第二章 第九节 导数概念及其运算

A．1
B．2
C．3
D．4
解析：设直线 y＝x＋1 与曲线 y＝aln x 相切的切点为(x0，aln x0)，则在该点处曲
a
a
线的切线方程为 y－aln x0＝x0(x－x0)，即 y＝x0x＋aln x0－a，又该直线与直线
y＝x＋1 重合，所以 a＝x0 且 aln x0－a＝1，即 aln a－a＝1.构造函数 g(a)＝aln
( )1பைடு நூலகம்
－ ＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，则 g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3× 3 ＝0，
故选 B.
答案：B
10．若曲线 y＝f(x)＝ln x＋ax2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的
取值范围是( )
1 A．(－2，＋∞)
1 B．[－2，＋∞)
课时作业
A 组——基础对点练
1．曲线 y＝xex－1 在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e
B．e
C．2
D．1
xex 1
1
ex
解析：y＝xex－1＝ e ＝exex，y′＝e(ex＋xex)＝ e (1＋x)，
∴k＝y′|x＝1＝2，故选 C. 答案：C
2．(2018·济南模拟)已知函数 f(x)的导函数 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(1)＋ln x，
2
2
解析：y′＝ x－12 ＝－x－12，y′|x＝2＝－2－12＝－2，因此 kl＝－2，
|2 × 2＋4－b|
设直线 l 方程为 y＝－2x＋b，即 2x＋y－b＝0，由题意得
5
＝2 5，
解得 b＝18 或 b＝－2，所以直线 l 的方程为 2x＋y－18＝0 或 2x＋y＋2＝0.故选
B.
答案：B
a－a－1，则 g′(a)＝ln a，当 a＞1 时，g′(a)＞0，g(a)单调递增，又 g(3)＝3ln
3－4＜0，g(4)＝4ln 4－5＝8 ln 2－5＞0，所以函数 g(a)在(1，＋∞)内唯一的零
3π
π
A. 4
B．3
π
π
C. 4
D.6
解析：因为 f′(x)＝exsin x＋excos x，所以 f′(0)＝1，即曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处
π 的切线的斜率为 1.所以在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为4，故选 C.
答案：C
4．曲线 y＝ax 在 x＝0 处的切线方程是 xln 2＋y－1＝0，则 a＝( )
C．(0，＋∞)
D．[0，＋∞)
1
2ax2＋1
解析：f′(x)＝x＋2ax＝ x (x＞0)，根据题意有 f′(x)≥0(x＞0)恒成立，所
1 以 2ax2＋1≥0(x＞0)恒成立，即 2a≥－x2(x＞0)恒成立，所以 a≥0，故实数 a
的取值范围为[0，＋∞)．故选 D.
答案：D
11．若直线 y＝x＋1 与曲线 y＝aln x 相切，且 a∈(n，n＋1)(n∈N*)，则 n＝( )
l：y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线，g(x)＝xf(x)，
g′(x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝( )
A．－1
B．0
C．2
D．4
解析：由题意知直线 l：y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线，由图可得 f(3)
A
3
1
1
＝1.又点(3,1)在直线 l 上，∴3k＋2＝1，∴k＝－3，∴f′(3)＝k＝－3.∵g(x)
答案：C 2x
7．(2018·巴蜀中学模拟)已知曲线 y＝x－1在点 P(2,4)处的切线与直线 l 平行且
2
距离为 2 5，则直线 l 的方程为( )
A．2x＋y＋2＝0
B．2x＋y＋2＝0 或 2x＋y－18＝0
C．2x－y－18＝0
D．2x－y＋2＝0 或 2x－y－18＝0
2x－1－2x
则 f′(1)＝( )
A．－e
B．－1
C．1
D．e
解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x， 1
∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(ln x)′＝2f′(1)＋x，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即 f′(1)＝－1.
答案：B
3．函数 f(x)＝exsin x 的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
y＝3x－2. 法二：令 x＝1 得 f(1)＝1，由 f(2－x)＝2x2－7x＋6，两边求导可得
f′(2－x)·(2－x)′＝4x－7，令 x＝1 可得－f′(1)＝－3，即 f′(1)＝3.∴所求切 线方程为 y－1＝3(x－1)，即 y＝3x－2.
答案：C
9.(2018·潍坊模拟)如图，y＝f(x)是可导函数，直线
8．已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2－x)＝2x2－7x＋6，则曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处
的切线方程是( )
A．y＝2x－1
B．y＝x
C．y＝3x－2
D．y＝－2x＋3
解析：法一：令 x＝1 得 f(1)＝1，令 2－x＝t，可得 x＝2－t，代入 f(2－x) ＝2x2－7x＋6 得 f(t)＝2(2－t)2－7(2－t)＋6，化简整理得 f(t)＝2t2－t，即 f(x) ＝2x2－x，∴f′(x)＝4x－1，∴f′(1)＝3.∴所求切线方程为 y－1＝3(x－1)，即
2 A．－3
4 B．－3
4
3
C. 3
D．4
1
1
解析：因为 f′(x)＝cos x＋sin x＝2sin x－2cos x，所以 tan x＝－3，所以 tan
2tan x －6 3
2x＝1－tan2x＝1－9＝4，故选 D.
答案：D
6．已知 f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则 f(x)在点 P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角
1
A.2
B．2
A
1
1
C．ln 2
D．ln 2
解析：由题知，y′＝axln a，y′|x＝0＝ln a，又切点为(0,1)，故切线方程为 xln
1
a－y＋1＝0，∴a＝2，故选 A.
答案：A
1
5．已知函数 f(x)＝sin x－cos x，且 f′(x)＝2f(x)，则 tan 2x 的值是( )
形的面积等于( )
A．4
B．5
25 C. 4 解析：∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，
13 D. 2
∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，
故切线方程为 y－2＝8(x＋1)，即 8x－y＋10＝0，
5 令 x＝0，得 y＝10，令 y＝0，得 x＝－4，
15
25
∴所求面积 S＝2×4×10＝ 4 .