江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学(文)(带答案)
2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试 数学(文)
2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试数学（文）一、选择题（共12小题，每小题5分）x，x＞2}，B={x|y=}，则（）1．设全集I=R，集合A={y|y=log2B）≠A．A⊆B B．A∪B=A C．A∩B=D．A∩（I2.若集合,集合,则等于( )A. B. C. D.3.集合，则（）A.{1,5,6}B.{ 1,4,5,6}C.{2,3,4}D. {1,6}4.若不等式的解集是，则的值是（）A．10 B．-14 C．14 D．-105.下列结论正确的是（）A．当且时，B．当时，C．当时，的最小值为2D．当时，无最大值6.已知定义在（-1，1）上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)=1+cosx，如果f(1-a)+f(1-a2)＜0，则实数a的取值范围为（）A.（0，1）B.（1，）C.（-2，）D.（1，）∪（，-1）7.若函数f（x）=的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为（）A.（-2，2）B.（-∞，-2）∪（2，+∞）C.（-∞，-2]∪[2，+∞）D.[-2，2]8.函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集为（）A．B．C．D．9.已知函数,若关于x的不等式恰有1个整数解,则实数a的最大值是( )A. 2B. 3C. 5D. 810.已知函数，设关于的不等式的解集为A，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11.已知点M在平面ABC内，且对空间任意一点O，，则的最小值为（）A．B．C．D．12．设x∈R，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有（e是自然对数的底数），则的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3二、填空题（共4小题，每小题5分）13．已知函数y=f（x+1）定义域是{x|﹣2≤x≤3}，则y=f（2|x|﹣1）的定义域是．14．设函数在区间[m，n]上的值域是[﹣6，2]，则m+n的取值的范围是15．已知的最小值是．16.已知函数，若对任意，存在，使，实数a的取值范围2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试数学（文）答题卡一、选择题（每小题5分，共60分）13、 14、15、 16、三、解答题（共70分）17.已知集合。
江西省南昌市2020届高三第一次模拟测试文科数学试题(含答案)
3
2
32
6
所以 BC
2
sin A
2
2
3
；
BA 3 sin C 3 3
………5 分
（Ⅱ） 1 BC BD sin 2 2 1 BA BD sin ，
2
2
所以 4 2 sin cos 2 2 2 sin cos
2
，
2
所以 ， ABC 3 3 ，
4
4
………8 分 ………10 分
所以 AC2 16 8 2 4 2 2 ( 2 ) 40 ，所以边 AC 2 10 . 2
f (0) m ln(1 m) ，（ 0 m 1），由②构造的函数知， f (0) m ln(1 m) 0 ，
则 f (x) 只有一个零点，符合题意.
综上所述， m 1时，函数 f (x) 有且只有一个零点.
………12 分
21.【解析】（Ⅰ）由题意知 a1 2 ， a2 4 ， b2 b12 ，
增, f (0) m ln(1 m) ，令 g(m) m ln(1 m) ，（ m 0 ），
显然 g(m) 单调递减，有 g(m) g(0) 0 ，即 f (0) 0 ，
则 f (x) 只有一个零点，符合题意；
………9 分
③当 0 m 1 时， f (x) 在 (, 0) 单调递增，在 (0, 2m) 单调递减，在 (2m, ) 单调递增，
NCS20200607 项目第一次模拟测试卷
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
题号1
2
3
4
5
6
江西省南昌市2020届高三上学期摸底调研考试(文数试题)
江西省南昌市2020届高三上学期摸底调研考试数学（文科）本试卷共4页，23小题，满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合3{|0},{|2}1x M x N x y x x -=≥==--，则()M N =RA. (1,2]B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3] 2．复数z 满足1i1i z+=-，则||z = A.2i B.2 C.i D.1 3．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4．如图是某光纤电缆的截面图，其构成为七个大小相同的小圆 外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，恰好 在小圆内的概率为 A.79 B.78C.2π7D.7π275．已知一组样本数据点11223366(,),(,),(,),,(,)x y x y x y x y ，用最小二乘法求得其线性回归方程为24y x =-+.若1236,,,,x x x x 的平均数为1，则1236y y y y ++++=A.10B.12C.13D.14 6．公比不为1的等比数列{}n a 中，若15m n a a a a =，则mn 不可能．．．为 A.5 B.6 C.8 D.97．已知二元一次不等式组20,20220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，命题p ：点(0,1)在区域D 内；命题q ：点(1,1)在区域D 内. 