必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题
运用构造函数法解答导数问题的步骤
导数问题的难度较大，对同学们的数学抽象思维能力和运算能力有着较高的要求.导数与函数之间的联系紧密，所以在解答导数问题时，通常要根据已知条件来构造合适的函数模型，利用函数的图象、性质来求得问题的答案.这就是构造函数法.运用构造函数法解答导数问题的步骤为：1.仔细研究题目中给出的关系式的结构特征；2.灵活运用幂函数的求导公式(x n)′=nx n-1、指数函数的求导公式(a x)′=a x ln a（特例(e x)′=e x，(e nx)′=ne nx(n∈N*,n≥2)）、对数函数的求导公式(log a x)′=1x ln a（特例(ln x)′=1x）、三角函数的求导公式(sin x)′=cos x,(cos x)′=-sin x等，对已知关系式中的部分式子进行求导或积分；3.根据导数的运算法则(u±v)′=u′±v′，(uv)′=u′v+uv′，(u v)′=u′v-uv′v2将目标式或已知关系式进行变形，并将变形、化简后的式子构造成新函数模型；4.根据导函数与函数的单调性之间的关系判断出函数的单调性；5.根据函数的单调性求函数的极值，比较函数式的大小.把导数问题转化为函数问题来求解，可以达到化繁为简、化难为易的目的.例1.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，且xf′(x)+3f(x)>0，那么不等式(x+2021)3f(x+2021)+27f(-3)>0的解集是（）.A.(-2024,+∞)B.(-2022,-2021)C.(-∞,-2022)D.(-2024,-2021)解：在不等式xf′(x)+3f(x)>0的两边同乘以x2，可得x3f′(x)+3x2f(x)>0，即x3f′(x)+(x3)′f(x)>0，得(x3f(x))′>0.设函数g(x)=x3f(x)，则g′(x)>0，所以g(x)在(-∞,0)上单调递增.而(x+2021)3f(x+2021)+27f(-3)>0可变形为(x+2021)3f(x+2021)>(-3)3f(-3)，即g(x+2021)>g(-3).可得-3<x+2021<0，解得-2024<x<-2021.故选D.先根据指数函数的求导公式(x3)′=3x2以及导数的运算法则(uv)′=u′v+uv′将xf′(x)+3f(x)>0变形，即可化简不等式；再构造出函数g(x)=x3+f(x)，探讨其单调性，便可根据函数的单调性求得问题的答案.例2.已知函数f(x)是R上的可导函数，且(x-1)⋅(f′(x)-f(x))>0，f(2-x)=f(x)e2-2x，那么一定正确的是（）.A.f(1)<f(0)B.f(2)>ef(0)C.f(3)>e3f(0)D.f(4)<e4f(0)解：将不等式(x-1)(f′(x)-f(x))>0变形，可得(x-1)∙e x f′(x)-(e x)′f(x)(e x)2>0，即(x-1)∙(f(x)e x)′>0，设函数g(x)=f(x)e x，易知：当x>1时，g′(x)>0；当x<1时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.将f(2-x)=f(x)e2-2x变形，可得f(2-x)e2-x=f(x)e x，即g(2-x)=g(x)，所以函数g(x)的图象关于直线x=1对称.根据函数g(x)的单调性、对称性可得g(0)=g(2)<g(3)，即f(0)e0<f(3)e3，因此e3f(0)<f(3).故选C.我们以指数函数的求导公式(a x)′=a x ln a为切入点，根据导数的运算法则(u v)′=u′v-uv′v2，构造商式函数g(x)=f(x)e x，即可根据其单调性和对称性求得问题的答案.备考指南54例3.已知函数f (x )是定义在(1,+∞)上的可导函数，对∀x ∈(1,+∞)均有f '(x )ln x >1+ln x xf (x )恒成立，则（）.A.12f (2)>3f (4)>f (8)B.3f (4)>12f (2)>f (8)C.f (8)>3f (4)>12f (2)D.f (8)>12f (2)>3f (4)解：在f ′(x )ln x >1+ln x xf (x )的两边同乘以x ，移项可得f ′(x )x ln x -(1+ln x )f (x )>0，再变形得f ′(x )ln x -(x ln x )′f (x )(x ln x )2>0，得(f (x )x ln x )′>0，显然该不等式对∀x ∈(1,+∞)恒成立.设函数g (x )=f (x )x ln x，则g ′(x )>0，所以函数g (x )在(1,+∞)上单调递增.所以g (2)<g (4)<g (8)，即f (2)2ln 2<f (4)4ln 4<f (8)8ln 8，变形得f (2)2ln 2<f (4)8ln 2<f (8)24ln 2，可得f (8)>3f (4)>12f (2).故选C.根据已知条件和对数函数的求导公式(log a x )′=1x ln a，得到(x ln x )′=1+ln x ，便可根据导数的运算法则(uv )′=u ′v +uv ′和(u v )′=u ′v -uv ′v 2，将不等式进行变形、化简，进而构造出函数g (x )=f (x )x ln x，利用函数的单调性即可解题.例4.已知函数f (x )是定义在(-π2,π2)上的可导函数，且f ′(x )cos x +f (x )sin x >0恒成立，那么下列不等式不成立的是（）.A.2f (π3)<f (π4)B.2f (-π3)<f (-π4)C.f (0)<2f (π4) D.f (0)<2f (π3)解：将f ′(x )cos x +f (x )sin x >0变形，得f ′(x )cos x -f (x )(cos x )′(cos x )2>0，即(f (x )cos x )′>0，设g (x )=f (x )cos x，得g ′(x )>0，所以函数g (2)在(-π2,π2)上单调递增.因为-π2<-π3<-π4<0<π4<π3<π2，所以f (-π3)cos(-π3)<f (-π4)cos(-π4)<f (0)cos 0<f (π4)cos π4<f (π3)cos π3，化简得2f (-π3)<2f (-π4)<f (0)<2f (-π4)<2f (π3)，所以A 选项不正确.故本题选A.由f ′(x )cos x +f (x )sin x >0的结构特征，可联想到三角函数的求导公式(cos x )′=-sin x 以及导数的运算法则(uv )′=u ′v +uv ′，将不等式进行变形、化简，便可构造出新函数g (x )=f (x )cos x.例5.设定义在R 上的函数f (x )是连续可导函数，对任意的x ∈R 都有f (x )+f (-x )=2x 2.