高三数学坐标系与参数方程(较适合文科生)

高三数学坐标系与参数方程(较适合文科
生)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三数学 坐标系与参数方程
（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

（2）了解坐标系的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。

（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程。

（4）了解参数方程，了解参数的意义。

（5）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。

1. 极坐标系
①极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。

极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。

②平面直角坐标与极坐标的区别：
在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。

③极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。

④如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

2.极坐标与直角坐标的互化：
（1）互化的前提：
①极点与直角坐标的原点重合；极轴与x 轴的正方向重合；③ 两种坐标系中取相同的长度单位。

（2）互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ， ⎪⎩
⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ 注：极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘ρ,使之出现ρ2是常用的方法. 1． 已知点的极坐标分别为)4,3(π-A ，)32,2(πB ，),23(πC ，)2
,4(π-D ，求它们的直角坐标。

答案：A （323222- 3(3)((0,4)B C D -- 2、已知点的直角坐标分别为)32,2(),35,0(),3,3(-
--
C B A ，求它们的极坐标。

θx
M
答案：
34
))(4,).
623
A B C
πππ
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）
1．把方程1
xy=化为以t参数的参数方程是（）
A．
1
2
1
2
x t
y t-
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
B．
sin
1
sin
x t
y
t
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
C．
cos
1
cos
x t
y
t
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
D．
tan
1
tan
x t
y
t
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
2．曲线
25
()
12
x t
t
y t
=-+
⎧
⎨
=-
⎩
为参数与坐标轴的交点是（）
A．21
(0,)(,0)
52
、 B．
11
(0,)(,0)
52
、 C．(0,4)(8,0)
-、 D．
5
(0,)(8,0)
9
、
3．直线
12
()
2
x t
t
y t
=+
⎧
⎨
=+
⎩
为参数被圆229
x y
+=截得的弦长为（）
A．12
5
B
D
4．若点(3,)
P m在以点F为焦点的抛物线24()
4
x t
t
y t
⎧=
⎨
=
⎩
为参数上，则PF等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．极坐标方程cos20
ρθ=表示的曲线为（）
A．极点 B．极轴 C．一条直线 D．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆4sin
ρθ
=相切的一条直线的方程为（）
A．cos2
ρθ= B．sin2
ρθ= C．4sin()
3
π
ρθ
=+ D．4sin()
3
π
ρθ
=-
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
1．已知曲线
2
2
()
2
x pt
t p
y pt
⎧=
⎨
=
⎩
为参数,为正常数上的两点,
M N对应的参数分别为
12,
t t
和，
12
t t+=
且，那么MN= 。

2
．直线
2
()
3
x
t
y
⎧=-
⎪
⎨
=+
⎪⎩
为参数上与点(2,3)
A-
的点的坐标是。

3．圆的参数方程为
3sin4cos
()
4sin3cos
x
y
θθ
θ
θθ
=+
⎧
⎨
=-
⎩
为参数，则此圆的半径为。

4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为 。

5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨
=⎩与圆42cos 2sin x y αα
=+⎧⎨=⎩相切，则θ= 。

高三数学 坐标系与参数方程参考答案
一、选择题
1．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制
2．B 当0x =时，25t =
，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5； 当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1(,0)2
3．
B 11221x x t y t y ⎧=+⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=
12125t t -===
12t -=4．C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4
5．D cos 20,cos 20,4k πρθθθπ===±
，为两条相交直线 6．A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x =
圆22
(2)4x y +-=与直线2x =显然相切 二、填空题
1．14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴。

即x 轴，121222MN p t t p t =-=
2．(3,4)-,或(1,2)-
22221()),,22
t t +===±
3．5 由3sin 4cos 4sin 3cos x y θθθθ
=+⎧⎨=-⎩得2225x y +=
4 圆心分别为1(,0)2和1(0,)2
5．6
π，或56π 直线为tan y x θ=，圆为22(4)4x y -+=，作出图形，相切时， 易知倾斜角为6
π，或56π
三、解答题
1．已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）。

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π
=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线
332,:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩
（t 为参数）距离的最小值。

答案解解析：（Ⅰ）22
22
12:(4)(3)1,: 1.649x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是（4,3)-，半径是1的圆.
2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ）当2t π
=时，3(4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2
P Q M θθθθ--++故
3C 为直线3270,|4cos 3sin 13|.x y M C d θθ--==--到的距离
从而当43cos ,sin 55
θθ==-时，d。