
基矢+法线取向 周期性的点 米勒指数 倒格子 晶面族 基矢 P点的位矢: 光程差 正格矢
衍射极大值条件 令 则
令 则 倒格矢
若倒格矢写为:
倒格矢和正格矢之间的关系:
反比 倒格矢是电子在市场傅立叶展开的元函数。
四 布里渊区
Wigner-Seitz原胞(WS):以晶格中某一格点为中心, 作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面,这些平 面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS 原胞。
周期边界条件(Born-Von Karman)
边界上原子的振动对于晶格振动的色散关系的影响是很小的。 1.固定边界条件 即固定两端的原子不动,得到驻波解。 2.周期边界条件 行波解
波矢是量子化的
七一维双原子链
色散关系
色散关系
声学支 光学支
禁带
光学波&声学波
主要依据长波极限下的性质
&
极化波
长光学波可以利用光波的电磁场激发
假定,所有离子产生的势场和其他电子饿 平均场是周期势场,其周期为晶格的周期。 单电子的薛定谔方程为:
Bloch定理: 周期势场的平移对称性
周期势场中粒子波函数的形式为: 即,波函数不再是平面波,而是调幅的平面波,幅度周期性变化。 另外一种形式:
它表明在不同原胞的对应点上,波函数相差一个位相因子 , 所以不同原胞对应点上,电子出现的几率是相同的,这是晶体周期性的反映。
声子
晶格的振动是一种集体运动形式,表现为不同模式的格波
简正变化,消除交叉项
晶格振动的总Hamiltonian
晶格振动系统的总能量为 能量是量子化的
声子:
特点: 1.准粒子:不是真实的粒子,不能游离于固体之外 2.准动量: 3.Bose子:
固体物理(第14课)能带理论
根据布洛定理,有 k ( r Rn ) e e e 因而有:
k (r)
e uk ( r ) uk ( r )
i k Rn i k r i k ( Rn r )
uk ( r Rn ) uk ( r )
i k r
上式表明,在周期场中 运动的单电子,其能量 本征函数
l1、l2、l3 Z
为了确定本征值,引入玻恩-卡门边界条件
( r ) ( r N1a1 ), ( r ) ( r N 2a2 ), ( r ) ( r N 3a3 ),
N1
N N1 N 2 N 3
( r N1a1 ) T1 ( r ) 1 ( r ),
(r) u(r) eikr
比较
势场为0
正离子
周期势场 正离子
电子波函数
周期性势场
势场中电子的波函数
6.1.1 布洛赫定理的证明
平移对称性
晶体势场的周期性是晶格平移对称性的反映,即晶格 在平移对称操作下是不变的。 T(Rn)平移算符表示使r到r+Rn的平移操作相当的算符。 其意义是使T(Rn)作用在任意函数f(r)上产生新的函数 f(Rn+r)。 T(Rn) f(r)= f(Rn+r) 晶体中的平移算符共有N1×N2×N3种 平移算符彼此对易,即:
k ( r N1a1 N 2a2 N 3a3 ) eik( N a N a N a ) k ( r ) 因此有:N1a1 N 2a2 N 3a3 2 n
1 1 2 2 3 3
l1 l2 l3 而此仅当 k b1 b2 b3 N1 N2 N3 时才能满足。
固体物理学中的电子结构和能带理论
固体物理学中的电子结构和能带理论固体物理学是研究物质的电子结构、自旋、磁性、导电、热学等性质的分支学科。
而电子结构与能带理论是固体物理学中最基础、最基本的概念之一。
电子结构指的是物质中电子的分布状态。
在经典物理学中,物质中的电子被视为点电荷,可以精确地计算出电子在各个位置上的势能的大小。
但是,在量子力学中,电子被视为一种波动性粒子,其能量和动量在各个方向上都是有限制的。
因此,在固体中,每个电子存在着特殊的运动方式,也即是所谓的“波函数”。
能带理论是电子结构理论中的一种,用于解释在固体物质中电子结构与导电性等现象。
能带即不同电子能量的总体能量段。
在能带理论中,一个电子在周期性势场作用下发生运动,其波函数可以写成布洛赫函数的形式。
由于电子的波函数受局限于介质的周期性势场,存在独特的运动方式,所以电子的能量只能分布在特定能量范围内,而不是一种连续的分布。
