放缩法在数列不等式中的应用

16 n (n +2) 1

1 1-1

2 +12 -12 +12 -12 +…+12 - 1

2 2

< 2 + 2 + … = 1 1+1- 1 -

1

= ;

16 2

64 2 2 2

放缩法在数列不等式中的应用

在数列与不等式综合性问题中数列不等式的证明最为常见,这类问题既考查了数列知识,又考查了不等式的证明方法,集知识与能 二、先放缩再求和

例2 已知各项均为正数的数列{a n }

的前n 项和为S n ,且a n 2

+a n =

2a S n 。 力于一题,这类问题一般与数列求和有关,具 () : a 2 + a 2

; 有一定的灵活性,难度较大。放缩法是破解这 1

求证 S n < n n + 1 4

类问题最常用的方法之一,下面举例说明。

一、先求和后放缩

例1 正项数列{a n }

的前n 项和S n 满 (2

)求证:S

n < S 1 + S 2 + S 3 +… + S n <

足:S n 2 -(n 2 +n -1)S n -(n 2

+n )=0

。 : 2 (1) 求数列{a n }的通项公式a n ;

证明 1在条件中,令n =1,得a 1 +a 1 () n +1

, { } =2S 1 =2a 1 。又a 1 >0,故a 1

=1。 2 令b n = (n +2)2a 2

数列 b n

的前n 由条件a 2 +a =2S ,得a 2

+1 +

a +1 = n

项和为T n ,证明:对于任意的n ∈N * ,都有

n

n

n

n

n

2S n +1

。 T < 5 。 上述两式相减整理得:

n

64

(a +a )(a -a -1)=0

。 :() 2 (2 ) ( 2

n +1

n

n +1

n

解析 1 由S n - n +n -1 S n - n + 因a n >0,a n +1 +a n >0,故a n +1 -a n =1。 n )=0,得[S n -(n 2 +

n )](S n +1)=0。 由于{a n }

是正项数列,所以S n >0,S n = 所以,a n =1+1× (n

-1)=n ,S n = n (n +1)。 n 2

+n 。

2

( ) 当n =1时,a 1

=S 1 =2。 因 此,S n = n n + 1 <

1 · 当n ≥

2 时,a n =

S n -S n -1 =n 2

+n - (n n 2 + (n + 1)2

2 2 a 2 +a 2

-1)2

-(n -1)=2n 。 2 =

n

4 n +1

。

综上,数列{a n }的通项公式为a n =

2n 。 ()

( )

,

n

(2)由(1)知a n =

2n ,故: 2 因为n < n n +1

所以 2

b n =

n +12 2 = n +1 2 =

n +1 (n +2)a n

4n 2

(n +2) <

2

。 1

12 - 1

2

。 因此, S + S

+…+ S T n =

2 3 16

3 2

4 3 5

n (n +2)

n +1 n 2 +3n S -1

16

22

(n +1)2 (n +2)2

2 2 2

2

< 1 1+12

= 5

。

S 1 S 2 + … S n > 1 + 2

+ … +

说明:本题中的数列{b n }

的前n 项和为

n

=

T n ,

结合式中结构,可用裂项相消法求和。当 2 数列的前n 项和可以求得时,一般先求和后放缩证明数列不等式,即求和后恰当放缩成欲证的不等式,这种放缩法在高考中最为常见。

综上,于是原不等式获证。

n +1

… +2 n + =