二次函数的图象与性质ppt

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Baidu Nhomakorabea 归纳
• ab<0时对称轴在y轴右侧，ab>0时对称轴在 y轴左侧
（对称轴过函数与x轴的两个交点（0,0） b （ ，0）所连线段的中点，且垂直于x轴， a b 为直线x = ，从而验证了观察图象得出 2a 的a、b符号对对称轴位置的影响.）
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(4)函数 y = ax2+bx+c（a≠0）的图象就是函数 向上（c >0时）或向下（c <0时）平移| c|个 单位得到.
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实施方案二，总结a、b、c对图象的形状和 位置有什么影响？
（1）a的取值对图象的影响：
• a>0开口向上，图象有最低点，函数有最小 值；a<0开口向下，图象有最高点，函数有 最大值。对对称轴、顶点也有影响.
• |a|越大，开口程度越小。
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（2）b的取值对图象的影响： • b的取值不改变开口方向和开口大小； • b对对称轴、顶点的位置有影响。
探究二次函数的图象与性质
北师大实验中学 张蓓
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教学内容
学生情况 教学目标
重点难点 教学目标 教学过程
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一、教学内容
• 这节课是在学完二次函数 的概念，通过类 比一次函数的研究过程，引导学生借助几 何画板经历探索、分析一般二次函数的图 象和性质的过程，感悟新旧知识的关系， 体会数学中的数形结合、类比思想和从一 般到特殊再到一般的方法。
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(1)函数y=ax2（a≠0）的图象是一条抛物线， 以y轴为对称轴，顶点在原点（0,0）.
(结合函数表达式分析为什么图象会是轴对称 图形） ① a决定开口方向和开口大小：
当a > 0时,开口向上；
当a < 0时,开口向下.
开口大小：| a|越大，开口越小.
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②最值： • 当a > 0时，函数有最小值，且
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二、学生情况
• 前面学生已经学习过了一次函数和二次 函数 的概念，对研究函数的基本方法 都有一定的认识，会用几何画板画一次 函数y =kx+b(k≠0)的图象。大部分学生 对二次函数的概念能熟练掌握，但如何 自主研究二次函数 是难点，授课进度 不能过快，探索问题时需要给学生足够 的时间。
三、教学目标
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（3）c的取值对图象的影响： • c不改变开口方向和开口程度；
• c不改变对称轴的位置，但会改变顶点的位 置； • c增大时图象向上平移，c减小时图象向下 平移（对最值有影响）； • 图象与y轴交于点(0,c)。
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a确定 开口方向和开口大小. 对称轴位置： a、 b a，b同号 对称轴在y轴左侧； 共同 a，b异号 对称轴在y轴右侧； 确定 2 y ax c 对称轴是y轴. b=0
当x＝0时，ymin＝0；
• 当a < 0时，函数有最大值，且 当x＝0时，ymax＝0；
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③增减性： • 当a>0，若x≤0时，y随x增大而减小
若x≥0时，y随x增大而增大
• 当a<0，若x≤0时，y随x增大而增大 若x≥0时，y随x增大而减小
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(2) 函数y = ax2+c（a≠0）的图象是一条抛物 线，可以由函数y = ax2（a≠0）的图象向上 （c > 0时）或向下（c < 0时）平移| c|个单 位得到. 以y轴为对称轴，顶点在原点（0,c）
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设计方案
方案一： 仿照一次函数的研究方法，从特殊形式的二次 函数入手，如：b=0,y=ax2+c(a≠0)，或c=0， y=ax2+bx(a≠0)或b=c=0,y=ax2(a≠0)，从形式上 进行对比，按照 特殊→一般，简单→复杂 思 路整理出研究顺序: (1)令b=c=0,研究y=ax2(a≠0)， (2)令b=0,研究y=ax2+c(a≠0)， (3)令c=0，研究y=ax2+bx(a≠0)， (4)研究 y=ax2+bx+c(a≠0)
• 会用几何画板研究二次函数性质
• 经历探索二次函数 图象性质的过程， 培养学生观察、思考、归纳的良好思维 习惯
四、教学重点与难点:
• 重点：二次函数 的图象和性质 • 难点：利用几何画板，数形结合，探 讨二次函数 的图象和性质
五、教学过程
1、回顾研究一次函数的基本方法
概念→图象→性质→应用性质
2、研究一次函数y = kx+b(k≠0)图象及性 质时是怎样的思路？ 令b=0，特殊的一次函数即正比例函 数→b≠0的一次函数 ，可以通过正比 例函数上下平移或左右平移得到. 即 特殊→一般，简单→复杂
复习
3. 用几何画板回顾研究一次函数的过程
(1)先研究y=kx(k≠0) （特殊化 b=0） 通过改变k值观察图象，得出k对正比 例函数的影响是改变直线的倾斜程度。 (2)一般化到y=kx+b(k≠0) 固定k值，改变b值观察直线的变化 ， 固定b值，改变k值观察直线的变化。
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设计方案
方案二 用几何画板画出 y=ax2+bx+c(a≠0)图象
（1）固定系数a,b, 让c改变，观察c对函数的 图象的影响 （2）固定系数a,c, 让b改变，观察b对函数的 图象的影响 （3）固定系数b,c, 让a改变，观察a对函数的 图象的影响
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动手操作 观察 探究
学生在计算机上操作方案一，写出探 究结果并展示
提出问题
(一)对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，你打算 如何研究？
整理学生提出的问题,引出研究重点：
• 问题1 二次函数的图象是什么形状？
• 问题2 由二次函数图象得出二次函数的性 质有哪些？ • 问题3 a、b、c对图象的形状和位置有什么 影响？
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提出问题
（二）针对以上问题，对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，你打算如何研究它的图 象和性质?
与y轴交点位置： c>0 与y轴交点在y轴正半轴； c确定 c<0 与y轴交点在y轴负半轴； 2 y ax bx 抛物线过原点. c=0
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谢谢各位
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(3) 函数 y = ax2+bx（a≠0） • b≠0时，图象是一条抛物线，图象可以由函 数y=ax2（a≠0）的图象平移得到（如何平 移，下节课再讨论）,对称轴不再是y轴，顶 点在也发生变化，但函数图象过原点，图 象和x轴有两个交点，交点坐标是什么？ b (结合函数与方程的关系（0,0）（ a ，0）)