电子的能量态分布在空间中的不同区域、形成电子能带结构或禁带结构。
由于禁带存在,在晶体中当电子没有激发到更高的能量带时,这些电子是不能参与导电的,因此,晶体的导电性与禁带的大小有着密切的联系。
除此之外,电子的运动、能量和动量在车里士空间中是有限制的,车里士空间即为由倒易格子所构成的空间。
倒易空间的概念,在固体物理学中也是非常重要的概念之一。
由倒易空间的性质可以分析出生长晶体过程中的晶格常数大小对于晶体中能带结构的影响。
总之,电子结构与能带理论在固体物理学、材料学、电子学等领域的应用不可谓不广泛。
对于制造半导体材料与计算机芯片来说,这些概念至关重要。
同时,电子结构理论的另一大作用,是使得物理学者们在研究电子结构时,更进一步理解微观世界的本质。
固体物理中,能带论的三个近似
固体物理中,能带论的三个近似1.引言1.1 概述固体物理是研究固体材料中原子或分子的行为和性质的学科领域。
能带论是固体物理中一个非常重要的理论,它描述了电子在晶体中的能量分布及其行为规律。
能带论的三个近似是固体物理中非常重要的概念。
第一个近似是关于能带的定义和特点。
能带是指具有相似能量的电子态的集合。
在固体中,原子间的相互作用引起了电子的周期性排列,形成能带结构。
能带结构决定了电子能量的分布及其在固体中的运动方式。
根据波尔兹曼统计,能带中的电子填充情况将影响固体的导电性、磁性等物理性质。
第二个近似是关于周期势场下的能带结构。
周期势场是指固体中原子间的周期性排列造成的电子受到的平均势场。
在周期势场下,电子的行为将受到布洛赫定理的约束,即电子波函数在晶格周期性重复。
这样,能带结构就可以通过布洛赫定理进行简化描述,从而得到电子能量与波矢的关系。
第三个近似是近自由电子近似。
近自由电子近似是指在某些特定材料中,电子在晶格势场下的运动表现出类似自由电子的行为。
在近自由电子近似下,电子的能量分布可以用简单的能带模型来描述,以及电子的运动类似于自由电子在真空中的运动。
这种近似计算方法在一些金属或导体中得到了广泛应用。
综上所述,能带论的三个近似是固体物理中不可或缺的工具,它们对于解释和预测固体材料的性质具有重要意义。
本文将对这三个近似进行详细的介绍和分析,并展望能带论在未来的发展和应用前景。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分,分别是引言、正文和结论。
每个部分将有不同的子节,以便深入探讨和解释固体物理中能带论的三个近似。
引言部分将提供对整篇文章的概述,阐明本文的目的和重要性。
我们将简要介绍固体物理领域中的能带论及其在研究材料性质和电子行为上的重要性。
同时,引言还将展示本文的结构,介绍每个部分的主要内容及其相互关系。
正文部分将详细讨论能带论的三个近似。
第一个近似部分将探讨能带的定义和特点,以及简化的布洛赫定理。
能带理论
能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。
固体由原子组成,原子又包括原子实和最外层电子,它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化,首先假定固体中的原子实固定不动,并按一定规律作周期性排列,然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动,这就把整个问题简化成单电子问题。
能带理论就属这种单电子近似理论,它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出.能带和能带隙具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。
前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础,只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形;后两种方法则适用于较一般的情形,应用较广。
