【常考题】数学高考试题带答案

3 ， M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM，AN 所成角的余弦值等于 ． 3
19．幂函数 y=xα,当 α 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设 点 A(1,0),B(0,1),连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα,y=xβ 的图像三等分,即有 BM=MN=NA,那么,αβ 等于_____.
A． a b ab
B． a b 4
C． a 12 b 12 2
D． a2 b2 8
12．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线 AB 与 CD 的位置关系为 ( )
A．相交 B．平行 C．异面而且垂直 D．异面但不垂直
二、填空题
13．若双曲线 x2 a2
y2 b2
1
a 0,b 0 两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程
【常考题】数学高考试题带答案
一、选择题
1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化
学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是
A．24
B．16
C．8
D．12
2．若 tan 3 ，则 cos2 2sin 2 （
）
4
A． 64
B． 48
C．1
（2）设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ，若点 P 的坐标为 2,1 ，求 PA PB 的最小值.
24．
x 2+t,
在直角坐标系
xOy
中，直线
l1
的参数方程为
y
kt,
（t 为参数），直线 l2 的参数方程为
x 2 m,
m
（m为参数）.设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C．
是___________.
14．在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， c 4 ， a 4 2 sin A ，且 C 为锐
角，则 ABC 面积的最大值为________.
15．函数 y loga (x 1) 1(a 0且a 1) 的图象恒过定点 A，若点 A 在一次函数
【点睛】
本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是
解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．A
解析：A 【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正 确；
两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确； 若 M∈α，M∈β，α∩β=l，则 M∈l，故（3）正确； 空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的 3 条侧棱），故（4）不正 确，
两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成
绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A．乙、丁可以知道自己的成绩
B．乙可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．丁可以知道四人的成绩
11．已知 2a 3b 6 ，则 a ， b 不可能满足的关系是（）
10．A
解析：A 【解析】 【分析】 根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐 一分析可得出结果. 【详解】 因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好， 又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位 良好， 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩， 又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】 本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的 思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.
20．若 4a 5b 100 ，则 2( 1 2) _____________． ab
三、解答题
x 5 3t
21．已知直线 l :{
2 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建
y 31t
2
立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos .
（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；
丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们
四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在
老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
10．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有
综上所述只有一个说法是正确的，
故选 A．
8．A
解析：A 【解析】
由正弦定理可得： sin A a 5 . sin B b 3
本题选择 A 选项.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】 跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一 棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一 棒，不合题意． 【详解】 由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个， 当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C． 【点睛】 本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能 力，是基础题．
所以不同的排课方法的种数是 2 2 4 16 种，故选 B。
【点睛】
本题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻
问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。
2．A
解析：A 【解析】
试题分析：由 tan 3 ，得 sin 3 , cos 4 或 sin 3 , cos 4 ，所以
a b ·a 0 4 33 2 0 1
考点：向量垂直与坐标运算
5．B
解析：B 【解析】
设 z a bi（, a,b R），由 1 i z 2 z （i 2 z） a bi （i 2 a bi），
a bi b （a 2）i
a b
b, a2
b 1 ，故选 B.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据 2a 3b 6 即可得出 a 1 log2 3 ， b 1 log3 2 ，根据 log2 3 log3 2 1 ，
log3 2 log3 2 2 ，即可判断出结果．
【详解】
∵ 2a 3b 6 ； ∴ a log2 6 1 log2 3 ， b log3 6 1 log3 2 ； ∴ a b 2 log2 3 log3 2 4 ， ab 2 log2 3 log3 2 4 ，故 A, B 正确；
4
5
5
5
5
cos2 2sin 2 16 4 12 64 ，故选 A． 25 25 25
【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消 去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间 的联系．
23．（辽宁省葫芦岛市 2018 年二模）直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
x 2 tcos
y
1
tsin
( t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原
点为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 6cos .
（1）求圆 C 的直角坐标方程；
A．2
B．1
C．－2
D．－1
5．已知复数 z 满足 1 i z 2 ，则复数 z 的虚部为（ ）
A．1
B． 1
6．数列 2,5,11,20，x，47...中的 x 等于（
A．28
B．32
C． i
） C．33
D． i D．27
7．下列四个命题中，正确命题的个数为( )
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
6．B
解析：B 【解析】
【分析】
通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是 3 的倍数，由此可求得 x
的值. 【详解】
因为数列的前几项为 2,5,11, 20, x, 47 ，
其中 5 2 13,11 5 23, 20 11 33 ，
可得 x 20 43 ，解得 x 32 ，故选 B.
3．B
解析：B 【解析】
【分析】
求解出集合 M ，根据并集的定义求得结果.
【详解】
M x log2 x 1 0 x 0 x 11 x 1 x 2
M N x x 2
本题正确选项： B 【点睛】 本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
4．D
解析：D 【解析】 【详解】
试题分析： a b , 3 4, 2 4, 3 2 ，由 a b 与 a 垂直可知
（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有 A22 2 种情
况；
（2）将这个整体与英语全排列，有 A22 2 中顺序，排好后，有 3 个空位；
（3）数学课不排第一行，有 2 个空位可选，在剩下的 2 个空位中任选 1 个，
安排物理，有 2 中情况，则数学、物理的安排方法有 22 4 种，
y k ,
（1）写出 C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
l3 : cos sin 2 0 ，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径.
25．如图所示，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E，F 分别为 D1C1 ， C1B1 的中点，
（2）设点 的直角坐标为 (5, 3) ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ， B ，求 MA MB 的值.
22．如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点， AB AD 2 ， CA CB CD BD 2. （1）求证： AO 平面 BCD；
（2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值； （3）求点 E 到平面 ACD 的距离．
a 12 b 12 log2 32 log3 22 2log2 3 log3 2 2 ，故 C 错误； ∵ a2 b2 2 2log2 3 log3 2 log2 32 log3 22
y mx n 的图象上，其中 m, n 0, 则 1 2 的最小值为 mn
16．△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .若 b 6, a 2c, B π ，则△ABC 的面 3
积为__________.
17．已知函数 f (x) x(ln x ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是__________． 18．等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ，二面角 C AB D 的余弦值为
②两条直线一定可以确定一个平面；
③若 M ， M ， l ，则 M l ；
④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．在△ABC 中，a＝5，b＝3，则 sin A：sin B 的值是（ ）
A． 5 3
B． 3 5
C． 3 7
D． 5 7
9．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个 4 100 米接力队，老师要安排他们四人的出场顺
25
25
D． 16 25
3．设集合 M x log2 x 1 0，集合 N x x 2，则 M N （ ）
A．x 2 x 2 B．x x 2
C．x x 2
D．x 1 x 2
4．已知平面向量 a =（1，－3）， b =（4，－2）， a b 与 a 垂直，则 是（ ）
AC BD P ， A1C1 EF Q .求证：
（1） D，B，F，E 四点共面； （2）若 A1C 交平面 DBEF 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线.
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一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】 根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体， 考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有 3 个空位；（3）数学课不排第 一行，有 2 个空位可选，在剩下的 2 个空位中任选 1 个，得数学、物理的安排方法，最后 利用分步计数原理，即可求解。 【详解】 根据题意，可分三步进行分析：