当x ∈(0,+∞)时，f ′(x )<2x .若不等式f (2-a )-f (a )≥4-4a 成立，则实数a 的取值范围是（）.A.(0,1]B.[1,2)C.(-∞,1]D.[1,+∞)解：当x ∈(0,+∞)时，根据不等式f ′(x )<2x ，可得f ′(x )-2x <0，再变形得f ′(x )-(x 2)′<0，即(f (x )-x 2)′<0.设函数g (x )=f (x )-x 2，则g ′(x )<0，所以函数g (x )在(0,+∞)上单调递减.因为对任意的x ∈R 都有f (x )+f (-x )=2x 2，所以g (x )+g (-x )=f (x )-x 2+f (-x )-(-x )2=0，所以函数g (x )是R 上的奇函数.因为f (x )是连续函数，所以函数g (x )在R 上单调递减.不等式f (2-a )-f (a )≥4-4a 可变形为f (2-a )-(2-a )2≥f (a )-a 2，即g (2-a )≥g (a ).由函数g (x )的单调性可知2-a ≤a ，解得a ≥1.故选D.根据已知条件f ′(x )<2x ，可知需要利用指数函数的求导公式(x 2)′=2x 以及导数的运算法则(u ±v )′=u ′±v ′，将不等式变形并化简，进而构造函数g (x )=f (x )-x 2，分析其函数的单调性、奇偶性，即可解题.对于本题，还可以将f (x )+f (-x )=2x 2变形为f (x )-x 2+f (-x )-(-x )2=0，再根据f (x )-x 2与f (-x )-(-x )2的结构特征构造函数g (x )=f (x )-x 2.导数问题侧重于考查一些常见的求导公式与导数的四则运算法则(u ±v )′=u ′±v ′，(uv )′=u ′v +uv ′，(u v )′=u ′v -uv ′v2的灵活应用.导数问题较为复杂，同学们不仅要灵活运用导数和函数知识，还需培养数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力，才能轻松解题.（作者单位：甘肃省河州中学教育集团附属中学）备考指南55。
合理构造函数妙解导数问题.
合理构造函数妙解导数问题构造法是解决导数问题的重要方法之一，许多导数问题的解决需要巧妙的构造函数，如何构造函数显得非常重要在解决问题中，下面剖析几例。
一．特征构造例1（2018•银川二模）f （x ）是定义在非零实数集上的函数，f ′（x ）为其导函数，且x＞0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，记a=0.20.2(2)2f ，b=22(0.2)0.2f ，c=22(log 5)log 5f ，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a【分析】令g （x ）=()f x x，通过求导得到g （x ）的单调性，从而解决问题． 解：令g （x ）=()f x x，则g '（x ）=2()()xf x f x x -'， ∵x ＞0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，∴g （x ）在（0，+∞）递减，又2log 5＞2log 42=，1＜0.22＜2，20.2=0.04，∴2log 5＞0.22＞20.2，∴g （2log 5）＜g （20.2）＜g （0.22），∴c ＜a ＜b ，故选：C ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查了导数的应用，考查了指数，对数的性质，解决本题的关键是根据所比较的三个数，合理构造函数，利用函数的单调性比较大小即可。
二．变形后构造函数例2. （2018•合肥二模）定义在R 上的偶函数f （x ）的导函数为f '（x ），若对任意的实数x ，都有2f （x ）+xf '（x ）＜2恒成立，则使x 2f （x ）﹣f （1）＜x 2﹣1成立的实数x 的取值范围为（ ）A ．{x|x ≠±1}B ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ．（﹣1，1）D ．（﹣1，0）∪（0，1）【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x ＜0的取值范围．解：当x ＞0时，由2f （x ）+xf ′（x ）﹣2＜0可知：两边同乘以x 得：2xf （x ）﹣x 2f ′（x ）﹣2x ＜0设：g （x ）=x 2f （x ）﹣x 2，则g '（x ）=2xf （x ）+x 2f '（x ）﹣2x ＜0，恒成立：∴g （x ）在（0，+∞）单调递减，由x 2f （x ）﹣f （1）＜x 2﹣1∴x 2f （x ）﹣x 2＜f （1）﹣1，即g （x ）＜g （1），即x ＞1；当x ＜0时，函数是偶函数，同理得：x ＜﹣1综上可知：实数x 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B【点评】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，解决本题需要注意对x 的讨论。
合理构造函数解导数问题
构造函数法构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。
一、移项法构造函数【例1】已知函数x x x f −+=)1ln()(，求证：当1−>x 时，恒有x x x ≤+≤+−)1ln(111分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(−+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+−=−+=′x xx x f ∴当01<<−x 时，0)(>′x f ，即)(x f 在)0,1(−∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<′x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(−，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞−上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1−>x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤−+x x ∴x x ≤+)1ln(（右面得证），现证左面，令111)1ln()(−+++=x x x g ，22)1()1(111)(+=+−+=′x