能级(Enegy Level):在孤立原子中,原子核外的电子按照一定的壳层排列,每一壳层容纳一定数量的电子。
每个壳层上的电子具有分立的能量值,也就是电子按能级分布。
为简明起见,在表示能量高低的图上,用一条条高低不同的水平线表示电子的能级,此图称为电子能级图。
能带(Enegy Band):晶体中大量的原子集合在一起,而且原子之间距离很近,以硅为例,每立方厘米的体积内有5×1022个原子,原子之间的最短距离为0.235nm。
致使离原子核较远的壳层发生交叠,壳层交叠使电子不再局限于某个原子上,有可能转移到相邻原子的相似壳层上去,也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去,这种现象称为电子的共有化。
从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异,与此相对应的能级扩展为能带。
禁带(Forbidden Band):允许被电子占据的能带称为允许带,允许带之间的范围是不允许电子占据的,此范围称为禁带。
原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满,然后再占据能量更高的外面一层的允许带。
被电子占满的允许带称为满带,每一个能级上都没有电子的能带称为空带。
价带(Valence Band):原子中最外层的电子称为价电子,与价电子能级相对应的能带称为价带。
简述固体能带理论
简述固体能带理论固体能带理论是量子力学关于固体中微观粒子行为的一种理论,它有助于描述量子物理学领域中重要的诸多性质,如电导率、电阻率、拉曼散射、热导率等电子性质。
一般来说,固体能带理论将一个固体分解为由许多电子组成的能带系统。
该理论着重于研究电子在晶体中的能带结构,以及这些能带之间的相互作用,从而解释固体中各种电子性质的变化。
固体能带理论的基础源自费米子的研究,他发现以光的波长为单位切割金属表面的电子能量等级,其中可能会有大量的能量等级,由此派生出能带理论,它将光谱转化为一系列的能级,从而说明光的行为和物质的结构之间的关系。
费米子发现,电子在晶体中能够在一系列被称为能带的能量水平中移动,并且通过不同能带之间的相互作用,电子才能在晶体中移动。
他对能带结构进行了深入分析,为固体能带理论奠定了基础。
随着费米子的研究,晶体物理学家们利用凝聚态物理的理论和表征,更详细地研究了固体能带结构,最终发展出固体能带理论。
固体能带理论的最重要的思想是绝热处理和热力学,即将晶体能带结构看作由一系列不同类型的能带组成,每一类都由一系列不同的能级组成。
根据固体中电子的迁移和能量转换机制,晶体的电子特性可以分为受斥力和相互作用,从而解释固体中的电子性质的变化。
固体能带理论的另一个重要思想是能带的费米子结构,它描述了电子在不同的能带中的空间分布,以及电子在不同能带之间的跃迁和能量转换的规律。
根据这一理论,晶体中的电子性质可以定量描述,从而说明固体中各种物理量的变化。
固体能带理论是量子力学领域的一个重要研究课题,也是许多重要物理性质的解释者。
它拓宽了我们对固体中电子性质的认识,开发了由电子能带结构组成的新材料,从而更好地实现人类在电子电路、半导体等领域的技术创新。
适合初学者看的能带理论
03
分子能带理论
分子能级与电子排布
分子能级
分子中的原子在相互振动时,会形成 不同的能级,这些能级决定了分子的 稳定性和化学反应能力。
电子排布
分子中的电子按照能量高低在不同轨 道上排布,形成不同的电子构型,对 分子的化学性质产生影响。
分子光谱与电子跃迁
分子光谱
通过分析分子吸收或发射的光谱,可以了解分子内部能级结 构和电子排布。
量子计算与量子通信的能带理论基础
量子计算
量子计算利用量子力学的特性进行信息处理,能带理论在理解量子比特和量子门操作等 方面发挥了重要作用。
量子通信
量子通信利用量子态的传输进行信息传递,能带理论在量子密钥分发和量子隐形传态等 方面提供了理论基础。
能带理论与其他物理理论的交叉研究
凝聚态物理
能带理论与凝聚态物理密切相关,通过研究 不同材料的能带结构和物理性质,可以深入 理解物质的微观结构和宏观性质。
光子禁带