则下列命题中，真命题是A.p q ∧B.()p q ∧⌝C.()p q ⌝∧D.()()p q ⌝∧⌝ 8．已知ABC ∆中，4,3AB AC ==，3A π∠=，BC 的中点为M ，则AM AB ⋅等于A.152B.11C.12D.15 9．已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是B.53C.52 10．已知正实数,a b 满足21()log 2a a =，21()log 3bb =，则A.1a b <<B.1b a <<C.1b a <<D.1a b <<11．自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制．二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数与十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如10(521)=987612020202⨯+⨯+⨯+⨯543210020212020212+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2(1000001001)．我国数学史上，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：88(77)(61)⨯=，88(76)(52)⨯=，88(75)(43)⨯=，，则八进制下8(65)⨯等于 A. 8(36) B. 8(37) C. 8(40) D. 8(41)12．若函数()(1)e xf x x ax =--（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是 A.1(,0)e - B.(,0)-∞ C.1(,)e-+∞ D.(0,)+∞二．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分. 13．已知1sin 5θ=，则cos2θ等于 ．14．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()0f x f x --=，(0)f =则(10)f 等于 ． 15．已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，33-=n n S a ，若对于任意M S S N n m n m ≤-∈+,,恒成立，则实数M 的最小值为_______．三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17．(12分)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的所对边分别为,,a b c ，其中c =，2sin(2)3C π-=（Ⅰ）若a =A ；B 1（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值．18．(12分)如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AB AC AA ===，E 是BC 的中点，F 是1A E 上一点，且12A F FE =. （Ⅰ）证明：AF ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求三棱锥11C A FC -的体积．19．(12分)某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金、专业二等奖学金及专业三等奖学金，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图．图2图1（Ⅰ）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；（Ⅱ）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列22⨯联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,0Q F -，动点P 满足||||PQ OF PF ⋅=. （Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线与E 交于,A B 两点，记直线,QA QB 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k +为定值．21．(12分)已知函数()e xf x x a =-（R a ∈，e 为自然对数的底数），21()(1)2g x x =+． （Ⅰ）若直线1y x =-是函数()f x 图像的一条切线，求a 的值； （Ⅱ）对于任意3(,)2x ∈-+∞，()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB+的值．23．[选修4—5：不等式选讲] (10分)已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a+=-+->，()4|1|g x x =-+． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，求a 的取值集合．。
2020届江西省南昌市高三第一次模拟测试试题 文数