xx x x g 则当0)(,),0(;0)(,)0,1(>′+∞∈<′−∈x g x x g x 时当时，即)(x g 在)0,1(−∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞−上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1−>x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥−+++x x ∴111)1ln(+−≥+x x ，综上可知，当xx x x ≤+≤−+−>)1ln(111,1有时【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f +=求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题，即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F −=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明：)(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
合理构造函数解导数问题
合理构造函数解导数问题从近几年的高考命题分析，高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题，考查函数、导数的基础知识和基本方法.近年的高考命题中的解答题将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。
在内容上日趋综合化，在解题方法上日趋多样化. 解决这类有关的问题，有时需要借助构造函数,以导数为工具构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。
例1：已知函数()()ax x x ax x f --++=231ln . (1) 若32为()x f y =的极值点，求实数a 的值； (2) 若()x f y =在[)+∞,1上增函数，求实数a 的取值范围； (3) 若1-=a 时，方程()()xbx x f =---311有实根，求实数b 的取值范围。
解：（1）因为32=x 是函数的一个极值点，所以0)32(='f ，进而解得：0=a ，经检验是符合的，所以.0=a（2）显然(),2312a x x ax ax f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立，所以0≥a 且01≥+ax a 。
同时a x x --232此函数是31<x 时递减，31>x 时递增， 故此我们只需要保证()02311≥--++='a a af ，解得：.2510+≤≤a （3）方法一、变量分离直接构造函数解：由于0>x ，所以：()2ln x x x x b -+=32ln x x x x -+=()2321ln x x x x g -++=' ()xx x x x x g 1266212---=-+='' 当6710+<<x 时，(),0>''x g 所以()x g '在6710+<<x 上递增； 当671+>x 时，(),0<''x g 所以()x g '在671+>x 上递减； 又(),01='g ().6710,000+<<='∴x x g当00x x <<时，(),0<'x g 所以()x g 在00x x <<上递减； 当10<<x x 时，(),0>'x g 所以10<<x x 上递增； 当1>x 时，(),0<'x g 所以()x g 在1>x 上递减； 又当+∞→x 时，(),-∞→x g()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-+=-+=41ln ln ln 232x x x x x x x x x x x g当0→x 时，,041ln <+x 则(),0<x g 且()01=g ∴b 的取值范围为(].0,∞-()xx x x x x g 1266212---=-+=''，()2321ln x x x x g -++='，()32ln x x x x x g -+=方法二、构造：()2ln x x x x G -+=()()()xx x x x x x x x x x x G 112121221122-+-=---=++-=-+=' 0>x 10<<∴x ()0>'x G 从而()x G 在()1,0上为增函数；(),0,1<'>x G x 从而()x G 在()+∞,1上为减函数()()01=≤∴G x G 而0>x ()0≤⋅=∴x G x b 0≤∴b分析点评：第（3）问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。
导数中的构造函数(最全精编)
导数中的构造函数(最全精编)导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想。
在导数题型中，构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现。
下面我将分享导数小题中构造函数的技巧。
一）利用 $f(x)$ 进行抽象函数构造1、利用 $f(x)$ 与 $x$ 构造；常用构造形式有 $xf(x)$ 和$\frac{f(x)}{x}$。
在数导数计算的推广及应用中，我们对 $u\cdot v$ 的导函数观察可得，$u\cdot v$ 型导函数中体现的是“加法”，$\frac{u}{v}$ 型导函数中体现的是“除法”。
由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“加法”形式时，优先考虑构造$u\cdot v$ 型；当导函数形式出现的是“除法”形式时，优先考虑构造 $\frac{u}{v}$ 型。
我们根据得出的“优先”原则，看一看例1和例2.例1】$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，当$x0$ 的解集为？思路点拨：出现“加法”形式，优先构造 $F(x)=xf(x)$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。
解析】构造 $F(x)=xf(x)$，则 $F'(x)=f(x)+xf'(x)$。
当$x0$ 的解集为 $(-\infty,-4)\cup(0,4)$。
例2】设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且$f(1)=2$。
当 $x0$ 恒成立。