在光子晶体的能带结构中,某些频率的光不能在其中传播,这种现象被称为光子禁带。光子禁带的存在可以用来 控制光的传播和光与物质的相互作用。
光子在介质中的传播与散射
传播
当光子在介质中传播时,会受到介质的折射和反射。折射和反射的性质取决于光子的波长和介质的性 质。
散射
当光子与介质中的原子或分子相互作用时,可能会发生散射。散射会导致光的方向改变和能量的损失 。散射的性质取决于介质的微观结构和光子的波长。
太阳能电池原理与应用
01
02
03
光吸收与能带结构
太阳能电池利用半导体材 料的能带结构,通过光吸 收产生光生载流子,从而 实现光电转换。
光电转换效率
能带理论有助于理解光电 转换效率的限制因素,为 提高太阳能电池效率提供 理论指导。
固体物理学中的能带理论
固体物理学中的能带理论固体物理学是研究固体物质特性和行为的学科。
其中,能带理论是固体物理学中的重要内容之一。
这个理论的提出和发展,深刻地影响着我们对物质的认识和应用。
在本文中,将介绍能带理论的基本概念、理论构建的主要过程以及对实际应用的影响。
1. 能带理论的基本概念能带理论是描述固体材料中电子结构的理论框架。
它基于量子力学的原理,认为在固体中,电子的运动状态和能量分别由多个能带和能带间的禁带带宽所决定。
能带是指具有类似能量水平的电子能级。
禁带带宽则表示在能带之间禁止电子的能量范围。
2. 理论构建的主要过程能带理论的构建经历了一系列的发展过程。
最早的一些能带理论如卢瑟福模型和Drude模型,是基于经典力学和经典电动力学的假设,对于一些简单情况具有一定的解释能力。
然而,这些模型无法解释复杂固体中的行为,因为它们没有考虑到量子力学效应。
在量子力学的框架下,人们使用薛定谔方程和波函数的理论来描述电子在固体中的行为。
经典的能带理论建立在Bloch定理的基础上,该定理认为固体中的电子具有周期性的晶格势场作用下的波函数形式。
通过求解薛定谔方程,我们可以得到电子的能量本征值和本征态。
3. 对实际应用的影响能带理论的提出和发展对固体物理学的研究产生了深远的影响。
首先,能带理论提供了解释固体材料电子运动行为的一个理论模型。
它可以解释金属、绝缘体和半导体等不同类型材料的电导特性,以及它们在外界条件下的响应。
其次,能带理论对材料的设计和合成起着重要作用。
通过对能带结构的调控,我们可以设计出具有特定能带特性的新材料。
例如,针对光电子器件应用的材料,我们可以通过调节能带结构来实现不同波长的能带过渡和光电转换。
而且,能带理论也对半导体器件的工作原理给出了关键的解释。
例如,能带理论对于理解和优化半导体二极管、晶体管和太阳能电池等器件的性能至关重要。
它可以揭示不同物理机制对器件行为的影响,为器件的设计和优化提供了指导。
总结起来,能带理论是固体物理学中一项重要的理论构建。
固体物理6-1 能带理论
h2 d 2 H0 = − + U0 2 2m dx
⎛ 2π nx ⎞ H ′ = ∑U n exp ⎜ i ⎟ a ⎠ ⎝ n ≠0
—— 零级近似 —— 微扰项
分别对电子能量E(k)和波函数ψ(k)展开
E ( k ) = Ek(0) + Ek(1) + Ek(2) + ⋅⋅⋅
ψ k = ψ k(0) + ψ k(1) + ψ k(2) + ⋅⋅⋅
将以上各展开式代入Schrödinger方程中,得
H 0ψ k(0) = Ek(0)ψ k(0) H 0ψ k(1) + H ′ψ k(0) = Ek(0)ψ k(1) + Ek(1)ψ k(0)
H 0ψ k(2) + H ′ψ k(1) = Ek(0)ψ k(2) + Ek(1)ψ k(1) + Ek(2)ψ k(0)
一级微扰方程: H 0ψ k(1) + H ′ψ k(0) = Ek(0)ψ k(1) + Ek(1)ψ k(0) 令:
ψ k(1) = ∑ al(1)ψ l(0)
l
l
(1) al El(0)ψ l(0) + H ′ψ k(0) = Ek(0) ∑ al(1)ψ l(0) + Ek(1)ψ k(0) ∑
周期性势场: U ( x ) = U ( x + a )
a:晶格常数
⎛ 2π nx ⎞ Fourier展开: U ( x ) = U 0 + ∑U n exp ⎜ i ⎟ ⎝ a ⎠ n ≠0
