关于欧拉线的一个有趣结论

关于欧拉线的一个有趣结论

上海市延安中学 钟建国

我们知道，三角形的外心、重心、垂心三点共线。这条直线，就叫做三角形的欧拉线。笔者在研究中发现一个关于欧拉线的有趣结论：如图1，已知1234L L L L 、、、这四条直线中

的任意三条直线都能围成一个非等边的三角形，且123

L L L 、、所围成的三角形的欧拉线平行于4L ，则124L L L 、、所围成的

三角形的欧拉线平行或重合于3L 。下面给出这一结论的两种

证法。

方法一：平几法。

我们先来证明一个预备定理：设1C 是ABC ∆边CB 延长线上的一点，O G 、分别为ABC ∆的外心和重心，11O G 、分别为1ABC ∆的外心和重心。如果1//OG AC ，那么11//O G AC 。

证明：如图2，设直线OG 交直线1CC 于点D 。我们试图证明：1//G D AC ，1//O D AC ，从而就有11//O G AC 。

先证明1//G D AC 。如图3，连结1AG 并延长交1C B 于点1E ，连结AG 并延长交BC 于点E ，显然，1E E 、分别为线段1C B BC 、的中点。设111C E E B x ==，BE EC y ==。由1// GD AC ，得

12C D DE =。通过计算容易证得112

E D DC =，即1//G D AC 。

再证明1//O D AC 。如图4，因为1//OD AC ，所以11ODB C OO B ∠=∠=∠，这表明1O D B O 、、、四

点共圆。于是，111O D C O O B

C ∠=∠=∠，即1//O

D AC 。

最后证明原命题：

如图5，过2L 、3L 的交点作54//L L 。利用相似形的原理容易证明：124L L L 、、围成的三角形的欧拉线，一定平行于125L L L 、、围成的三角形的欧拉线。

如果123L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行于4L ，那么，123L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行于5L 。由预备定理知：125L L L 、、围成的三角形的欧拉线一定平行于3L ，从而有124L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行或重合于3L 。

方法二：解析法。

如图6所示建立平面直角坐标系。如果234L L L 、、中有一条直线垂直于1L ，则结论显然成立。要不然，我们设234L L L 、、的斜率为234k k k 、、，点B 的坐标为(0)a ，。

首先求出点A 的坐标，由此不难求出AOB ∆的重心和垂心的坐标，最后求出A O B ∆的欧拉线的斜率为23233k k k k +-+。同理，COD ∆的欧拉线的斜率为2424

3k k k k +-+。 由已知，234233k k k k k +=-+。恒等变形此式，得243243k k k k k +=-+，原命题因此得证。