立体几何体的截面及三视图

立体几何专题（部分内容）
一.圆柱的截面
用一个平面去截（分三种情形：①用与圆柱的底面平行的平面去截；②用与圆柱的底面垂直的平面去截；③用与圆柱的底面不垂直的平面去截.），观察图1，很容易得出它们分别是：圆、长方形、椭圆.
图1
二.圆锥的截面
用一个平面去截一个圆锥体，圆、三角形、椭圆.
图2
三.球的截面
用一个平面去截一个球体
图3
四.三棱锥的截面
请同学们尝试用一个平面去截一个三棱锥，试判断所截得的平面图形是什么？观察图4
图4
五.正方体的截面（需补充两面截图）
补充：三视图或投影经典考题
公式：
空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
圆柱的表面积 ：2
22S rl r ππ=+ 圆锥的表面积：2S
rl r ππ=+
圆台的表面积：22
S rl r Rl R ππππ=+++
球的表面积：24S
R π=
扇形的面积公式2211
=36022
n R S lr r πα==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积 柱体的体积 ：V
S h =⨯底
锥体的体积 ：1
3
V S h =
⨯底 台体的体积 ： 1
)3
V S S S S h =+
+⨯下
下上上（ 球体的体积：
34
3
V R π=
空间几何体的三视图和直观图：正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。

侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。

俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。

1、线线平行的判断：
（1）、平行于同一直线的两直线平行。

（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（12）、垂直于同一平面的两直线平行。

2、线线垂直的判断：
（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

3、线面平行的判断：
（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

判定定理：
性质定理：
4、线面垂直的判断：
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

判定定理：
性质定理：
（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。

即：
（2）垂直于同一平面的两直线平行。

即： ★判断或证明线面垂直的方法 ⑴ 利用定义，用反证法证明。

⑵ 利用判定定理证明。

⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。

⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。

⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。

★1.5 三垂线定理及其逆定理
⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中， 斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。

如图：
⑵ 三垂线定理及其逆定理
已知PO ⊥α，斜线PA 在平面α内的射影为OA ，a 是平面 α内的一条直线。

① 三垂线定理：若a ⊥OA ，则a ⊥PA 。

即垂直射影则垂直斜线。

② 三垂线定理逆定理：若a ⊥PA ，则a ⊥OA 。

即垂直斜线则垂直射影。

⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直； ② 作出和证明二面角的平面角； ③ 作点到线的垂线段。

5、面面平行的判断：
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。

6、面面垂直的判断：
⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

判定定理： 性质定理：
⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°； （2）
图2-7 斜线定理
图2-8 三垂线定理
（3）（4）
☆三垂线定理（及逆定理）：
PA AO PO ⊥面，为在内射影，面，则αααa ⊂ a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥⇒⇒
☆线面垂直：
a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥⊂=⇒αα ☆面面垂直：
a a ⊥面，面⊥αββα⊂⇒
面⊥面，，，⊥⊥αβαβαβ =⊂⇒l l a a a
☆a b a b ⊥面，⊥面∥αα⇒ 面⊥，面⊥∥αβαβa a ⇒
☆三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90° （2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° θαα＝时，∥或0b o
b ⊂
（）二面角：二面角的平面角，30180αβθθ--<≤l o o
（三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。

） 三类角的求法：
①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

☆如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中对角线BD 1＝8，BD 1与侧面B 1BCC 1所成的为30°。

①求BD 1和底面ABCD 所成的角的正弦值； ②求异面直线BD 1和AD 所成的角； ③求二面角C 1—BD 1—B 1的角正弦值。

α a P
O a
O α b c
α a
l
β
a b
α
D 1 C 1 A 1 B 1 H G
D C
A B
（①；②；③）arcsin
arcsin 346063
o ☆点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，则：
（1）点C 到面AB 1C 1的距离为______________；
（2）点B 到面ACB 1的距离为_______________；
（3）直线A 1D 1到面AB 1C 1的距离为_________；
（4）面AB 1C 与面A 1DC 1的距离为___________；
（5）点B 到直线A 1C 1的距离为______________。

☆正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
Rt SOB Rt SOE Rt BOE Rt SBE ∆∆∆∆，，和 它们各包含哪些元素？ S C h C h 正棱锥侧·（——底面周长，为斜高）=1
2
'' V 锥底面积×高=
1
3
☆（）球心和截面圆心的连线垂直于截面122r R d =
-
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。

为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（），球球444
3
2
3S R V R ==
ππ （5）球内接长方体的对角线是球的直径。

正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。

D C
A
B
D 1 C 1
A 1
B 1。