则不等式 $f(x)>0$ 的解集为？思路点拨：出现“除法”形式，优先构造$F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。
解析】构造 $F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，则$F'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{(x-f(x))^2}$。
因为 $xf'(x)-f(x)>0$，所以 $F'(x)>0$，$F(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增。
构造函数求导题型常见模型
构造函数求导题型常见模型一、引言在高等数学中，构造函数求导是一个非常重要的概念。
该概念在微积分、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍构造函数求导的常见模型，并提供一个全面详细的函数。
二、构造函数求导模型1. 复合函数求导复合函数是由两个或多个函数组成的函数。
对于复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
具体而言，如果f(x)和g(x)都可导，则复合函数h(x)=f(g(x))也可导，并且其导数为h'(x)=f'(g(x))g'(x)。
2. 反函数求导反函数是指如果f(x)在区间I上单调递增（或单调递减）且连续，则存在其反函数g(y)，使得g(f(x))=x（或f(g(y))=y）。
对于反函数，我们可以使用公式g'(y)=1/f'(x)，其中x=f(y)。
3. 参数方程求导参数方程是指将一个曲线用两个参数表示出来，即x=f(t)和y=g(t)，其中t为参数。
对于参数方程，我们可以使用链式法则来求导。
具体而言，如果x=f(t)和y=g(t)都可导，则曲线的切线斜率为dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=g'(t)/f'(t)。
4. 隐函数求导隐函数是指将一个方程用x和y表示出来，即F(x,y)=0。
对于隐函数，我们可以使用隐函数求导法来求导。
具体而言，我们可以将F(x,y)=0两边同时对x求导，并使用链式法则来计算dy/dx。
三、构造函数求导常见问题及解决方法1. 忘记使用链式法则对于复合函数、参数方程和隐函数，我们需要使用链式法则来计算其导数。
如果忘记使用链式法则，则无法正确计算导数。
2. 计算错误在进行复杂的计算时，容易出现计算错误。
因此，在进行构造函数求导时，需要仔细检查每一步的计算结果，并避免粗心大意。
3. 求解不完整有时候，在进行构造函数求导时，可能会漏掉某些情况。
因此，在进行构造函数求导时，需要考虑所有可能的情况，并确保没有遗漏。
高中数学理科专题讲解《在导数应用中如何构造函数》教学课件
max
≤a,令
F(x)=-1 + 2 -1.
ln
例 5 已知函数 f(x)=ax-
ln
分析由 f(x)≥0 得 axln
设 g(x)=
2
.
,a∈R.若 f(x)≥0,求 a 的取值范围;
ln
≥0,即 a≥ 2 .
-5-
5.特征构造法
ln (+1)
例 6 若 x>0,证明:
9.做差与分离变量的综合构造法
例11已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x(a∈R),g(x)=(1-a)x,若
∃x0∈[1,e]使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.
分析不等式f(x)≥g(x)在区间[1,e]上有解,即x2-2x+a(ln x-x)≥0在
区间[1,e]上有解.
式的相关知识来解决问题的方法.
例 12 已知函数 g(x)=xln x,设 0<a<b,证明 0<g(a)+g(b)-2g
a)ln 2.
证明对 g(x)=xln x 求导,g'(x)=ln x+1.
在 g(a)+g(b)-2g
+
中以 b 为主元构造函数,
2
设 F(x)=g(a)+g(x)-2g
则 F'(x)=g'(x)-2
2
> .
2
e -1
> 2,
只需证 e -1>xe ,
x
令 F(x)=ex-1-xe =ex-x( e)x-1,
F'(x)=ex-( e)x-x( e)xln e
构造函数解决高考导数问题
构造函数解决高考导数问题导数大题是全国各地的高考试卷中必考的一道压轴题，主要考查利用导数讨论原函数的单调性和单调区间，通过讨论将其转化为最值问题，着重考查分类讨论思想，对分类讨论的原因和讨论流程的要求较高．解题的关键在于讨论之后如何将问题精准地转化为最值问题，以得到我们所需的式子或结果．导数问题的难点在于分类讨论和最值的转化，通常在进行分类讨论或者转化为函数的最值问题之前，函数形式或者可转化为函数形式的式子比较复杂，因此我们需要进行相应的构造函数工作，把函数形式变得更加简单，其中最重要的就是函数形式的转换，本文把利用构造函数解决导数问题这类题型进行了总结，如下。
题型一直接作差构造函数方法总结：在导数问题中，这类题型是最一般的情况. 如果要证明涉及一个变量、两个函数的不等式成立，或者不等式可转化为利用一个函数来证明，可通过移项构造一个新的函数来解决，关键是对于如练习中所描述的某函数图象恒在另一个函数图象的上方或者下方，或者函数图象与某直线无交点（即函数图象恒在某直线的上方或下方）等进行正确的条件转化.题型二分离函数构造函数当要证明的不等式两边含有有理函数和超越函数的乘积或商的形式时，我们需要把这两种形式的函数分离之后再来研究，这样在解决具体问题时，对于超越函数的性质研究和求取最值就会变得简单.方法总结：我们在研究这样的不等式时，往往需要对函数的形式进行处理，先把不等式两边含有有理函数和超越函数的乘积或者商的这两种形式分离，然后再研究函数的性质. 对于高中而言，常见的超越函数和有理函数之间的叠加主要有以下几种：当遇到这类函数时，应优先使用分离策略，即先把不等式两边含有有理函数和超越函数的乘积或者商的形式分离，简化函数的形式，再进行研究.题型三从导函数特征入手构造原函数方法总结：我们总结了以上的导数形式进行转化，总体的目标是构造已有的函数来取代题目中比较复杂的式子，以得到我们所需要的形式方便解题.题型四换元法构造函数证明方法总结：在证明类似问题时需要抽象出变量，然后利用换元，将整数变量的形式转化为一个函数的自变量的形式.题型五消参换元构造函数在证明不等式中的某一步时，当遇到式子比较复杂的情况，我们可以在其中的一步通过构造新的函数自变量来替代较为复杂的参数，以达到证明的目的。
高中数学合理构造函数,巧解导数难题
