理论力学第十章

O
1
B
2
A
解：
2 vB
O
vB 1 OB 100 3mm/s
1
B
C
vC
vCB
vCB (2 1 ) R 300mm/s
vB
vC v v
2 B
2 CB
200 3mm/s
p 6.93N s
A
p mvC
例10-2
已知: 为常量, 均质杆 OA=AB= l , 两杆质量皆为 m1 ,
时间内作用于质点系外力冲量的矢量和.
p2 x p1x I
(e) x
p2 y p1 y I
(e) y
p2 z p1z I z(e)
－－质点系动量定理积分形式的投影式
3．质点系动量守恒定律
(e) 若 F 0,
(e) p 恒矢量 若 Fx 0,
2
m1 Fx F r m2 cos t 2
最大水平约束力为
Fmax
m1 F r m2 2
2
例 10-5 质量为m的滑块A，可以在水平光滑槽中运动，具有刚度系数 为k的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。杆AB长度为l， 质量忽略不计，A 端与滑块A铰接，B 端装有质量m1的小球。 设在力偶M作用下转动角速度ω为常数。求滑块A的运动微分 方程。
解:
应用质心运动定理,得
m1 m2 aCx Fx F
1 r xC m1 cos m2 r cos b 2 m1 m2
aCx d 2 xC r Leabharlann Baidu m1 m2 cos t 2 dt m1 m2 2
mv
p mi vi
i 1 n
质心
即
mi ri rc m
drc dri m mi mi vi dt dt
p mvc
2．冲量
常力的冲量
I Ft
变力的元冲量
dI Fdt
I Fdt
t1 t2
在
t1～ t 2 内的冲量
例10－1
已知：均质圆盘在OA杆上纯滚动，m＝20kg， R＝100mm， OA杆的角速度为 1 1rad/s ，圆盘相对于OA杆转 OB 100 3mm。 动的角速度为 2 4rad/s， 求：此时圆盘的动量。
系统动量的大小为:
p
2 2 px py l 4(m1 m2 ) 2 sin 2 t m12 cos 2 t
§10-2 动量定理
1.质点的动量定理
d(mv ) F dt
或
d(mv ) Fdt
－－质点动量定理的微分形式
即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量.
在 t1 ~ t 2 内, 速度由 v1 ~ v2 , 有
px 恒量
例10-3 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为 m1 , 转子质量为 m2 .定子和机壳质心 O1 ,转子质心 O2 , O1O2 e , 角速度
为常量.求基础的水平及铅直约束力.
解:
p m2 e
px m2 e cost
p y m2 e sin t
mv2 mv1 Fdt I
t1
t2
－－质点动量定理的积分形式 即在某一时间间隔内,质点动量的变化等于作用于质点 的力在此段时间内的冲量.
2.质点系的动量定理 外力:
Fi (e) ,
内力:
Fi (i)
内力性质:
质 点:
Fi (i) 0 M O ( Fi (i) ) 0 Fi (i) dt 0
d(mi vi ) Fi (e)dt Fi (i)dt
d(mi vi ) Fi (e)dt Fi (i)dt
(e) (e)
质点系:
dp Fi dt dIi
或
dp (e) Fi dt
－－质点系动量定理的微分形式
即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的
k m1 2 x x l sin t m m1 m m1
由
dp x Fx dt dp y Fy m1 g m2 g dt
Fx m2 e 2 sin t
Fy (m1 m2 ) g m2 e 2 cos t
得
10-3
由
质心运动定理
n d (mvC ) Fi (e) i 1 dt
得
dvC n (e) m Fi dt i 1
或
maC Fi (e)
i 1
n
－－质心运动定理 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系 外力的矢量和.
在直角坐标轴上的投影式为:
ma Cx Fx(e)
maCy Fy(e)
maCz Fz(e)
在自然轴上的投影式为:
dvC m Ft (e) dt
m
v

矢量和 ; 或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外 力的矢量和.
dp x (e) Fx dt
dp y dt
(e)
F
(e) y
dp z (e) Fz dt
－－质点系动量定理微分形式的投影式
p2 p1 I i
i 1
n
－－质点系动量定理的积分形式
即在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于在这段
第十章 动 量 定 理
§10-1 动量与冲量
1．动量
质点的动量 质点系的动量
n n i px mi vix mi x i 1 i 1 n n i p y mi viy mi y i 1 i 1 n n i pz mi viz mi z i 1 i 1
滑块 B 质量 m2 . 求:质心运动方程、轨迹及系统动量.
解:设
t ，质心运动方程为
l 3l m1 m1 2m2l 2 xC 2 cos t 2m1 m2 2(m1 m2 ) l cos t 2m1 m2
l 2m1 m1 2 yC sin t l sin t 2m1 m2 2m1 m2
消去t 得轨迹方程
xc yc 2 [ ] [ ]2 1 2(m1 m2 )l /( 2m1 m2 ) m1l /( 2m1 m2 )
系统动量沿x, y轴的投影为:
C 2(m1 m2 )l sin t px mvCx mx
C m1l cos t p y mvCy my
2 C
F
(e) n
0 Fb(e)
质心运动守恒定律 若 若
F (e) 0
则 则
vC 常矢量
F
(e) x
0
vCx 常量
例10-4 均质曲柄AB长为r,质量为m1 ,假设受力偶作用以不变 的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D , 如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2 ,质心在点C .在活 塞上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲 柄轴A 处的最大水平约束力Fx .
取滑块 A 和小球B组成的系统为 研究对象，建立向右坐标x，原 点取在运动开始时滑块A的质心 上，则质心之x坐标为：
O
x
m x m1 ( x l sin t ) xC m m1
m1 C x x l 2 sin t m m1
C kx 系统质心运动定理： (m m1 ) x