教案～导数的综合应用

导数综合应用（1）
教学目标：
1:知识目标：（1）理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；
（2）理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有着广泛
的应用。

2:能力目标：（1）通过导数的单调性在上述具体问题中的应用，培养学生分析问题，解决问
题的能力。

（2）进一步加强学生的分类讨论能力，以及变换与转化的数学能力。

教学重点：通过构造函数，利用导数解决不等式，方程的根，曲线交点个数问题。

教学难点：；利用导数解决实际问题
教学过程
一．知识回顾
1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．
2．若()f x ＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为____________．
3．若函数()f x ＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．
4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )
A ．a >－3
B ．a <－3
C ．a >－13
D ．a <－13
二．例题讲解
题型一 利用导数的几何意义解题
例1 设函数()f x ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a 、b 、c 、d ∈R)的图象关于原点对称，且当x ＝1时f (x )
有极小值－23
.
(1)求a 、b 、c 、d 的值； (2)当x ∈[－1,1]时，问图象上是否存在两点使过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．
解 (1)∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，
∴－ax 3＋bx 2－cx ＋d ＝－ax 3－bx 2－cx －d ，
∴bx 2＋d ＝0恒成立，∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 3＋cx ，∴f ′(x )＝3ax 2＋c .
∵当x ＝1时，f (x )有极小值为－23，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋c ＝0，a ＋c ＝－23，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝13，c ＝－1.
∴a ＝13，b ＝0，c ＝－1，d ＝0. (2)假设存在两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，过此两点的切线互相垂直．
由)('x f ＝x 2－1得k 1＝x 21－1，k 2＝x 22－1，∴(x 21－1)(x 2
2－1)＝－1. ∵－1≤x 1≤1，－1≤x 2≤1，∴x 21－1≤0，x 22
－1≤0， ∴(x 21－1)(x 22－1)≥0，这与(x 21－1)(x 22－1)＝－1矛盾．
∴不存在这样的两点使结论成立．
变式训练：已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 图象上的点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝－3x ＋1，函数g (x )＝f (x )－ax 2＋3是奇函数．
(1)求函数f (x )的表达式； (2)求函数f (x )的极值．
解 (1)()f x '＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－3，
∴f ′(1)＝－3＋2a ＋b ＝－3，即2a ＋b ＝0，
又f (1)＝－1＋a ＋b ＋c ＝－2，得a ＋b ＋c ＝－1，
又函数g (x )＝－x 3＋bx ＋c ＋3是奇函数，g (0)＝0，∴c ＝－3.
∴a ＝－2，b ＝4，c ＝－3，∴f (x )＝－x 3－2x 2＋4x －3.
(2) )('x f ＝－3x 2－4x ＋4＝－(3x －2)(x ＋2)，
令f ′(x )＝0，得x ＝23
或x ＝－2， 列表可得：
∴f (x )极小值＝f (－2)＝－11，f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫23＝－4127
. 题型二 用导数研究函数的性质
例2：已知a 是实数，函数f (x )＝x (x －a )．
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值．
(i)写出g (a )的表达式；
(ii)求a 的取值范围，使得－6≤g (a )≤－2.
题型三 恒成立及求参数范围问题
例3：已知函数f (x )＝ln x －a x
. (1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性；
(2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32
，求a 的值； 解 (1)由题意f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x 2.∵a >0，
∴()f x '>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)由(1)可知，()f x '＝x ＋a x 2
. ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即()f x '≥0在[1，e]上恒成立，此时 在[1，e]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32
(舍去)． ②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即()f x '≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－2
e (舍去)． ③若－e<a <－1，令()
f x '＝0得x ＝－a ，
当1<x <－a 时，()f x '<0，∴f (x )在(1，－a )上为减函数；
当－a <x <e 时，()f x '>0，∴f (x )在(－a ，e)上为增函数，
∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32
，∴a ＝－ e. 综上所述，a ＝－ e.
课堂小结
1. 导数的几何意义
2. 利用导数解决函数的单调性，极值
3. 数学思想：数形结合，转化与化归，分类讨论
作业：《小练习》。