第4章 -多自由度系统振动

第 4 章 多自由度系统振动
在前两章中，讨论了具有一个和两个自由度系统的振动问题。对于一些机械系统振动问 题可以简化成简单的数学模型并利用上章的方法进行分析与处理，但是对于很多问题不能采 用这种过于简单的力学模型来进行分析。实际上遇到的大多数工程振动系统，无论是它的质 量还是刚度都具有分布特性，因而在理论上都是无限多自由度系统，即为弹性体。但由于机 械系统的复杂性，若按无限多自由度来处理，在数学上至目前为止还无法解决。因此将系统 的结构用一些离散的结构来理想化是可取的，从而使无限多自由度问题简化成有限的多自由 度问题。这样既能较为精确地反映机械系统的动态特性，又能便于数学上的求解。
3
0
0
2
0
0
3
0
解上述方程组并令
1，则有
同理可求出：
1,
0,
1,
1,
1
所以，对应于三个固有频率 , ,
为
2,
1。
1,
叫系统的第一阶、第二阶、第三阶主振型列阵
1
1
1
2,
0,
1
1
1
1
各阶主振型的示意图表示在图 4.3 中。从图上可以看出，第二阶主振型中有一个节点， 第三阶主振型中则有两个节点。
4.2.3 主振型的正交性
能确定 、 和 分就能求出[m]、[c]和[k]。下面我们以图 6.1 所示的三自由度系统为例， 讨论用影响系数法来求这些影晌系数。
1. 刚度影响系数 的确定 刚度影响系数 b 的确定方法是：使系统的j坐标产生单位位移 x 1 ，而其它各点的位 移均为零时，在第 i 坐标上所需施加的力。例如，在图 4.1 中， 表示使质量 产生单位
2. 阻尼影响系数c 的确定
阻尼影响系数c 的确定方法是：使系统的 j 坐标产生单位速度 x 1 ，而其它各点的
速度均为零时，在第 i 坐标上所需施加力的大小。例如，设x 1,即使m 产生单位速度，
而m 及m 速度为零。为了使m 产生单位速度，则必须克服阻尼器c 和c 的阻尼力
c cx
c c 。因此在m 上所需加的作用力为c c ，故c c c 。
位移 x 1 ，而其余质量m 、m 不动，则在m 上需要加大小等于k k 的力，以克服弹 簧k 和k 的弹性阻力。由于m 的位移为正方向，故弹簧k 和k 的弹性阻力的方向为负。因 此，m 上所需加的作用力的方向为正，故k k k 。
同理可以得到
，
0
，
，
0，
，
从上式中不难看出：k k 。利用这个关系可减少计算工作量。
式 (4 .15)的特征值。各特征值对应的固有频率按由小到大排列：
0
(4.19)
4.2.2 主振型
在求得系统的各阶的固有频率后，将其中某一阶固有频率 式中，并加以展开，得
代回到主振型方程(4.15)
0
0
(4.20)
0
显然，上式是由 n 个齐次代数方程所组成的方程组。因此，从中只能求出 n 个未知量
之间的比值，而无法得到 的确定解。现在，我们将方程组(4.20)中划去其中不独立的某
T左乘(4.25)式的两端，得
(4.26)
将(4.27)式的两端转置得
以(4. 26)式减去(4. 28)式得
当
时，必然有
(4.27)
(4.28)
0
(4.29)
0, 将(4. 30)式代入(4 .26)式得
(4.30)
0,
(4.31)
(4.30)式和(4.31)式表示了任意两个主振型之间的关系。(4.30)式称为主振型对质量矩阵 的正交性，(4. 31)式称为主振型对刚度矩阵的正交性。应当强调指出，主振型的正交关系式 (4. 30)式和(4.31)式，只是在质量矩阵和刚度矩阵为对称时才有效。
同样可以求出
，
，
0，
0
，
0，
0
4. 柔度影响系数和柔度矩阵
上面讨论的应用剐度矩阵来建立系统运动的作用力方程，对于许多振动系统足方便的。
但对于静定系统，有时采用系统运动的位移方程则更为简便而易于求解。为此我们引入一个
新的参数——柔度影响系数 。其定义是在系统的 J 坐标作用一个单位力，而其余各点均无 作用力时，在系统 t 点所产生的位移。柔度矩阵的形式如下：
显然要使 有非零解，则上式中的系数行列式必须为零，即 0
或改写为
(4.14)
(4.15) (4.16)
(4.17)
(4.16)式和(4. 17)式都称为系统的特征方程或频率方程。将其展开后可得到 的 n 次代 数方程：
