二次函数应用题分类解析(教师版)

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二次函数应用题分类解析

二次函数是初中学段的难点,学生学起来觉的比较的吃力,可以把应用问题进行分类: 第一类:利用待定系数法

对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系,并且给出几对变量值,要求求出函数关系式,并进行简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法,准确求出函数关系式。

例1. 某公司生产的A 种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验,每年投入的广告费是x (十万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y 倍,且y 是x 的二次函数,它们的关系如下表:

(1)求y 与x 的函数关系式;

(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S (十万元)与广告费x (十万元)的函数关系式;

(3)如果投入的年广告费为10—30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大?

析解:(1)因为题中给出了y 是x 的二次函数关系,所以用待定系数法即可求出y

与x 的函数关系式为

(2)由题意得S=10y(3-2)-x

(3)由(2)及二次函数性质知,当1≤x ≤2.5,

即广告费在10—25万元之间时,S 随广告费的增大而增大。

二:分析数量关系型

题设结合实际情景给出了一定数与量的关系,要求在分析的基础上直接写出函数关系式,并进行应用。解答的关键是认真分析题意,正确写出数量关系式。

1x 53

x 101y 2++=

10x 5x 2

++-=465

)25x (10x 5x S 22+

--=++-=

例2. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克,购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元。市场调查发现:单价定为70元时,日均销售60千克;单价每降低1元,日均多售出2千克。在销售过程中,每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时,按整天计算)。设销售单价为x 元,日均获利为y 元。

(1)求y 关于x 的二次函数关系式,并注明x 的取值范围;

(2)将(1)中所求出的二次函数配方成

的形式,写出顶点坐标;

在图2所示的坐标系中画出草图;观察图象,指出单价定为多少元时日均获得最多,是多少?

(3)若将这种化工原料全部售出,比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式,哪一种获总利较多,多多少?

析解:(1)若销售单价为x 元,则每千克降低(70-x )元,日均多售出2(70-x )千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利为(x-30)元。根据题意得

(30≤x ≤70)。

(2)。顶点坐标为(65,1950),

草图略,当单价定为65元时,日均获利最多,是1950元。

(3)列式计算得,当日均获利最多时,可获总利195000元;当销售单价最高时,可获总利221500元。故当销售单价最高时获总利较多,且多获利221500-195000=26500元。

三:建模型

即要求自主构造二次函数,利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。这类问题建模要求高,有一定难度。

例3.如图4,有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4dm ,抛物线顶点处到边MN 的距离是4dm ,要在铁皮上截下一矩形ABCD ,使矩形顶点B 、C 落在边MN 上,A 、D 落在抛物线上,问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm ?

析解:由“抛物线”联想到二次函数。如图4,以MN 所在的直线为x 轴,点M 为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P ,则M (0,

a 4

b a

c 4)a 2b x (a y 2

2-+

+=6500x 260x 2500)]x 70(260)[30x (y 2-+-=--+-=1950)65x (26500)x 130x (2y 22+--=---=

0),N (4,0),P (2,4)。用待定系数法求得抛物线的解析式为

。 设A 点坐标为(x ,y ),则AD=BC=2x-4,AB=CD=y 。于是

。且x 的取值范围是0

≠2)。

若l=8,则,即。解得。

而0

注:本题还可在其它位置建立直角坐标系。

例4.某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y (万件)与销售单价x (元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z (万元)(不含进价)与年销量y (万件)存在函数关系z =10y +42.5. (1)求y 关于x 的函数关系式;

(2)度写出该公司销售该种产品年获利w (万元)关于销售单价x (元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x 为何值时,年获利最大?最大值是多少?

(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围

在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元? .解:(1)由题意,设y =kx +b ,图象过点(70,5),(90,3), ∴570,390.

k b k b =+⎧⎨

=+⎩解得1,1012.

k b

=-

⎪⎨⎪=⎩∴y =110-

x +12.…………………………………………3分 (2)由题意,得w =y (x -40)-z =y (x -40)-(10y +42.5)=(110

-x +12)(x -10)-10(1

10

-x +12)-42.5

=-0.1x 2+17x -642.5=110

-(x -85)2

+80.

当85元时,年获利的最大值为80万元. ……………………………………………………6分

(3)令w =57.5,得-0.1x 2

+17x -642.5=57.2. 整理,得x 2

-170x +7000=0. 解得x 1=70,x 2=100.

x 4x y 2

+-=x 12x 2)4x 2(2)x 4x (2)4x 2(2y 2AD 2AB 2l 22-

+-=-++-=-+=+=8x 12x 2)4x 2(2)x 4x (2)4x 2(2y 2AD 2AB 2l 22-+-=-++-=-+=+=88x 12x 22=-+-08x 6x 2=+-4

x 2x 21==,

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