2020届江西省南昌市高三第一次模拟测试试题文 数一、选择题1.已知集合{0,1,2}A =，{|}B x N A =∈，则B =（ ） A.{0} B.{0,2}C.1{0,,2}2D.{0,2,4} 答案： B解析：0=，则0x =；1=，则12x =（舍去）；2=，则2x =，故{0,2}B =.2.在复平面内，复数1z =对应的点为Z ，将向量OZ uuu r 绕原点O 按逆时针方向旋转23π，所得向量对应的复数是（ ）A.122i -+B.12i +C.12--D.12i 答案： A解答：∵在复平面内，复数1z =，∴(1,0)z .将向量OZ uuu r 绕原点O 按逆时针方向旋转23π后点的坐标为1(2-，∴对应复数为122-+. 3.一个正三棱柱的正视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A.16B.12C.8D.6 答案： B解析：由题意可知，正三棱柱的底面边长为2，高为2，∴侧面积32212S =⨯⨯=.4.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”，在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：===规律，若=m ，n 满足的关系式为（ ） A.21n m =- B.2(1)n m =- C.2(1)n m =- D.21n m =- 答案：D解析：当2m =，2n =时，满足21n m =-；3m =，8n =时，满足21n m =-；当4m =，15n =时，也满足21n m =-.故选D5.已知{}n a 是等差数列，且344a a +=-，788a a +=-，则这个数列前10项和等于（ ） A.16-B.30-C.32-D.60- 答案： B 解答：∵344a a +=-，788a a +=-， ∴347812a a a a +++=-，∴由等差数列的性质可得386a a +=-， ∴110381*********a a a aS ++=⨯=⨯=-. 6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，抛物线上一点的M 的纵坐标0y ，则02y >是||2MF >的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案： A解析：设00(,)M x y 由抛物线定义可得200114y MF x =+=+，当02y >时，20124y +>，满足充分性，当2124y +>时，解得02y >或02y <-，不满足必要性，∴是充分不必要条件. 7.2013年至2019年我国二氧化硫的排放量（单位：万吨）如下表，则以下结论中错误的是（ ）A.二氧化硫排放量逐年下降B.2018年二氧化硫减排效果最为显著C.2017年至2018年二氧化硫减排量比2013年至2016年二氧化硫减排量的总和大D.2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所增加 答案：D解析：2018年减排量为1859.11102.86756.24-=，2019减排量为1102.861014.688.26-=，故选D.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过原点OC 的右支于点A ，若||||OA OF =，则双曲线的离心率为（ ）C.21 答案： D 解答：显然OAF ∆为等边三角形，设(0,0)O ，(2,0)F，则A ，2c =，代入曲线方程可解得2b =24a =-，∴1a =，∴1c e a ===. 9.函数cos 1ln(),1(),1x x x f x xe x π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A.B.C.D.答案： A解析：当1x >时，1()ln()f x x x =-，此时令1t x x =-，2110t x'=+>，∴()f x 在(1,)+∞上单调递增，故排除B ，C ，当1x ≤时，cos ()xf x eπ=，当(0,1)x ∈时，cos cos ()(cos )0x x f x e e πππ'=⋅=-<，∴()f x 在(0,1)上单调递减，且cos ()0x f x e π=>，故排除D ，综上所述，选A.10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法），撞球（中国台湾地区的叫法），控制撞球点，球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若30AE cm =，40EF cm =，30FC cm =，60AEF CFE ∠=∠=︒，则该正方形的边长为（ ）A.40cmB.C.D.答案： D解析：∵60AEF CFE ∠=∠=︒，∴//AE CF ，又∵AE CF =，∴四边形AECF 为平行四边形，连接AC 交EF 于点O ，则O 为线段EF 和AC 的中点，在AOE ∆中，2222212cos 3020230202AO AE EO AE OE AEO =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯900400600700=+-=，∴AO =，AC =，∴边长为=. 11.已知0x y >>，1x ≠，1y ≠，则（ ） A.(,0)aax y a R a >∈≠B.x ye e y x> C.yxx y > D.1132x y -->答案： B解答：∵0x y >>，∴xye e >，∴x ye e y x>，故选项B 正确. 12.如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点F ，M 分别在线段AC ，1BD （不包含端点）上运动，则（ ）A.在点F 的运动过程中，存在1//EF BCB.在点M 的运动过程中，不存在1B M AE ⊥C.四面体EMAC 的体积为定值D.四面体11FA C B 的体积不为定值 答案：C解答：在长方体1111ABCD A B C D -中，平面11//A BC 平面1D AC ，又因为点F 在AC 上运动，则不存在1//EF BC ；当11B M BD ⊥时，1B M AE ⊥，其理由如下：设AC 与BD 相交于点O ，因为11B M BD ⊥，所以1B M OE ⊥，易证AC ⊥平面11BDD B ，所以1AC B M ⊥，故1B M ⊥平面EAC ，∴1B M AE ⊥；因为1//BD 平面EAC ，所以M EAC V -为定值；因为11//A C AC ，所以点F 到平面11A C B 的距离为定值，所以四面体11FA C B 的体积为定值. 二、填空题13.已知向量b =r ，向量a r 在b r 方向上的投影为12，则a b ⋅=r r .答案：1解答：∵b =r ，∴||2b ==r.又向量a r 在b r 方向上的投影为12，故1||cos ,2a ab 〈〉=r r r ，故1||||cos ,212a b a b a b ⋅=⋅〈〉=⨯=r r r r r r .14.