文件来自数学教研QQ 群545423319 第三期精品微专题共享计划合理构造函数 巧解导数难题郑州市第四十四中学 苏明亮近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法作差构造法，是处理导数问题的最基本、最常用的方法．此法一般构造函数()()()F x f x g x =-，进而转化为求函数min ()0F x ≥（或max ()0F x ≤）即求函数的最值问题．1．直接作差构造 例1（2013年高考全国新课标Ⅰ卷理科第21题）已知函数()2f x x ax b =++， ()()x g x e cx d =+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（Ⅰ）求,,,a b c d 的值；（II ）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．解：（Ⅰ）4,2,2,2a b c d ==== ．（II ）由（1）知，()242f x x x =++，()2(1)x g x e x =+．设函数()2()()2(1)42x F x kg x f x ke x x x =-=+---，则()'2(2)242(2)(1)x x F x ke x x x ke =+--=+-，有题设知()00F ≥且()20F -≥， 从而得21k e ≤≤．令()'120ln ,2F x x k x ==-=-得．（i ） 若211,20.k e x ≤<-<≤则从而当1(2,)x x ∈-时，()'0F x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0F x >，即()F x 在1(2,)x -上单调递减，在1(,)x +∞上单调递增， 故()F x 在[2,)-+∞上的最小值为()1F x ．而()21111112242(2)0F x x x x x x =+---=-+≥．故当2,()0,()()x F x f x kg x ≥-≥≤时即恒成立.（ii ） 若2'22,()2(2)()x k e x e x e e -==+-则F ．从而当'2,()0,()(2,)x F x F x >->-+∞时即在上单调递增，而(-2)=0,2()0,()()F x F x f x kg x ≥-≥≤故当时，即恒成立.综上，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造例2（山西省2015届高三第三次四校联考理科第21题（Ⅱ））设函数1()x e f x x-=.证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()1f x a -<成立. 证明：1()1x e x f x x---=，不等式()1f x a -<可化为(1)10x e a x -+-<. 令()(1)1x G x e a x =-+-，'()(1)x G x e a =-+，由'()0G x =得：ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，'()0G x <，当ln(1)x a >+时，'()0G x >，所以min ()(ln(1))(1)ln(1)G x G a a a a =+=-++.令()ln 1t t t t ϕ=--，其中11t a =+>，易证()ln 10(1)t t t t t ϕ=--<>，即min ()(1)ln(1)0G x a a a =-++<.故存在正数ln(1)x a =+，使不等式()1f x a -<成立.评注：本题首先对()1f x a -<进行等价变形转化，构造函数()(1)1x G x e a x =-+-求其最小值，从而转化为仅仅关于字母a 的函数，再构造函数()ln 1t t t t ϕ=--（1t a =+），把一个复杂的函数不等式转化为求两个简单函数的最值问题.二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．例3（山西省太原市2015年高三模拟理科第21题（Ⅰ)）已知函数1()(2)(1)2,()(,x f x a x lnx g x xe a R e -=---=∈为自然对数的底数），若不等式 ()0f x >对于一切1(0,)2x ∈恒成立，求实数a 的最小值． 解：有题意得(2)(1)2n 0a x l x --->在1(0,)2上恒成立， 即221lnx a x >--在1(0,)2上恒成立．设2()21lnx h x x =--，1(0,)2x ∈， 则'2222()(1)lnx x h x x +-=-．设2()22x lnx x ϕ=+-，1(0,)2x ∈，则'222()0x x xϕ=-<， 所以1()(0,)2x ϕ在上是减函数，从而1()()22202x ln ϕϕ>=->，所以'()0h x >， 则1()(0,)2h x 在上为增函数，所以1()()2422h x h ln <=-，即242a ln ≥-．故实数a 最小值为242ln -．评注：在用此法求解问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数，先转化为()()f x g a ≥（或()()f x g a ≤）对x D ∀∈恒成立，再转化为min ()()f x g a ≥（或max ()()f x g a ≤）对x D ∀∈恒成立；第二关是求最值关，即求函数()f x 在区间D 上的最小值（或最大值）．三、局部构造法若函数()F x 比较复杂，直接求导会更复杂，使解题无法进行下去，这时可将函数()F x 化成()= f ()()(f ()())F x x g x x g x +或，其中f ()()x g x 或有一个可明显判断出是否大于零，而另一个函数式又远比()F x 简单，这样就可以做局部处理，对这个函数进行求导，判断其单调性，使问题迎刃而解．1．化和局部构造例4（2014年高考全国新课标Ⅱ卷文科第21题）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．分析：由曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点可以转化为函数32()()23(1)4g x f x kx x x k x =-+=-+-+有且只有一个零点．一般思路往 往利用导数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致图像，再说明与x 轴只有一个交点即可．本题中由1k <易得'()0g x >且(1)10g k -=-<，(0)40g =>，所以()0g x =在(,0]-∞上有唯一实根．则接下来只需说明当0x >时()0g x =无实根即可，记32()3(1)4()g x x x k x h x x ϕ=-+-+=+（）， 而()(1)0x k x ϕ=->，因此只需证明32()340(0)h x x x x =-+≥>即可．