从欧拉几何定理到彭色列闭合定理(欧拉--彭色列—大狗熊线)

从欧拉几何定理到彭色列闭合定理(欧拉--彭色列—大狗熊线)

徐文平

（东南大学 南京210096）

一、引言

1）彭色列闭合定理

图1

思考：彭色列闭合定理的本质是什么？为什么如此奇妙的首尾相连闭合？

2）谢国芳定理

谢国芳老师猜想，双圆锥曲线的内接外切四边形时候，对角线交叉点不变。

图2

思考：如果是三角形的时候，彭色列闭合定理，是什么关键点永恒不变啊。 3）欧拉几何定理 a)设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，

则有rR R d 222-=

（备注： 欧拉定理定理也涉及到圆中圆的问题）

b ）欧拉线

（三角形ABC的垂心H，九点圆圆心V，重心G，外心O共线，称为欧拉线）

图3

c）欧拉九点圆

三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。

九点圆具有许多有趣的性质，例如：

1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；

2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；

3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；

4. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。

图4

4）欧拉--彭色列--大狗熊线

大狗熊定理：三角形内切圆的切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G与三角形内心I、外心O共线（欧拉--彭色厉--大狗熊线），三角形作彭色列闭合变换时，五心位置恒定不变。

（备注：三角形内切圆的切点三角形的外心就是三角形ABC的内心I）

图 5 （彭色列闭合变换时切点三角形的重心不变）

（三角形在圆中圆中，作彭色列闭合变化时候，切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G不变，非常奇妙的发现，作业：作图试试切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G，是不是雷打不动啊）

谢国芳定理，双圆锥曲线的内接外切四边形时候，对角线交叉点不变。

大狗熊定理，双圆锥曲线的内接外切三角形时候，切点三角形的五心恒定不变。

谢国芳定理和大狗熊定理，揭示了彭色列闭合定理的神秘面纱，找到了命题本质。

工程应用成果：利用欧拉—彭色列--大狗熊线恒定不变特性的摄像机和精密测量仪器标定

（变化中发现了不变的本质）

二、欧拉--彭色厉--大狗熊线的简证

欧拉--彭色列闭合变化作图发现，有许多有趣的特性。

（ΔABC为基本三角形，ΔA1B1C1为切点三角形，ΔA2B2C2为垂足三角形）

1、ΔA2B2C2为垂足三角形与三角形ΔABC是具有位似关系

2、基本三角形构成的六边形与垂足三角形构成的六边形具有位似关系（黄色）。

3、基本三角形彭色列闭合变化，发现了大量的平行线关系

4、位似中心S点，也在欧拉—彭色列--大狗熊线上，彭色列闭合变化时不变。

5、位似中心S点就是基本三角形ΔABC外接圆和内切圆的位似中心S点

图 5 （彭色列闭合变换时位似中心现象）

1）潘成华老师的研究发现

思考：可以直接做题证明（也许高中小朋友看不懂重心证明方法啊）

依据欧拉线，可改为外心O（大圆）、内心I（小圆）、垂心H（切点三角形的）共线题目。2）1995伊朗奥数竞赛的题目

（备注，垂足三角形ΔPQR的外心J点，就是切点三角形ΔDEF的九点圆心V点）

3) 彭色列闭合定理（N=3）的位似中心S点

位似中心在基本三角形ΔABC的顶点和垂足三角形顶点的连线交叉S点。

同理：位似中心在基本三角形ΔDEF的顶点和垂足三角形顶点的连线交叉S点。

（备注：外接圆和内切圆也具有位似关系，位似中心也在S点）

（备注：外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化，位似比相同）

（备注：外接圆和内切圆和外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化，位似比相同）。

彭色列闭合变换（N=3）时，中心S点和五心狗熊线恒定不变。

欧拉--彭色厉--大狗熊线（增加了位似中心S点共线）

4) 欧拉—彭色列--大狗熊线的不变特性简证（彭色列闭合变化时）

1、位似中心S点在五心狗熊线上，即位似中心S点在五心狗熊线共线。

（具体可以参见上述的1995伊朗奥数竞赛的题目）

2、彭色列闭合变换（N=3）时，切点三角形的的九点圆心V不变

方向不变：

由于欧拉—彭色列--大狗熊线是五心共线，并且其中二点是不变（三角形内心I、外心O在命题中是固定的），所以，彭色列闭合变换前后，九点圆心V必定在三角形内心I、外心连线方向。

半径不变：

三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半，由于切点三角形的外接圆是固定的（命题的内切圆），所以，九点圆的半径不变。

圆心不变：

彭色列闭合变换前的垂足三角形的三个顶点，彭色列闭合变换后的垂足三角形的三个顶点，六点是共圆的，所以彭色列闭合变换前后，九点圆圆心不变。

彭色列闭合变换（N=3）时，切点三角形的的九点圆心V不变

3、彭色列闭合变换（N=3）时，切点三角形的切点三角形的垂心H，重心G不变。

由欧拉线的性质可知，三角形的垂心H，重心G，九点圆心V，外心O点（就是基本三角形的内心I点），具有这些点互相之间比例关系恒定的，所以，所以彭色列闭合变换前后垂心H，重心G位置不变

4、彭色列闭合变换（N=3）时，两者位似中心S点重合。

外接圆和内切圆也具有位似关系。

外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化，位似比相同）

外接圆和内切圆和ΔDEF一起位似变化，位似比相同）

外接圆和内切圆和外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化，位似比相同）。

所以，外接圆和内切圆、ΔABC和ΔDEF三者一起位似变化，位似比相同三角形的外接圆和内切圆是固定的，两圆具有位似关系,位似比为λ

基本三角形ΔABC与垂足三角形也具有位似关系，位似比也为λ，相同。

基本三角形ΔDEF与垂足三角形也具有位似关系，位似比也为λ，相同。

因此，三者的位似比也为λ，相同。

ΔABC和ΔDEF是一样的位似比λ，两者相同，可以一起联盟位似变换。

因此，彭色列闭合变换前后，两者位似中心S点重合。

结论：彭色列闭合变换前后，欧拉—彭色列--大狗熊线的不变