已知函数31()f x x x =-，则1(lg 2)(lg )2f f ''-= .答案：解答：由题意可知，221()3f x x x'=+， 故1(lg 2)(lg )(lg 2)(lg 2)2f f f f ''''-=--2222113(lg 2)3(lg 2)(lg 2)(lg 2)=+---- 0=.15.已知1sin()43x π+=，则5cos()4x π-= . 答案：13- 解答： 由题意可知5cos()cos()cos[()]4424x x x ππππ-=--=--+ 1sin()43x π=-+=-.16.如图，一列圆222:()(0,0)n n n n n C x y a r a r +-=>>逐个外切，且所有的圆均与直线y =±相切，若11r =，则1a = ；n r = .答案： 312n -解答：由已知，11(0,)C a 到直线y =±的距离为1，故113a =，即13a =.111||n n n n n n C C a a r r +++=-=+，且n C 到直线y =±的距离为3n a，故3n n ar =，即3n n a r =，从而111332n n n n n n r r r r r r +++-=+⇒=，即{}n r 是以1为首项，2为公比的等比数列，从而12n n r -=.三、解答题17.如图，D 是在ABC ∆边AC 上的一点，BCD ∆与ABD ∆面积比为2， 22CBD ABD θ∠=∠=.（1）若6πθ=，求sin sin AC的值；（2）若4BC =，AB =AC 的长. 答案： 见解析. 解答：（1）23CBD ABD π∠=∠=，所以11sin 2sin 2326BC BD BA BD ππ⋅=⨯⋅，所以sinsin 3BC A BA C =⇒==. （2）11sin 22sin 22BC BD BA BD θθ⋅=⨯⋅，所以42sin cos 2cos θθθθ⨯=⨯⇒= 所以4πθ=，334ABC πθ∠==，所以216824(40AC =+-⨯⨯=，所以边AC =18.如图，三棱柱111ABC A B C -中， 1A BCB -是棱长为2的正四面体. （1）求证：1AC CC ⊥： （2）求三棱锥1B ACC -的体积.答案：（1）见解析；（2）3. 解答：（1）如图，取1BB 的中点E ，连接CE 交1BC 于点O ，则点O 为1BCB ∆的重心，连接AO ，设1BC 交1B C 于点F ，依题意点A 在底面的投影为1BCB ∆的重心，即AO ⊥平面11BCC B ，所以1AO BB ⊥，因为1BCB ∆是正三角形，所以1CE BB ⊥，则1BB ⊥平面AEC ，则1BB AC ⊥，所以1CC AC ⊥.（2）由1A BCB -是棱长为2的正四面体，所以22,3CO CE AC AO =====，所以112,120BC CC BCC ==∠=︒，得11111sin 2222BCC S BC CC BCC ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=111333B ACC A BCC V V --===19.某市2013年至2019年新能源汽车y （单位：百台）的数据如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该市2021年新能源汽车台数；（2）该市某公司计划投资600台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩，按要求，充电枪的总把数不少于该市2021年新能源汽车预测台数，若双同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为25元，10元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大利润.77211(140,364)i i i i i x x y ====∑∑.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynxybay bx xnx ==-==--∑∑ 答案： 见解析 解答：（1）依题意知123456747x ++++++==，58810141517117y ++++++==，77211140,364i i i i i x x y ====∑∑，71722173647411ˆ21407167i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，11243a y bx =-=-⨯=，则y 关于x 的线性回归方程23y x =+.令9x =得ˆ29321y=⨯+=， 故预测2021年该市新能源汽车大约有2100台.（2）设一拖四群充，双枪同充分别安装m 台，600m -台， 每天的利润为z 元，则42(600)2100m m +-≥，即450m ≥，4050(600)300001030000450025500z m m m =+-=-≤-=.所以当450m =时，z 取最大值25500.故当双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时， 每天的利润最大，最大利润为25500元.20.已知函数32()ln(1)()3x f x mx m m m R =--+-∈. （1）当12m =时，求()f x 的极值； （2）当1m <时，证明：函数()f x 有且只有一个零点. 答案： 见解析 解答：（1）当12m =时，32111()ln 3222x f x x =--+，∴2()f x x x '=-，则()f x 在(,0)-∞递增，在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，所以1()(0)ln 22f x f ==--极大值，2()(1)ln 23f x f ==--极小值.（2）2()2(2)f x x mx x x m '=-=-.