2．化积局部构造例5（2012年高考山东卷理科第22题)已知函数ln ()xx k f x e +=（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数，证明：对任意20,()1x g x e -><+.解（Ⅰ）1k =.（Ⅱ）()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞.（Ⅲ）221ln 1()()'()()(1ln )(0)x x x x x x g x x x f x x x x x x x xe e --+=+=+=-->. 令()1ln h x x x x =--，1()(0)x x k x x e +=>，从而()()()g x h x k x =. 易求得()h x 在2(0,)e -内单调递增，在2(,)e -+∞内单调递减，所以22max ()()1h x h e e --=+；易证1(0)x e x x >+>，即101x x e +<<. 故对任意210,()(1ln )()()()1x x x g x x x x h x k x h x e e-+>=--=<≤+. 评注：本题第（Ⅲ）问的常规思路是对函数()g x 求导进而求其最大值，但求导后发现导函数'()g x 表达式非常复杂，很难找出零点，进而无法确定单调区间，于是构造函数()()()g x h x k x =，即将()g x 转化为两个函数的乘积，分别求出()()h x k x 和的上限，这样大大降低了问题的求解难度，使问题迎刃而解.化积局部构造法在处理较复杂的导数问题时应用较多，平时应注意总结.四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．例6（2013年高考陕西卷理科第21题（Ⅲ））已知函数()e ,x f x x =∈R ．设a b <, 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由． 解法1：()()()()22b a b af a f b f b f a e e e e b a b a+-+--=--- 22[()22]2()2()b a b a b a ab a b a be be ae ae e e e b a e b a e b a b a --+---+==-+--+--， 设函数()22(0)x x g x xe x e x =+-+≥，则'()1x x g x xe e =+-．令()'()h x g x =，则'()0x x x x h x xe e e xe =+-=≥（当且仅当0x =时等号成立），所以'()g x 单调递增，所以当0x >时，'()'(0)0g x g >=，所以()g x 单调递增．当0x >时，()(0)0g x g >=．令x b a =-，则得()220b a b a b a eb a e ---+--+>，所以02b a b a e e e e b a +-->-， 所以()()()()2f a f b f b f a b a+->-． 解法2：可以证明()()()()2f a f b f b f a b a +->-．事实上，()()()()2f a f b f b f a b a+->⇔- 1()2221a b b a b a b a a b b a e e e e b a e e b a e b a b a e e e --+----->⇔>⇔>>-++． 令(0)x b a x =->，设函数1()(0)12x x e x x x e ϕ-=->+， 由于22221(1)'()0(1)22(1)x x x x e e x e e ϕ-=-=-<++，所以()x ϕ在(0,)+∞上递减． 因此，当0x >时，()(0)0x ϕϕ<=，即112x x e x e -<+，亦即112b a b a e b a e ----<+， 所以2a b b a e e e e b a +->-，即()()()()2f a f b f b f a b a+->-． 评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母,a b 变出统一的一种结构b a -（或b a e -），然后用辅助元t 将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元t 为自变量构造函数，利用导数来来求解，其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.例7（2004年高考全国卷理科第22题（Ⅱ））已知函数()ln(1)f x x x =+-，()ln g x x x =．设0a b <<,证明 ：0()()2()()ln 22a b g a g b g b a +<+-<-. 分析：所证不等式中有两个变量,a b ，从中选一个为自变量，另一个看成常数，构造相应函数，通过求解函数最值证明原不等式．证明：对()ln g x x x =求导,则()ln 1g x x =+.在()()2()2a b g a g b g ++-中以b 为主元构造函数, 设()()()2()2a x F x g a g x g +=+-,则''()'()2[()]ln ln 22a x a x F x g x g x ++=-=-. 当0x a <<时，'()0F x <,因此()F x 在(0,)a 内为减函数，当x a >时,'()0F x >,因此()F x 在(,)a +∞上为增函数，从而当x a =时, ()F x 有极小值()F a .因为()0,F a b a =>，所以()0F b >,即()()2()02a b g a g b g ++->. 设()()()ln 2G x F x x a =--，则'()ln ln ln 2ln ln()2x a G x x x x a +=--=-+， 当0x >时,'()0G x <.因此()G x 在(0,)+∞上为减函数.因为()0,G a b a =>，所以()0G b <,即()()2()()ln 22a b g a g b g b a ++-<-. 评注：本题以b 为主元构造函数，当然也可以以a 为主元构造函数，方法类似，读者不妨一试.对于例6我们也可以用主元策略进行求解，解法如下：例6另解： ()()()()22b a b a f a f b f b f a e e e e b a b a +-+--=---222()b a b a b abe be ae ae e e b a +---+=- ()22b a b a b a a be be ae ae e e ϕ=+---+，()a b <，则'()(1)2(1)a b a a a ba be e a e eb a e e ϕ=--++=-+-，又''()()a a b a e ϕ=-，由b a >，有''()0a ϕ>，从而函数'()a ϕ在(,)b -∞上为增函数，所以'()'()0b b a b e e ϕϕ<=-=，故函数()a ϕ在(,)b -∞上为减函数.