1 L U 0 = ∫ U ( x ) dx —— 势能平均值 L 0 1 L ⎛ 2π nx ⎞ U n = ∫ U ( x ) exp ⎜ −i ⎟dx L 0 a ⎠ ⎝
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晶体中电子运动的哈密顿算符
H = − h2 ∇2 +U (r)
2m
由于H是实算符,H*=H,
所以,如果ψn,k(r)是方程的解,那么ψ*n,k(r)也是方程
的解,且这两个解具有相同的能量本征值。
( ) Hψ n,k = En k ψ n,k
( ) ( ) 取复共轭:
Hψ
∗ n,k
=
En
k
ψ∗ n,k
电子的势能函数U(r) 具有与晶格相同的对称性:
U (α −1r) = U (r)
由于f(r)是任意函数,所以T(α)与H可对易
T (α ) H − HT (α ) = 0
若ψn,k(r)是晶体波动方程的解,那么,T(α) ψn,k(r) 也是方程的解,且ψn,k(r)与T(α) ψn,k(r)有相同的能量本
T
(α
)
Hf
(r)
=
T
(α ) ⎡⎢⎣−
h2 2m
∇2r
+U
( r )⎤⎥⎦
f
(r)
( ) ( ) =
⎡⎢− ⎣
h2 2m
∇2 α −1r
+U
α −1r
⎤ ⎥
f
⎦
α −1r
=
⎡⎢− ⎣
h2 2m
∇2r
+U
(r
)⎤⎥T
⎦
(α
)
f
(r
)
=
HT
(α
)
f
(r)
∇2在正交变换下形式不变,
∇2 α −1r
= ∇2r
T (α )ψ n,k (r ) = T (α ) eik⋅run,k (r )
( ) α = e u r ik⋅α−1r
−1
n,k
( ) ( ) = eiαk⋅run′,αk r = ψ n,αk r
由于α是正交变换, ∴k ⋅α −1r = αk ⋅ r
( ) 由于 un,k α −1r 仍以格矢Rl为周期,
( ) ( ) ( ) E(0=
kx + 2 2 + 4
8
13 (双)
{ ( ) {{ }} 相应的波函数:
1,1 Δ = exp i⎡⎣(kx +2) x−2y⎤⎦ (1,1)Δ = exp i⎡⎣(kx +2) x+2y⎤⎦
E(0)(k) n 8 4
(1,1) (1,1)
征值。
( ) Hψ n,k = En k ψ n,k
T (α ) Hψ n,k = T (α ) En (k )ψ n,k
HT (α )ψ n,k = En (k )T (α )ψ n,k
在晶体中电子运动的本征态波函数为Bloch函数
( ) ( ) ψ n,k r = eik⋅run,k r
n:能带标记,k:简约波矢,对应的能量本征值:En(k)
可以改写为 un′,αk (r )
αA⋅αB = A⋅ B
这表明,用T(α)作用在Bloch函数的结果只是将简约 波矢k变换到另一个简约波矢αk。根据上面的推论, 它们应具有相同的能量本征值。
∴ En (k) = En (αk)
上式对所有晶体点群的对称操作α 都成立。
证明了在k空间中En(k)具有与晶体点群完全相同 的对称性。
= En
k ψ n,−k
( ) ( ) 晶体中 ψ n,k r = eik⋅run,k r
( ) ( ) ( ) ψ ∗ n,k
r
=
e u −ik⋅r ∗ n,k
r
= ψ n,−k
r
用-k取代k,得
Hψ n,−k (r ) = En (−k )ψ n,−k (r )
∴ En (k) = En (−k)
集合称为波矢星。
1. 所有的αk ≠ k,或αk ≠ k+Gl(除α为单位元素外)
这时, k是布里渊区中的一般点,这时k星中的等价波矢 量数目等于晶体点群中的元素数(即点群的 阶数)。
如二维正方晶格的C4V(4mm)点群(8阶),在第一布
里渊区的一般位置k,可以得到8个等价的波矢量αk组成
k星。
对于简单立方晶格的Oh群, 有48个对称操作,那么在简约区
EM > EN
考虑周期场影响后,在布里渊区边界面的内侧与外 侧等能面均形成向外突出的凸面。
ky C
A
kx
EA
近自由电子的等能面
近自由电子的能态密度
当ECⅠ< EBⅡ时:有能隙(禁带) 当ECⅠ> EBⅡ时:出现能带重叠