①当0m =时，2()0f x x '=≥，3()3x f x =只有一个零点0，符合题意；②当0m <时，()f x 在(,2)m -∞单调递增，在(2,0)m 单调递减，在(0,)+∞单调递增，极小值(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)g m m m =-+-，则()g m 单调递减， 有()(0)0g m g >=，即(0)0f >，则()f x 只有一个零点，符合题意；③当01m <<时，()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,2)m 单调递减，在(2,)m +∞单调递增，极大值(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)h m m m =-+-，则()h m 单调递减， 有()(0)0h m h <=，则()f x 只有一个零点，符合题意. 综上所述，1m <时，函数()f x 有且只有一个零点.21.定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆1E ，2E ，它们的长短半轴长分别为1a ，1b 和2a ，2b ，若满足21ka a =，21kb b =，则称2E 为1E 的k 级相似椭圆.已知椭圆1E ：222114x y b +=，2E 为1E 的2级相似椭圆，且焦点共轴，1E 与2E 的离心率之比为2. （1）求2E 的方程；（2）已知P 为2E 上任意一点，过点P 作1E 的两条切线，切点分别为A ，B ，是否存在一定点到直线AB 的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；不存在，说明理由. 答案： 见解析 解答：（1）由题意知12a =，24a =，221b b =，则22211112144a b b e a --==，2222222221616a b b e a --==，而22112422114(4)4416447e b e b b -===-+，解得213b =，23b =， 故椭圆1E ：22143x y +=，椭圆2E ：221169x y +=.（2）（解法一）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过点A 和点B 的切线方程为11143x x y y +=，22143x x y y+=，设00(,)P x y ，则22001169x y +=，即2200916144x y +=，两条切线都经过点P ，则满足方程组10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，那么点A 和点B 都在直线00143x y x y +=上，则直线AB 的方程为00143x yx y +=，即003412x x y y +=，假设存在一定点(,)C C C x y 到直线AB 的距离为定值，即距离00341212C C x x y y d ⋅+⋅-==为定值，则0C C x y ==，1d =，故存在一定点(0,0)C 到直线AB 的距离为定值1. （解法二）设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则过点A 和点B 的切线方程为11143x x y y +=，22143x x y y+=，设00(,)P x y ，则22001169x y +=.两条切线都经过点P ，则满足方程组01102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩.那么点A 和点B 都在直线00143x y x y +=上，则直线AB 的方程为00143x yx y +=. 设04cos x θ=，03sin y θ=，则直线AB 的方程为cos sin 1x y θθ⋅+⋅=.假设存在一定点(,)C C C x y 到直线AB的距离为定值，即距离d =cos sin 1)1C C x y θθθϕ=⋅+⋅-=+-为定值，即220C C x y +=，所以0C C x y ==，故存在一定点(0,0)C 到直线AB 的距离为定值1.四、选做题（2选1）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，曲线2C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）设射线(0)6πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求AB 的值.答案： 见解析 解答：（1）曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=，2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-=.（2）令(0)6πθρ=>，则1(,)6A πρ，2(,)6B πρ， 则2222222cos 3sin 6066ππρρ+-=，即22924ρ=，所以23OB ρ==，12cos 6OA πρ===，故3AB OA OB =-=. 23.已知0a >，0b >，2a b +=.（1）求111a b ++的最小值； （2）证明2a b b a ab+≥.答案： 见解析 解答： （1）11111114()[(1)]2131313b a a b ab a b a b ++=+++=++≥+++（），当且仅当21a b a b +=⎧⎨=+⎩，即32a =，12b =时，111a b ++的最小值为43. （2）要证明2a b b a ab+≥，由0a >，0b >，也即证222a b +≥.因为2a b +≤a b =1≥，即222a b +≥.。
江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学(文)试题 含解析
C. (2, 3]
）
D. [2, 3]
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分式不等式的解法和函数的定义域，求得集合 M {x | x 1 或 x 3} ， N {x | x 2} ，
再利用集合的运算，即可求解。
【详解】由题意，集合
M {x | x 3 0} {x | x 1 x 1
7
A.
9
【答案】A
7
B.
8
2π
C.
7
7π
D.