式中， , ,…, 等系数都是 和 的组合。
0
(4.18)
对于一个 n 个自由度系统，求解其特征方程后，可以得到 的 n 个实根，也就是方程
, ,…,
(4.22)
若将系统的各阶固有频率依次代入(6.15)式，即可得到系统的第一阶、第二阶、……第 n 阶主振型：
, ,…,
, ,…,
…………………………
, ,…,
(4.23)
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可见，n 自由度的系统就有 n 个固有频率和 n 个相应的主振型。在数学上把这种性质称
为对应于每一个特征值叫ω ，具有某一个特征向量 。在计算主振型时，要规定其中某
4.1.2 影响系数法
从多自由度系统振动方程的矩阵表达式(4. 8)知，若能设法求出系统的质量矩阵[ m]、阻 尼矩阵 c 和刚度矩阵 k 就可以直接写出系统的运动微分方程式。对于n阶多自由度振动系统，
质量矩阵[m]、阻尼矩阵[c]和刚度矩阵[k]的一般形式为
；
上述矩阵中的任一元素 、 和 分别代表第 i 坐标和第 j 坐标之间的惯性、阻尼和 刚度的相互影响，故分别称之为惯性影响系数、阻尼影响系数和刚度影响系数。因此，只要
在多自由度系统中，各阶主振型之间存在着正交性。这是多自由度系统的一个十分重要 的性质。下面我们通过研究多自由度系统任意两组主振型之间的关系来证明这一性质。
设对应于两个固有频率 和 的两阶主振型为 和 ，它们分别满足下列关系 式（见 4 .15 式）：
(4.24) (4.25)
以
T左乘(4.24)式的两端，而以
4.1.1 拉格朗日方法
拉格朗日方程的一般形式如下：
1,2, … , 式中 ， ——分别为广义坐标和广义速度；
， ——分别为系统的总动能和位能（势能）； ——能量耗散函数； ——广义干扰力。 该方程表示系统在各个广义坐标系上的力的平衡，包括静力和动力。
(4 .1)
图 4.1 三自由度弹簧——质量系统 图 4.1 所示为三个自由度的弹簧质量系统，P ，P ，P 分别为作用于各质量上的干扰力。 取各质量偏离其平衡位置的位移,x , x , x 为广义坐标，则广义速度为x , x , x 。 系统的动能为
可以证明：柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵。即
将上式代入(4. 8)式得
，或
(6 .10)
或
(6 11)
(4.11)式为多自由度有阻尼系统的运动位移方程的一般表达式。这样，当求出系统的各
影响系数，并写出柔度矩阵后，便可按(6 .11)式直接写出系统的柔度形式的运动方程。现举
例说明。
例 l：图 4.2 所示为一简支梁，粱上等距分布有集中质量 ， , 在 ， , 上分 别作用有动力 ， , 。设梁的弯曲刚度为EJ，试用柔度影响系数建立系统运动的位移方 程。
一项（如最后一式），并将剩下的(n - 1)个方程式中某一相同的 右边，即得到下列代数方程组：
项(如
项）移到等式的
(4 .21)
由(4.21)式，就可以对 , ,…, 求解，求得的 i 1,2, … , n 1 值都是与 成
正比的。这样得到对应与第 r 阶固有频率ω 的 n 个振幅 , ,…, 之间的比例关系， 也就是系统按第 r 阶固有频率振动时各坐标的振幅比。所以，我们把由这 n 个具有确定的相 对比值的振幅组成和列阵称为系统的第 r 阶主振型，即
, , 处所产生的挠度即分别为 , , (见图 4.2e)。 由挠度计算公式可以求出各柔度影响系数的数值：
9 768
11 768
7 768
16 768 故系统的柔度矩阵为
9 11 7 11 16 11 7 11 9
求出系统的柔度矩阵后，由(4 .11)式即可直接写出来系统的运动位移方程式：
9 11 7
(4.7) 则上述方程式(4. 5)，(4. 6)和(4. 7)构成了该系统的运动微分方程式。用矩阵表示为
(4.8) 这里各列阵及系数矩阵分别为
位移列阵
;速度列阵
;
加速度列阵
; 干扰力列阵
；
质量矩阵
00
0
0；
00
0
阻尼矩阵
;
0
刚度矩阵 0
0 。
若在上述系统中忽略阻尼，又无干扰力作用，则系统的无阻尼自由振动方程式为
一坐标的振幅的数值。例如，