E
EBⅡ ECⅠ
E ECⅠ EBⅡ
N(E)
N(E)
3. 紧束缚近似的能态密度
这个结论与晶体的点群对称性无关,而是时间反 演对称性的结果。
对于同一能带,有
En (k + Gl ) = En (k)
En (αk) = En (k) En (−k) = En (k)
来源于晶格的周期性 来源于晶体的点群对称性 来源于时间反演对称性
以二维正方晶格为例:
二维正方晶格的点群是C4V(4mm),点群的阶数:8
π/a ky
σ1
Σ
my
σ2 Γ Δ
mx
-π/a
M Z X kx
特殊 位置
k
k星中 等价k数
β群
波矢群 阶数
Γ点 (0, 0)
1
C4V
8
X点 (π/a, 0)
2
R点 (π/a, π/a) 1
C2V
4
C4V
8
Δ轴 (k, 0)
4
CS
2
波矢群中的对称操作
4z,mx,my,σ1,σ2
2z, mx,my
4z,mx,my,σ1,σ2
β操作的集合构成一个群,称为波矢群,或称为β群。
可以证明:
k星中的等价波矢量数×波矢群的阶数=晶体点群的阶数
波矢群也是晶体点群的一种,而且一定是这种晶
体点群的子群,或者就是晶体点群本身。
以二维正方晶格C4V(4mm)为例:
在它的简约区(即第一布里渊 区)中有六种具有波矢群的对 -π/a 称点或对称轴:
( ) ( ) E(0) 01
Δ
=
E(0) 01
Δ
= kx2 + 4
4
5
(双)
{ ( ) 波函数:
0,1 Δ = exp ⎡⎣i (kx x − 2 y)⎤⎦ (0,1)Δ = exp ⎡⎣i (kx x + 2 y)⎤⎦
E(0) 10
(Δ)
=
(kx
+
2)2
49
(单)
波函数:
(1, 0) Δ
=
exp ⎡⎣i (kx
以简单立方晶格s带为例:
( ) E s (k ) = E0 − 2J1 cos kxa + cos kya + cos kza
E0 = εs − J0
在k=0,即能带底附近,等能 面近似为球面,随着E的增 大,等能面明显偏离球面。
( ) ∇k E = 2aJ1 sin kxa, sin kya, sin kza
二、自由电子的能带(空格点模型)
自由电子的能量为
E(0) (k′) = h2k′2
2m
k’为广延波矢,不一定在简约区中,一定可以找到唯一
一个倒格矢Gn’,使得
k = k′ − Gn′
k为简约波矢
( ) ( ) ( ) E(0) n
k′
=
E(0) n
k + Gn′
=
E(0) n
k
=
h2 2m
k
+ Gn′
§6.5 晶体能带的对称性
一、 En(k)函数的对称性
晶体点群对称操作的算符T(α),物理意义:对于任
意函数f(r),有
T (α ) f (r) = f (α −1r)
其中,α-1是α的逆操作,其定义为α-1 r点经α操作后变
换到r点。
晶体中电子运动的哈密顿量为:
H
=
−
h2 2m
∇2r
+U
(r)
将T(α)和H同时作用在任意函数f(r)上,
以简单立方晶体为例,考察第一布里渊区中等能面 的一个二维截面。
在布里渊区边界面的内侧:
对自由电子:EP(0)=EQ(0)
考虑周期场的影响:EQ(0) > EQ ,EP(0)≈EP
M M’
EP > EQ
在布里渊区边界面的外侧: 对自由电子:EN(0)=EM(0),
P
0
Q Q’
Gn N
考虑周期场影响:EM(0) < EM ,EN(0) ≈EN,
dk ⊥
kx
态数(考虑了电子自旋)
能态密度:能带中单位能量间隔内的电子能态数。
dZ=2ρ(k)×(k空间中能量在E-E+dE两等能面间的体积)
∫∫ =
2
⋅
V
8π
3
等能面 dSdk⊥
dE = ∇k E ⋅ dk⊥
∴N (E) =
dZ dE
=
V
4π 3
∫∫
dS ∇k E
2. 近自由电子的能态密度
对于自由电子: E(0) (k ) = h2k 2
(n1n2 ) = (00) (第一布里渊区)
( ) E(0) 00
Δ
= kx2
0 1 (单)
( ) 相应的波函数: 0,0 Δ = eikxx
( ) ( ) 第一近邻倒格点: (n1n2 ) = 10 , 01 ,(01),(10)
E(0) 10
(Δ)
=
(kx