二次函数概念

！！！！二次函数概念！！！！！

一、二次函数概念：

1．一般地，形如

2

y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

当 时，它是二次函数；

当 时，它是一次函数；当 时，它是正比例函数。

2. 二次函数

2

y ax bx c =++（0a ≠）的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵

a b c ，，是常数，a 是 ，b 是 ，c 是 ．

二、二次函数图像与性质 1、二次函数基本形式：

2y ax =（0a ≠，b=0,c=0） a 的绝对值越大，抛物线的开口越小；a 的绝对

值越小，抛物线的开口越大

2、二次函数基本形式：

2y ax k =+ （0a ≠，b=0,k ≠0）

3、二次函数基本形式：()

2

y a x h =- （0a ≠）

4、二次函数基本形式：顶点式

()2

y a x h k

=-+ （0a ≠）

5、二次函数基本形式：交点式12()()y a x x x x =-- (注意：只有抛物线与x 轴有交点，即2

40b

ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．)

★★6、二次函数基本形式：一般式2

y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）>>>>>>>>配方！>>>>>>>

顶点式2

2424b ac b y a x a a -⎛

⎫=++

⎪⎝⎭

（1）配方：1.提取a （有负号要带），常数C 不动；2.括号内加（减）一次项系数一半的平方；3整理成顶点式

（2）图像与性质

（3）二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）图象的画法：

五点绘图法：利用配方法将二次函数2

y ax bx c =++化为顶点式2

()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与

y 轴的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，

，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

（4）二次函数的图象与系数a,b,c 之间的关系

1. 二次项系数a ：二次函数2

y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；

⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数b ：在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．“左同右异”ab 的符号的判定：对称轴a

b

x

2-

=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0

y 轴交点的位置．⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即

抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．

4. a+b+c 的值：当x=1时，函数取值； a-b+c 的值：当x=—1时，函数取值。 三、二次函数的平移问题：（口诀：“变顶点式，左加右减，上加下减”）

平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2

y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

例如，抛物线()2

y a x h k =-+向上平移2个单位，向右平移3个单位可写为： 抛物线()2

y a x h k =-+沿y 轴上（下）平移m 个单位，则平移后的抛物线可设为： 抛物线()2

y a x h k =-+沿x 轴左（右）平移n 个单位，则平移后的抛物线可设为： 补充：平移过程中抛物线的形状和开口方向不变。（这两个因素都是由二次项系数a 决定的。） 两抛物线形状相同，则a 的绝对值相同。 两抛物线的开口方向相同，则a 的值相同。 四：二次函数图象的对称：（找到顶点的对称点）

回头看： ①

2ax y

=；②k ax y +=2；③()

2

h x a y -=；④

()k h x a y +-=2

；⑤c bx ax y ++=2.

五、一般式、顶点式、交点式联系区别与用法：

()()2

22

12424b ac b y ax bx c a x a x x x x a a -⎛

⎫=++=++

=-- ⎪⎝

⎭ 补充:对称式：12()()(0)y a x x x x k a =--+≠

当抛物线经过点1(,)x k 、2(,)x k （关于对称轴对称的两点）时，可以用对称式来求二次函数的解析式．

六、二次函数与一元二次方程：

回头看：