0，则可规定
1。然后再根据(4.21)式来确定用 表
示的其余 n -1 个坐标的振幅值。
例 2 如图 4. 3 所示的三自由度系统，已知m m m m, k k 2k, k k
k。试计算此系统的固有频率和主振型。
图 4.3 三自由度系统及其振型 解 取质量m 、m 、m 各自偏离平衡位置的位移x 、x 、x 为广义坐标，则该系统的 运动方程为
建立和求解多自由度系统振动的运动微分方程式，可以采用牛顿运动定律和达朗贝尔原 理的方法。但对于一些自由度数目较多的系统，常常应用分析力学的方法，即根据拉格朗日 方程建立系统的振动方程，并应用矩阵这一数学工具进行分析计算。本章介绍建立多自由度 系统振动方程的拉格朗日法和影响系数法。
4.1 多自由度系统运动方程的建立
768
11 16 11 7 11 9
00
0
0
00
4.2 多自由度系统的固有频率和主振型
4.2.1 固有频率
多自由度元阻尼自由振动微分方程的一般形式为
设上列方程的解为
mx kx 0
(4.12)
(4.13) 式中， 是系统自由振动时，各个坐标上的振幅所组成的列阵，称为振幅向量，
，
对(4.13)式分别求一阶和二阶导数，代入(4.12)式得主振型方程 0
(4.2)
系统的势能U为
4.3
系统的能量耗散函数为
(4.4) 广义干扰力就是激振力，在这一系统中就是分别作用在各质量上的干扰力P , P , P 。 下面进行简单的数学运算求出拉格朗日方程中的一些偏导数，以质量m 为例：
0
将上列各式代入(4. 1)式，得到质量m 的振动方程为 (4.5)
类似地可以求出质量m 和m 的振动方程如下： (4.6)
类似地可以得到
，
0
，
，
0，
，
3. 惯性影响系数m 的确定
m 表示使系统自如坐标产生单位加速度(x 1)，而其它各点的加速度均为零时，在第
i 坐标上所需施加力的大小。例如，设x 1，x x 0,即使m 产生单位加速度，而m 及
m 加速度为零。要使m 产生单位加速度，则必须对m 施加作用力m x m ，故m m
图 4.2 具有三个集中质量简支梁 解：以三个集中质量 ， , 离开其静平衡位置的垂直位移 ， , 为系统的广义 坐标（见图 4.2a）。由材料力学知，当简支粱受 P 力作用时，其挠度计算公式为(如图 4.2b)
6
,0
, 6
根据柔度影响系数的定义，我们先在坐标 处作用一单位力，则在 ， , 处所产生 的挠度即分别为 ， , (见图 4.2c)。再在坐标 处作用一单位力，则在 , , 处所 产生的挠度即分别为 , , (见图 4.2d)，最后在坐标 y3 处作用一单位力，则在
式中，
mx kx 0
00
0
0
00
100 010 001
0 代入(4.15)得系统的特征值问题：
0
3 10
12 1
0 13
3 10 12 1 0 13
故系统的特征方程为
3 2
0
100
0
010
0
001
0
0 0
3
将上式展开并整理得
8
19
解上面的方程得系统的三个固有频率：
12
0
3
,
,
2
将第一阶固有频率讲。代入系统的特征值问题的方程中，得
0
(4.9)
若系统的自由度数为 n．则位移列阵 、速度列阵 、加速度列阵 以及干扰力列阵
P 均为 n 阶列阵。而质量矩阵[m]、阻尼矩阵[c]和刚度矩阵[k]均为 n 阶对称方阵。值得注
意的是：当我们将弹性体离散成有限自由度系统时，得到的质量矩阵不一定都是对角阵。因
此，以后我们按质量矩阵为一般非对角阵来讨论。
最后，从能量的观点来看，多自由度系统的主振型物理意义在于，各阶振动之间的能量 不能传递，彼此是独立的。
4.3 多自由度系统的模态分析法
多自由度系统运动方程是一个二阶常系数线性微分方程组，系统有多少个自由度，方程 组中就有多少个方程。但求解多自由度系统运动方程的困难还不在于方程的数目较多，而在 于各个方程之间有相互关联的耦合项。例如，从前面的讨论中可以看出，质量矩阵[m]都是 对角阵，而刚度矩阵[k]和柔度矩阵[a]却都不是对角矩阵，即出现了耦合项，这类耦合称为 弹性耦合。在某些情况下，系统的质量矩阵也会成为非对角阵，这类耦合称为惯性耦合。因 此求解多自由度运动方程时，就不能应用解单自由度和两自由度系统运动方程时所采用的一 般方法。