变量之间的关系(带答案)

变量之间的关系(带答案)

变量之间的关系、表达方法复习

知识要点

表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法

◆要点1 变量、自变量、因变量

(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。则T为自变量，路程为因变量。

◆要点2 列表法与变量之间的关系

(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小

◆要点3 用关系式表示变量之间的关系

(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。

(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。

◆要点4 用图象法表示变量的关系

(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。

(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。如利用图象求两个变量的对

应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变

量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际

情景，所给变量之间的关系等。

(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象

★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。

★若图像表示的是距离与时间之间的关系，“上升的线段”①表示物体匀速运动；“水平线段”②表示物体停止运动，“下降的线段”③表示物体反向运动。如图BL—01(1)、(2)：

易错易混点

(1) 在列表中，不能够通过表格中的数据全面得出两个变量之间的关系规律，易出现片面性错误；(2) 有的变量是由不变量与变量之和组成的，在解题时易忽略不变部分（在个别问题中，一定条件下变量也可能成为不变量）而导致错误；

典型例题

【例1】果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？

相关题型：在弹性限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关

所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8

弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16

(2) 如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的

变化，y的变化趋势如何？请写出y与x之间的关系式。

(3) 如果此弹簧的最大挂重为25千克，您能够预测当挂重为14千克时，弹簧的

长度是多少吗？

【例2】一辆汽车正常行驶时每小时耗油8升，油箱现有52升汽油。(1) 如果汽车行驶时间为t(时)，那么油箱中所存油量Q (升)与t(时)的关系式是什么？(2) 油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？(3) 当t的值分别为1，2，3时，Q相应的值是多少？

【例3】一个梯形，它的下底长比上底长长2cm，它的高为3cm，设它的上底长为x cm，它的面积为y cm2。

BL—01

BL —02

BL —03 BL —04

(1) 写出y 与x 之间的关系式，并指出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量？ (2) 当x 由5变到7时，y 如何变化？ (3) 用表格表示当x 从3变到10时(每次增加1)，y 的相应值； (4) 当x 每增加1时，y 如何变化？并说明你的理由； (5) 这个梯形的面积能等于9cm 2吗？能等于2cm 2吗？为什么？ 相关题型：长方形的长是20cm ，当宽由小到大地变化时，长方形面积也随之变化。 (1) 在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是___________。 (2) 如果长方形的宽为a cm ，面积为S cm 2，则S 与a 之间的关系式为_________。 (3) 当a=15cm 时，S 是__________。 (4) 当面积S 是280时，这时的宽a 是______________。 【例4】 小丽和她的邻居小明一起离家步行上学。 (1) 小丽一开始就跑，跑累了便走着去，小明开始走着，当他快到学校时跑了起来，他们同时到达学校。图BL —02中，图________表示小丽的行程，图______表示小明的行程最好。

(2) 若小丽在上学的路上以固定的速度前进，如图BL —03中虚线所示，小明在上学的路上以小丽速度的2倍行进，小名的速度以实线表示，他们先后到达学校，则图______可以描述这种情况。

相关题型：小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，如图BL —04中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用的时间t （分）之间的关系（ ） 【例5】 某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社承诺：“如果

校长买全票一张，则学生可享受半价优惠”；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的6折优惠”，若全票价甲乙旅行社均为240元。 (1) 设学生为x ，甲乙旅行社收费分别为y 甲(元)和y 乙(元)，分别写出两个旅行社

收费的关系式； (2) 哪家旅行社收费更优惠？ 【例6】 某移动通信公司开设了“全球通”和“金卡快捷通”两种业务，前者每月先缴30元月租费，每通话1分钟付费0.4元，后者不缴月租费，但每分钟付费0.6元，若某人的每月通话时间在200分钟左右，则他应选用哪种业务比较合算？并简明叙述理由。（思路1：直接计算200分钟应付的话费进行比较；思路2：先求出付费相同的通话时间，再看200分钟比这个时间多还是少。） 练习提高 1. 一棵树苗栽下去时高0.8m ，以后10年内每年平均长高0.4m ，x 年后树高y

m 。 (1) 这个问题中，常量是_________，变量是_________； (2) 这个问题中x 值是________量，y 值是_________量； (3) 生长5年后树高_______m ，生长了10年树高__________m ； (4) 请你写出y 随x 变化而变化的关系式_______________。 2. 长方形的长为a cm ，宽为6 cm ，则它的周长C 与长a 之间的关系为______。 3. 某种情况下，声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x (℃)之间存在如下关

系：33153+=x y ，(1) 当气温x=15℃时，声音的速度y=________ m/s ；

(2) 当气温x=22℃时，某人看到烟花燃放5s 后才听到声音响，则此人与燃放的烟花所在地相距________m 。 4. 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x 与售价y 的关数量x(kg) 1 2 3 4 5

售价y(元) 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5 则y 5. 如图BL —05，一个矩形推拉窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积a(平方米)与拉开长度b(米)之间的关系式为__________。 6. 某电影院有1000个座位，门票每张3元可达客满，若每张票提高x 元，将有200x 张门票不能售出，提价后每场电影票房收入y 元与提高的票价x 元BL —05 BL —06 BL —07