27
【解析】
【分析】
设小圆的半径为 r ，根据图形可得，大圆的半径为 R 3r ，分别求得大圆和七个小圆的面积
的和，利用面积比的几何概型，即可求解。
【详解】由题意，设小圆的半径为 r ，根据图形可得，大圆的半径为 R 3r ，
则大圆的面积为 S R2 (3r 2 ) 9 r 2 ，
解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
6.公比不为1 的等比数列{an} 中，若 a1a5 aman ，则 mn 不．可．能．为（ ）
A. 5
【答案】B
B. 6
C. 8
D. 9
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，得到 m n 1 5 6 ，且 m, n N ，即可求解，得到答案。
或
x 3}
，
N {x | y 2 x} {x | x 2}，
则 CRM {x |1 x 3} ，所以 CRM N {x |1 x 2} [1, 2] ，
故选 B。
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中利用分式不等式的解法和函数的定义
域求得集合 M , N 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2019年9月江西省南昌市普通高中2020届高三上学期开学摸底调研考试(零模)数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前江西省南昌市普通高中2020届高三年级上学期开学摸底调研考试(零模)数学(文)试题(解析版)2019年9月本试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{3=0,=1x M xN x y x -⎧⎫>=⎨⎬-⎩⎭，则()R C M N =I （ ） A. (]1,2B. []1,2C. (]2,3D. []2,3 【答案】B【解析】【分析】根据求解分式不等式和二次根式的定义域得,M N 集合，再运用集合的补集和交集运算求解.【详解】由已知得()()(],13,,,2M N =-∞⋃+∞=-∞,[]1,3R C M =,所以()R C M N =I []1,2,故选B.【点睛】本题考查集合的补集和交集运算,属于基础题.2.复数z 满足1i 1i z +=-,则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则,求得复数z i =,即可得到复数的模,得到答案。
【详解】由题意,复数11i i z+=-,解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+,所以1z =,故选D 。
【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的模的求解,其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。
2020年江西南昌高三一模数学试卷(文科)
2020年江西南昌高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.己知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）．A. B. C. D.3.一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）．A. B. C. D.4.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”．在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则，满足的关系式为（ ）．A.B.C.D.5.已知是等差数列，且，，则这个数列的前项和等于（ ）．A.B.C.D.6.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的的纵坐标，则是的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.年至年我国二氧化硫的年排放量（单位：万吨）如下表，则以下结论中错误的是（ ）．年份排放量A.二氧化硫排放量逐年下降B.年二氧化硫减排效果最为显著C.年至年二氧化硫减排量比年至年二氧化硫减排量的总和大D.年二氧化硫减排量比年二氧化硫减排量有所增加8.已知双曲线的右焦点为，过原点作斜率为的直线交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.9.函数的图象大致是（ ）．，A.B.C.D.10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点，处各放一个目标球，表演者先将母球放在点处，通过击打母球，使其依次撞击点，处的目标球，最后停在点处，若，，则该正方形的边长为（ ）．A.B.C.D.11.已知，，，则（ ）．A.B.C.D.12.如图，点是正方体的棱的中点，点，分别在线段，（不包含端点）上运动，则（ ）．A.在点的运动过程中，存在B.在点的运动过程中，不存在C.四面体的体积为定值D.四面体的体积不为定值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，且在方向上的投影为，则等于 ．14.已知函数，则．15.己知， 则．16.如图，一列圆逐个外切，且所有的圆均与直线相切，若，则 ，.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，是在边上的一点，面积是面积的倍，．若，求的值．若，，求边的长．（1）18.如图，三棱柱中，是棱长为的正四面体．求证：．（2）求三棱锥的体积．（1）（2）19.某市年至年新能源汽车（单位：百台）的数据如下表：年份年份代号新能源汽车求关于的线性回归方程，并预测该市年新能源汽车台数．该市某公司计划投资台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩．按要求，充电枪的总把数不少于该市年新能源汽车预测台数，若双枪同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为元，元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大日利润．