直线与圆的应用专题

直线与圆的应用专题

1、【2019年高考北京卷文数】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆

的方程为__________． .

2、【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切

于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．

3、【2019年高考浙江卷】已知椭圆22

195

x y +=的左焦点为F ，

点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．

4、【2018年高考全国I 卷文数】直线1y x =+与圆22

230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．

5、【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．

6、【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195

x y +=的左焦点为F ，

点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．

.

7、【2018年高考全国I 卷文数】直线1y x =+与圆22

230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．

8、【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．

9、【2018年高考全国Ⅲ卷文数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆

22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ）

A ．[]26，

B ．[]48，

C ．

D ．⎡⎣

10、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与

直线x +2=0相切．

（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；

（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．

一、圆的有关概念和方程

1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆

2、圆的标准方程：设圆心的坐标(),C a b ，半径为r ，则圆的标准方程为：()()2

2

2

x a y b r -+-=

3、圆的一般方程：圆方程为22

0x y Dx Ey F ++++=

（1）2

2

,x y 的系数相同（2）方程中无xy 项（3）对于,,D E F 的取值要求：22

40D E F +->

4、确定圆的方程的方法和步骤;确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程. 5.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种.

圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2

1、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：

（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则： ① 当r d >时，直线与圆相交 ② 当r d =时，直线与圆相切 ③ 当r d <时，直线与圆相离

（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数。设直线：0Ax By C ++=，圆：2

2

0x y Dx Ey F ++++=，则：

22

Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩消去y 可得关于x 的一元二次方程，考虑其判别式的符号 ① 0∆>，方程组有两组解，所以直线与圆相交 ② 0∆=，方程组有一组解，所以直线与圆相切 ③ 0∆<，方程组无解，所以直线与圆相离

2、直线与圆相交：弦长计算公式：2AB AM ==

3、直线与圆相切：（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径

三、方法技巧

1、是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形，利用勾股定理求得弦长.

2、求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

②定义法：根据圆、直线等定义列方程.

③几何法：利用圆的几何性质列方程.

④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

题型一求圆的标准方程或圆的一般式

求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：

(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：

①圆心在过切点且垂直切线的直线上；

②圆心在任一弦的中垂线上；

③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.

(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.

例1、(2018苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2，－1)的圆C与直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上，则圆C的标准方程为________________．