矩阵的对角化问题

一. 方阵的特征值与特征向量
1. 特征值与特征向量的定义
1.定义 2.求法 3.性质
定义1:
设 A是 阶n方阵， n x 若数 和 维非零列向量 ，使得 Ax x 成立，则称
A 是方阵 的一个特征值， x A 为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。
注： (1) A 是方阵
（2）特征向量 是非x零列向量
A （3）方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一
（4）一个特征向量只能属于一个特征值
1
2. 特征值与特征向量的求法
Ax x
A E x 0 或 E A x 0
已知 x 0, 所以齐次线性方程组有非零解
AE 0 或 E A 0
定义2：
Ann
aij
,
nn
数
a11
a12
0 0
1 0
0 0
0
p1
0 1
k1 p1(k1 0 常数)是对应于 1 2 的全部特征向量。
5
当 2 3 时，1
齐次线性方程组为
A Ex 0
2 1 0 1 0 1
A
E
4 1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 0
1
x1 x2
x3 2 x3
得基础解系
p2
2 1
k2 p2 (k2 0 常数)是对应于 2 3 1的全部特征向量。
L
a1n
A E a21
a22 L
a2n
M
MMM
an1
an2
L ann
A 是关于 的一个多项式，称为矩阵 的特征多项式。
2
a11
f A E a21
M an1
a12
a22
M
an2
L
a1n
L
a2n 0
MM
L ann
求特征值、特征向量：
A 称为矩阵 的特征方程。
(1) A E 0 求出 即为特征值;
1
p1
p2
p3
2
3
1 1 1
取 P p1
p2
p3
0 1
1 0
2 1
1
2
3
0
0
2
12
AP P Q P 2 0 P1 存在 P1AP P1P
问题：矩阵 是P否唯一？矩阵 是否唯一？
本题启示:
1. 通过求A的特征值,特征向量,有可能把A写成
为P对角1 A阵。P
1 1 解： （1） A E 2 2
1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
1 1 1
9
2 2 0 得 1 2 0, 3 2
当1 2 0时, Ax 0
1
A 2
1 2
1 1 1 1 2 0 0 0
1 1 1 0 0 0
x1 x2 x3
1 1
自由未知量:
x2 , x3 得基础解系
p1
0 1
,
p2
1 0
k1 p1 k2 p2 (k1 , k2不同时为0的常数)是对应于1＝2＝0的
全部特征向量
10
当3 2时 ( A 2E)x 0
3 2 1
1 0 1
1 1 2 0 1 0
1 1 0
1 2 0
1 0
0
0 1 0
1 2 0
分别对应于
k , m , 1的,特1征A向量。
(4) f ( x) 为x的多项式，则 的f 特( x征)值为
f ( ). 7
性质2： 矩阵 A和 的A特T征值相同。
定理2：设 阶n方阵
A 的 a个ij特征值为n
1,2 ,L ,n
则 1) 1＋2＋L ＋n a11 a22 L ann
k 1,2, ,m 1
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1
x1 p1, x2 p2 ,
, xm
pm
1 1
2
m
1m1
m1 2
m1 m
0,0,
,0
等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，
P 1 AP 其中 为对角阵。 A 2. 提供了一种求 的方法k .
13
定理3：设 1 , 2 ,L是方, 阵m 的 个特A征值，m
p1 , p2 ,L , pm 依次是与之对应的特征向量。
如果 1 , 2 ,L 各, 不m相等，
则 p1 , p2 ,L ,线p性m无关。
书p138 定理5.3.2
书P130. 例4. 例5
6
3. 特征值和特征向量的性质
性质1： 若 A的特征值是 ， 是 的x对应A于 的特征向量，则
(1) kA的特征值是 k . (k 是任意常数)
(2) Am 的特征值是 m . (m 是正整数)
(3) 若 A可逆，则 的A特征1 值是
1.
A 的特征值是
1 A.
且 x仍然是矩阵 kA, Am , A1 , A
1
0 2
2 12 0
特征值为 1 2,2 3 1
第二步：对每个特征值
代入齐次线性方程组
A E x 0, 求非零解。
4
当 1 时2， 齐次线性方程组为
A 2E x 0
系数矩阵
3 1 0 1
A
2E
4 1
1 0
0 0
0 0
自由未知量:
x3
x1 x2 0 令 x3 得1基础解系:
(2) Ax x A E x 0
把得到的特征值 代入上 式，
求齐次线性方程组
A E x 0 的非零解 x
即为所求特征向量。
3
1 1 0
例1： 求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和全部特征向量.
解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.
1 1 0
A E 4 3 0 0
x1 x3
x
2
2 x3
自由未知量:
x3
得基础解系
1
p3
2 1
k3 p3 (k3 0，常数)是对应于3＝0的全部特征向量
11
(2) Ap1 1 p1, Ap2 2 p2 , Ap3 3 p3 .
A p1 p2 p3 Ap1 Ap2 Ap3
1 p1 2 p2 3 p3
A 即，方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。
证明： 设常数 x1 , x2 ,L使,得xm
x1 p1 x2 p2 xm pm 0.
则 A x1 p1 x2 p2 xm pm 0,
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0,
14
类推之，有
1k x1 p1 k2 x2 p2 km xm pm 0.
n
aii tr( A) i 1
称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）
n
2)
i 12 L n＝ A
i 1
8
例2 ： 设 为矩阵 的A特征值，求
A2 的特2征A值；E
若 A可逆，求
A* , E 的特A征值1 。
例3：设
1 1 1
A
2 1
2 1
2 1
A 求： （1） 的特征值和特征向量。 （2）求可逆矩阵 ，使P得