（，）．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．（1）（2）20.已知函数，，（）．当时，求的极值．证明：函数有且只有一个零点．（1）12（2）21.定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆，，它们的长短半轴长分别为，和，，若满足，，则称为的级相似椭圆，己知椭圆，为的级相似椭圆，且焦点共轴，与的离心率之比为．求的方程．已知为上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为、．证明：在处的切线方程为．是否存在一定点到直线的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）【答案】解析:由题可知：，，当时，则，符合当时，则，不符合当时，则，符合所以．故选．解析:∵，∴，∴，，设旋转后复数对应点，∴，，∴对应的复数为．故选．（1）（2）22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为，（为参数）．求曲线和的极坐标方程．设射线分别与曲线和相交于，两点，求的值．（1）（2）23.已知，，．求的最小值．证明：．B1.D2.解析:作出正三棱柱的图形，如图所示，则由正三棱柱的正视图可知，，，所以正三棱柱的侧面积为：．故选．解析:由题意可得，，，，∴观察得，故选项．解析:由题可知：数列是等差数列且，，则，又，，所以，B 3.D 4.B 5.由，且，所以．故选．解析:由题可知：，设，由点的纵坐标，则其横坐标，由，所以，可知是的充分条件，若，则，则或，所以不是的必要条件，故是的充分不必要条件．故选．解析:由图表可知，以下结论，对于项，二氧化硫排放量逐年下降，故正确；对于项，年减排量为，减排效果最显著，故项正确；对于项，至年二氧化硫减排量为大于年至年二氧化硫减排量为，故项正确；对于项，年二氧化硫减排量，小于年二氧化硫减排量，故项错误；由题意可知，选项．解析:∵过原点作斜率为的直线交的右支于点，∴的直线方程为，A 6.D 7.B 8.设，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又点在双曲线上，∴，又，∴化简可得，∴，∴，∴或（舍），∴．故选：．解析:∵，∴，，故排除，，∵，，∴，故排除．故选．解析:由题可知：，所以，由，A 9.，，D 10.则，，，，所以，则，所以．故选：．解析:由已知得，由在方向上的投影为，得，则．故答案为：．解析:由题可知：函数的定义域为，由，可知，∴是偶函数，且，又∵，则有．故答案为：．B 11.C 12.13.14.（1）（2）解析:，即．故答案为：．解析:设第个圆心为，半径为，且与的切点为，则直线的斜率为，所以①，又②，由①②可知：③，所以当时，则，又④，由③-④可知：，又，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故答案为：，．解析:，所以，所以．，所以，15. ;16.（1）．（2）．17.（1）（2）（1）所以，，所以，所以边．解析:如图，取的中点，连接交于点，则点为的重心，连接，设交于点．依题意点在底面的投影为的重心，即平面，所以，因为是正三角形，所，则 平面，则，所以．由是棱长为的正四面体，所，，，因为，，得，所以．解析:依题意知，，，，（1）证明见解析．（2）．18.（1）关于的线性回归方程，预测年该市新能源汽车大约有台．（2）当双枪同充安装台，一拖四群充安装台时，每天的利润最大，最大利润为元．19.（2）（1）（2），，则关于的线性回归方程，令得：，故预测年该市新能源汽车大约有台．设一拖四群充，双枪同充分别安装台，台，每天的利润为元，则，即，，所以当时，取最大值．故当双枪同充安装台，一拖四群充安装台时，每天的利润最大，最大利润为元．解析:，，则在递增，在递减，在上递增，所以，．，①当时，，只有一个零点，符合题意．②当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，，令，（），显然单调递减，有，即，则只有一个零点，符合题意．（1），．（2）证明见解析．20.极大值极小值极大值极小值（1）12（2）③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，（），由②构造函数知，，则只有一个零点，符合题意．综上所述，时，函数有且只有一个零点．解析:由题意知，，，则，，而，解得，，故椭圆，椭圆．联立椭圆与直线方程，，点在椭圆上，有，所以，即直线与椭圆相切，所以过点的切线方程为．由①知，过点的切线方程为，设，则，即，两条切线都经过点，则满足方程组，那么点和点都在直线上，（1）．12（2）证明见解析．存在一定点到直线的距离为定值．21.（1）（2）（1）（2）则直线的方程为，即，假设存在一定点到直线的距离为定值，即距离为定值，则，，故存在一定点到直线的距离为定值．解析:曲线的极坐标方程为，的极坐标方程为．令，则，，则，即，∴，，故．解析:，当且仅当，即，时，的最小值为．要证明，（1），．（2）．22.（1）．（2）证明见解析．23.由，，也即证．因为，所以当且仅当时，有，即，当时等号成立．。
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2020届高三摸底测试卷
文科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合
3
{|0},{|2}
1
x
M x N x y x
x
-
=≥==-
-
，则()
M N
R
I
ð＝
A.(1，2]
B.[1，2]
C. (2，3]
D.[2，3]
2.复数z满足1i
1i
z
+
=-，则||z=
A.2i
B.2
C.i
D.1
3.已知平面α内一条直线l及平面β，则“l⊥β”是“α⊥β”的
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.如图是某光纤电缆的截面图，其构成为七个大小相同的小圆外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，恰好在小圆内的概率为
A.
