非平衡载流子的扩散运动

Dp
d 2p dx2
p
dp dx
p
p
0
方程的通解为：
p Ae1x Be2x
1，2 Lp ( )
L2p ( ) 4L2p
2 L2p
1 ~“” 2 ~“”
其中 Lp ( ) p p ——空穴的牵引长度
空穴在寿命时间内所漂移的距离
考虑到非平衡载流子是随x衰减的
p Be2x
又 x 0时，p （p）0 则 B （p）0
稳定光照射在一块均匀掺杂的n型半导体中均匀产生非平 衡载流子，产生率为gp。如果在半导体一侧存在表面复合 （如图所示），试写出非平衡载流子的表达式。
表面复合
0
x
体内产生的非子为
p t
Dp
2 p x2
p p
d
dx
p
p x
p
p
gp
p
p
gp
0
p p p0 p g p
空穴向表面扩散，满足的扩散方程
5.5 非平衡载流子的扩散（Diffusion）运动
（1）扩散运动与扩散电流（diffusion current）
考察p型半导体的非少子扩散运动
沿x方向的浓度梯度 dn dx
电子的扩散流密度
（单位时间通过单位 截面积的空穴数）
Sn x
dn dx
Snx dnx
dx
Sn x
Dn
dn dx
扩散定律
n t
Dn
2n x 2
nn
d
dx
n
n x
n
n
gn
p t
Dp
2 p x 2
p p
d
dx
p
p x
p
p
gp
应用举例
1 用光照射n型半导体，并被表面均匀吸收，且gp=0 。 假定材料是均匀的，且无外场作用，试写出少数载流子
满足的运动方程。
p
t
Dp
2 p x 2
p p
d
dx
p
p x
p
p
gp
p
2p p
t
指扩散和漂移运动同时存在时，少数载流子所遵守的运动方程
以一维n型为例来讨论：
ε
在外加条件下，载流子未达 到稳态时，少子浓度不仅是x的
光 照
函数，而且随时间t变化：
P t
空穴积累率复合率 其它产生率
*空穴积累率：
空穴的扩散和漂移流密度
Sp
Jp q
Dp
p x
p p
空穴积累率
S p x
Dp
2 p x 2
Dn---电子扩散系数（ electron diffusion coefficients）
Sn x Sn x x
---单位时间在小体积Δx·1中 积累的电子数
lim Sn x Sn x x dSn x
x 0
x
dx
----在x附近，单位时间、单位体积中积累的电子数
稳态时，积累=损
失
dSn x nx
dx
n
那么
Dn
d 2nx
dx2
nx
n
稳态扩 散方程
Dn
d 2nx
dx2
nx
n
三维
Dn2
球坐标
n
n
n
Dn
1 r2
d dr
(r 2
dp ) dr
n
n
x
x
解方程,得 nx Ae Ln BeLn
其中 Ln Dnn 称作扩散长度
若样品足够厚
x 有nx 0 B 0
又 x 0时, nx n0
Dp
2 p x2
p p
d
dx
p
p x
p
p
gp
p p
d
dx
p
p x
复合率
p
p
其它产生率 g p
p t
Dp
2 p x2
p p
d
dx
p
p x
p
p
gp
讨论（1）光照恒定 （2）材料掺杂均匀 （3）外加电场均匀
p 0 t p p x x
d 0
dx
------连续性方程
（4）光照恒定，且被半导体均匀吸收
p 0 t
p 0 x
对于p型半导体：
qp（0 x）p
J p扩
qSp x
qDp
dp0 x
dx
平衡条件下： J p漂 J p扩 0
p0 (x)
Nve Ev
qV (x) EF k0T
dp0 (x) dx
q p0 (x) k0T
dV x
dx
而 dV
dx
最后得
Dp k0T
p q
同理
Dn k0T
n q
5.6 连续性方程
dx
Lp
x
p0 e Lp
q Dp Lp
px
（2）总电流密度
在光照和外场同时存在的情况下:
Jn
J n漂
J n扩
qnn
qDn
dnx
dx
Jp
J p漂
J p扩
qp p
qDp
dpx
dx
J总 Jn J p
（3） Einstein Relationship（爱因斯坦关系）
D k0T
q
J p漂
最后得：
p (p)0 e2x
其中
2 Lp ( )
L2p ( ) 4L2p
2 L2p
Lp ( ) Lp
1
L（p ）
Lp ( ) Lp
1
Lp
x
p
(p)0
e
Lp ( )
x
(p)0 e Lp
电场很强 电场很弱
结论：由表面注入的非平衡载流子深入样品的平均距 离，在电场很强时为牵引长度，而电场很弱时为扩散 长度。
3 在一块均匀的半导体材料中，用适当频率的光脉冲 照射其局部区域，请分别写出没有外场和加外场时， 非平衡载流子在光脉冲停止后的运动方程。
没有外场：
p
2p p
t
Dp
x 2
p
∆p
t=0
t=t1 t=t2
0
x
有外场：
p
t
Dp
2p x 2
p
p x
p
p
∆p t=0
t=t1 t=t2
0A
x
4 稳态下的表面复合
Dp
x 2
p
——非平衡少数载流子的扩散方程
恒定光照下
2p p
Baidu NhomakorabeaDp
x 2
p
0
——稳态扩散方程
2 用恒定光照射n型半导体，并被表面均匀吸收,且gp=0。 假定材料是均匀的，且外场均匀，试写出少数载流子满
足的运动方程，并求解。
解
p
t
Dp
2 p x2
p p
d
dx
p
p x
p
p
gp
此时连续性方程变为
n(
x)
(n)（0 1
x W
）
相应的 Sn=常数
❖ 扩散电流密度
电子的扩散电流密度
J n扩
qSn x
qDn
dnx
dx
空穴的扩散电流密度
J
p扩
qSp x
qDp
dpx
dx
J n扩
qSn x qDn
dnx q
dx
Dn Ln
x
n0 e Ln
q
Dn Ln
nx
J p扩
qSp x qDp
dpx q Dp
x
最后得 nx n0e Ln
注意到
nLn
1 e
n0
x Ln
若样品厚为W（W ∞) 并设非平衡少子被全部引出
则边界条件为： ∆n(0)= (∆ n)0 ∆n(W)=0
x
x
带入方程 nx Ae Ln BeLn
得
sinh(W x )
n(x) (n)0
Ln sinh(W )
Ln
当W<<Ln时，
d 2p p
Dp
dx2
p
gp
0
边界条件为
p() p g p
p( x) Dp x x0 s pp(0)
例 今有一块均匀的n型硅材料，用适当的频率、稳 定的光照射样品的左半边（如下图），产生电子-空 穴对，其产生率为gp，求稳态时、低注入水平、样品 足够长时两边的空穴浓度及分布。
光照
0
x
p t