因此()()0a b ϕϕ>=，即()()()()2f a f b f b f a b a +->-.. 六、特征构造法1．根据条件特征构造例8（2014年高考陕西卷文科第21题（Ⅲ））设函数()ln ,m f x x m R x=+∈． 若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围．解：对任意的()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立，等价于()()f b b f a a -<-恒成立．（＊） 设()()ln (0)m h x f x x x x x x=-=+->， 所以（＊）等价于()h x 在(0,)+∞上单调递减． 由21'()10m h x x x =--≤在(0,)+∞上恒成立， 得2211()(0)24m x x x x ≥-+=--+>恒成立， 所以14m ≥（对14m =，'()0h x =仅在12x =时成立）， 所以m 的取值范围是1[,)4+∞．评注：本题通过对()()1f b f a b a-<-进行等价变形为()()f b b f a a -<-，该不等式两边有相似的结构特征，于是构造函数()()h x f x x =-，从而转化为我们熟悉的已知函数单调性求参数的范围问题，使问题轻松得以解决．2．根据结论特征构造例9（河南八校2015届高三一联理科第21题）己知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++ ．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4f x f x x x -≥-．（Ⅰ） 略 解：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递增，当1a ≤-时，()f x 在(0,)+∞单调递减，当10a -<<时，()f x 在10,2a a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减． （Ⅱ）证明：不妨设12x x ，而2a ≤-，由（1）知()f x 在(0,)+∞单调递减，从而对任意12(0,)x x ∈+∞、，1212()()4f x f x x x --⇔1221()()4()f x f x x x --⇔1122()4()4f x x f x x ++，令()()4g x f x x =+， （＊）2221241441(21)'()240a ax x a x x x g x ax x x x x++++-+---=++=≤=≤则． 故()g x 在(0,)+∞单调递减，有（＊）式成立，得证．评注：本题中观察到待证不等式1122()4()4f x x f x x ++两边有相似结构，于是构造函数()()4g x f x x =+，然后利用此函数的单调性来寻求突破口．在根据特征构造函数时，需要有较强的观察和联想能力，灵活地针对不同的特征构造出相应的函数，这也需要我们平时注意积累，掌握一些常见解题模式，再如2014年高考江苏卷第19题：比较1a e -与1e a -的大小，只需比较1a -与(1)ln e a -的大小（根据特征同时取对数），然后构造函数()(1)ln 1g x e x x =--+，研究其最值即可．七、放缩构造法如若待求的函数式较复杂（或含有参数），可先将该函数式的一部分，利用函数单调性、基本不等式、已证不等式等进行放缩（或消参），使之简化，即要证()g()f x x <⇔()()g()f x h x x <<（或()g()f x x >⇔()()g()f x h x x >>）． 1．由基本不等式放缩构造例10（2012年高考辽宁卷理科第21题）设()ln(1)1(,,,)f x x x ax b a b R a b =+++++∈为常数，曲线()y f x =与直线32y x =在(0，0)点相切. (Ⅰ)求,a b 的值；(Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6x f x x <+. 解：(Ⅰ)0,1a b ==-.(Ⅱ)由均值不等式，当0x >时，2(1)12x x +<+112x x ++. 所以()ln(1)11ln(1)2x f x x x x =++<++ 记9()ln(1)26x x h x x x =++-+， 则2221154(1536)'()12(6)2(1)(6)x x x h x x x x x +-=+-=++++. 当02x <<时，'()0h x <，所以()h x 在(0,2)内是减函数.故又由()(0)0h x h <=，所以9ln(1)26x x x x ++<+，即9ln(1)116x x x x +++<+， 故当02x <<时，9()6x f x x <+. 评注：本题第(Ⅱ)问若直接构造函数9()()6x h x f x x =-+，对()h x 进行求导，由于'()h x 中既有根式又有分式，因此'()h x 的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对1x +解决.112x x +<+，亦即是将抛物线弧1y x =+直线段12x y =+，而该线段正是抛物线弧1y x =+(0,1)处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问题的常用方法，当然本题也可以先构造函数求导，再用基本不等式放缩.2．由已证不等式放缩构造例11（2013年高考辽宁卷理科第21题）．已知函数()()()321,12cos .2x x f x x e g x ax x x -=+=+++ 当[]0,1x ∈时，（I ）求证：()111x f x x-≤≤+ ； （II ）若()()f x g x ≥ 恒成立，求参数 a 的取值范围．解：（I ）略．（II ）()()()3321(12cos )112cos 22x x x f x g x x e ax x x x ax x x --=+-+++≥----- 2(12cos )2x x a x =-+++． 设2()2cos 2x G x x =+，则'()2sin G x x x =-．记()2sin H x x x =-， 则'()12cos H x x =-．