79 B.78
C.2π7
D.7π27
5.已知一组样本数据点()()()()11223366,,,,,,,,x y x y x y x y ⋅⋅⋅，用最小二乘法得到其线性回归方程为
$24y x =-+，若数据1236,,,,x x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则1236y y y y +++⋅⋅⋅+等于
A.10
B.12
C.13
D.14
6.等比数列{a n }中，若a 1a 5＝a m a n ，则mn 不可能．．．为 A.5 B.6 C.8 D.9
7.已知二元一次不等式组20,
20220x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
表示的平面区域为D ，命题p ：点(0，1)在区域D 内；命题
q ：点(1，1)在区域D 内。
则下列命题中，真命题是
A.p q ∧
B.()p q ∧⌝
C.()p q ⌝∧
D.()()p q ⌝∧⌝ 8.已知△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠A=3
π
，M 是BC 的中点，则AM AB ⋅=u u u u r u u u r A.
15
2
B.11
C.12
D.15 9.已知圆C ：x 2
＋y 2
－10y ＋21＝0与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线相切，则该双曲线的
离心率是 2 B.
53 C.5
2
5 10.已知正实数a ，b 满足：221
1()log , ()log 2
3
a
b
a b ==，则
A.a<b<1
B.1<b<a
C.b<1<a
D.1<a<b
11.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制。
二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数与十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如(521)10＝1×29＋0×28＋0×27＋0×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝(10000001001)2。
我国数学史上，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：(7×7)8＝(61)8，(7×6)8＝(52)8，(7×5)8＝(43)8，˙˙˙，则八进制下(6×5)8等于 A. (36)8 B. (37)8 C. (40)8 D. (41)8
12.函数()(1)e x
f x x ax =--(e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a 的取值范围是 A.1
(,0)e - B.(,0)-∞ C.1(,)e
-+∞ D.(0,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知1
sin 5
θ=
，则cos2θ等于 。
14.已知定义在R 上的偶函数f(x)满足(2)()0f x f x --=，(0)3f =(10)f 等于 。
15.已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 。
15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＝3S n －3，若对于任意,m n N +∈，m n S S M -≤恒成立，则实数M 的最小值为 。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17.(12分)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，期中23c =，π
2sin(2)33
C -= (Ⅰ)若2a =A ； (Ⅱ)求△ABC 面积的最大值。
18.(12分)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AA 1＝2，E 是BC 的中点，F 是A 1E 上一点，且A 1F ＝2FE 。
(Ⅰ)证明：AF⊥平面A1BC；
(Ⅱ)求三棱锥C1－A1FC的体积。
19.(12分)某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金、专业二等奖学金及专业三等奖学金，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次。
图(1)是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图(2)是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图。
(Ⅰ)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；
(Ⅱ)若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列2×2联表并判断是否有99.9％的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c b d c a d
-
=
++++
P(
k k
>) 0.01 0.05 0.010 0.005 0.001
k0 2.71 3.84 6.64 7.88 10.83
20.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知Q(－1，2)，F(1，0)，动点P满足||||
PQ OF PF
⋅=。
（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线与E 交于A ，B 两点，记直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值。
21.(12分)已知函数()e x
f x x a =-（R a ∈，e 为自然对数的底数），21
()(1)2
g x x =+。
（Ⅰ）若直线y ＝x －1是函数f(x)图像的一条切线，求a 的值； （Ⅱ）对于任意3
(,)2
x ∈-
+∞，f(x)>g(x)恒成立，求a 的取值范围。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα
=⎧⎨
=⎩，
([0,2)απ∈，α为参数)，在同一平面直
角坐标系中，经过伸缩变换'2'x x
y y =⎧⎨
=⎩
，得到曲线C 1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系(ρ为极径，θ为极角)。
(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的极坐标方程；
(Ⅱ)若射线OA ：()0θβρ=>与曲线C 1交于点A ，射线OB ：()02
π
θβρ=+>与曲线C 1交于点
B ，求
2
2
11OA
OB
+
的值。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数21
()|||1|(0)a f x x x a a
+=-+->，g()4|1|x x =-+。
(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式()3f x ≥的解集；
(Ⅱ)若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[1，2]，求a 的取值集合。