报童的决窍

报童的决窍

摘要本论文讨论的是报童卖报问题,报童卖报问

题实际上就是通过分析,找出几种可能的方案,

通过求解,找出一个最优的方案来订报,使得报童赢利取得最大期望值或报童损失的最小期望值的临界值,也就是使报童获得的利益最大。

本文首先建立了最大期望值和最小期望值的模型 然后分别用连续的方法和离散的方法求解 最后得出结论。尽管报童赢利最大期望值和损失最小期望值是不相同的 但是确定最佳订购量的条件是相同的。

关键词 期望值、连续、离散

一、问题重述

报童每天清晨从报社购进报纸零售 晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份进购价为

b,零售价为a,退回价为c,自然地假设a>b>c.也就是说,报童售出一份报纸赚a-b,退回一份赔b-c,在他的销售范围内每天报纸的需求量为 r 份的概率是 f(r)(r=0,1,2,…).那么

报童每天要购进多少份报纸才能使收入最大

二、模型分析

如果每天购进的报纸太少 不够卖的 会少赚钱 如果购进太多 卖不完 将要赔钱。因此 存在一个最优的购进量 使得收入最大。因此 应当根据需求来确定购进量。然而每天的需求是随机的 进而每天的收入也是随机的。因此 优化问题的目标函数应是长期日平均收入 等于每天收入的期望。

三、模型假设

1 假设报纸每天的订购价格和出售价格不变

2 假设报童已经通过自己的经验或其他方

式掌握了需求量的分布 设在报童的销售范围内每天报纸需求量为 r 份的概率是 f (r ) 3 假设报纸的需求量不受天气等其它自然环境的影响

四、模型的建立

设每项天购进量为 n 份,因为需求量 r 是随机的,所以 r 可以小于 n,等于 n,或大于 n.

所以报童每天购进 n 份报纸时的平均收入为 G(n), 售出一份赚 a-b 退回一份赔 b-c:

(1)如果这天需求量 r ≤n,则他售出 r 份,退回 n-r 份 . 所以报童这天所得利益为(a-b)r 损失额 为

(b-c)(n-r);

则所进购报纸全部售出即售出

份所以报童这天所得利益为

如果这天需求量

r>n n (a-b)r (2) 。

,

(a-b)n

的概率为 f (r ) 于是得到

又需求量

r

G (n) =

求 n 使 G(n)最大,即所得 n 就为报童最优的订报份数.

通常需求量 r 和购进量 n 都相当大 所以可以将 r 视为连续变量,便于分析和计算.

此时概率 f (r ) 转化为概率密度函数 p (r ), 则上式变成

G (n) =+

对 G (n) 求导得:

=(a-b)np(n) −(a − b)np(n)+

=

令得到

使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足上式.

因为,所以所以上式可表示为:

根据需求量的概率密度函数p(r)的图形可以确定购进量n.在图中

用p1,p2别分表示曲线p(r)下的两部分面积,则

当购进n

份报纸时

p1=

是需求量不超过

n

的概率

,

即卖不完

的概率;p2=是需求量r超过n的概率,所以从上式可以看出,

购进的份数n是卖不完与卖完的概率之比,恰好等于卖出一份赚的钱

a-b与退回一份赔的钱b-c之比.

五、模型的求解

1、若每份报纸的购进价为0.75元售出价为1元退回价为0.6元需求量服从均值500份均方差50份的正态分布报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高最高收入是多少

由题设得

a = 1,

b = 0.75,

c = 0.6 E (r ) = 500, σ r =50 不妨设报纸的需求量服从正态

分。

正态分布的密度函数为

因为

P

r =exp =

解得

n≈516

G (n) =

+

= 117

即报童获得最大收入的进报量为516份最大收入为117元.2、假设已经得到159天报纸需求量的情况如下表

表159天报纸需求量的分布情况

表中需求量在100-119的由3天其余类推。根据这些数据。并假定a=1 b=0.8 c=0.75为报童提供最佳决策。

求解过程

对上表中需求量取均值得到其分布如下

求出此样本的均值及方差、标准差

E(r)=3/159*110+9/159*130+13/159*150+22/159*170+32/159*190+35/159*210+20/159*230

+15/159*250+8/159*270+2/159*290=199.9320

D(r)=E(= 1.4984e+003

S=

= 38.70955

所以a= 1,b = 0.8,c = 0.75 E(r ) = 199.4340,σr = 38.70955

G (n) =

+

令得到n=232

故

G (n)= 37.2

所以报童获得最大收入的进报量为232份最大收入为37.2元

六、模型的结果分析、优化和推广

当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时报童购进的份数就应该越多。这个问题属于随机存储模型由于需求量是随机变量在知道其概率分布的前提下构造利润函数它是随机变量的函数也是随机变量根据期望利润最大确定最佳定货量或最佳存储量。这类问题又成为报童的诀窍或者随机存储策略。

参考文献

[1].姜启源、谢金星数学模型第三版高等教育出版社2003.8

[2]. 谢云荪等数学实验[M] 科学出版社1999.8

[3] 周义仓等数学建模实验[M] 西安交通大学出版社

1999.10.

附件:

求解

下面用

matlab

、

1

1 a=1;b=0.75;c=0.6;

m=500;

s=50; n=norminv((a-

b)/(a-c),m,s)

运行matlab得到结果

>>

n =

515.9320