当(0,1)x ∈时，'()0H x <，于是'()G x 在[]0,1上是减函数，从而当(0,1)x ∈时，''()(0)0G x G <=，故()G x 在[]0,1上是减函数．于是()(0)2G x G ≤=，从而1()3a G x a ++≤+．所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥ 在[]0,1上恒成立．下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥ 在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -≤----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 21(2cos )12x x a x x =-++++， 记211()2cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++，则''21()()(1)I x G x x -=++，当(0,1)x ∈时，'()0I x <，故()I x 在[]0,1上是减函数，于是()I x 在[]0,1上的值域[12cos1,a 3]a +++．因为当3a >-时，30a +>，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0I x >，此时()()00f x g x <，即()()f x g x ≥ 在[]0,1上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞．评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决（笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0 0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则）；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．(《数学通讯》2015年第6期)。
导数中的构造函数方法
导数中的构造函数方法导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在其中一点上的变化率。
构造函数方法是一种在解析导数时使用的技巧，通过构造一个函数来分析导数的性质。
下面将详细介绍导数中的构造函数方法。
构造函数方法的基本思想是通过构造一个辅助函数来研究原函数的性质。
这个辅助函数可以是原函数的函数值、斜率、面积等。
下面我们将分别介绍几种常见的构造函数方法。
1.构造原函数的函数值：这种方法适用于已知函数在一些特殊点的函数值的情况。
比如，已知函数在其中一点的函数值为1，我们可以构造一个辅助函数f(x)=f(x)-1，然后通过对这个函数求导来研究原函数的性质。
2.构造原函数的斜率：这种方法适用于已知函数在一些特殊点的斜率的情况。
比如，已知函数在其中一点的斜率为2，我们可以构造一个辅助函数f(x)=2x-f(x)，然后通过对这个函数求导来研究原函数的性质。
3.构造原函数的面积：这种方法适用于已知函数在一定范围内的面积的情况。
比如，已知函数在区间[a, b]内的面积为1，我们可以构造一个辅助函数f(x)=∫abf(t)dt-1，然后通过对这个函数求导来研究原函数的性质。
构造函数方法的使用需要注意以下几点：1.构造函数需要满足可导性：为了能够对辅助函数求导，构造的函数必须满足可导的条件。
因此，在构造函数的过程中需要确保函数在所研究区间内是可导的。
2.构造函数要反映原函数的性质：辅助函数的形式和原函数的性质应该有一定的关联，这样才能够通过对辅助函数求导来研究原函数的性质。
3.构造函数方法的局限性：构造函数方法是一种辅助手段，用于求解导数时的特殊情况。
并不是所有的导数问题都适用构造函数方法，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
总结起来，构造函数方法是一种在解析导数时使用的技巧，通过构造一个辅助函数来研究原函数的性质。
通过构造原函数的函数值、斜率、面积等来分析导数的性质，可以帮助我们更好地理解导数的概念和应用。
然而，构造函数方法并不是通用的求导方法，只能用于特定情况下，因此在实际应用中需要灵活选择合适的方法。
导数压轴题十种构造方法大全以及解题方法导引
导数压轴题十种构造方法大全以及解题方法导引方法一 等价变形，转化构造 方法导读研究函数的性质是高考压轴题的核心思想，但直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变形，通过恒等变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果。
方法导引例1 已知函数f(x)=a e x (a ∈R )，g(x)=lnx x+1.（1）求函数g(x)的极值；（2）当a ≥1e 时，求证：f(x)≥g(x). 解析:（1）由g (x )=ln x x+1，得g ′(x )=1−ln x x 2，定义域为(0,+∞).令g ′(x )=0，解得x =e ， 列表如下：结合表格可知函数g (x )的极大值为g (e )=1e +1，无极小值. （2）要证明f (x )≥g (x )，即证ae x ≥ln x x+1，而定义域为(0,+∞)，所以只要证axe x −ln x −x ≥0，又因为a ≥1e，所以axe x −ln x −x ≥1exe x −ln x −x ， 所以只要证明1e xe x −ln x −x ≥0.令F (x )=1e xe x −ln x −x ，则F ′(x )=(x +1)(e x−1−1x )， 记ℎ(x )=e x−1−1x ，则ℎ(x )在(0,+∞)单调递增且ℎ(1)=0，所以当x ∈(0,1)时，ℎ(x )<0，从而F ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x )>0，从而F ′(x )>0，即F (x )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，F (x )≥F (1)=0. 所以当a ≥1e 时，f (x )≥g (x ).例2已知a ∈R ，a ≠0，函数f (x ) =e ax -1-ax ，其中常数e =2.71828.（1）求f (x ) 的最小值；（2）当a ≥1时，求证:对任意x >0 ，都有xf (x ) ≥ 2ln x +1-ax 2. 解析：（1）因为()1ax f x eax -=-，则()()11ax f x a e -'=-，()210ax f x a e -'=>'故()f x '为R 上的增函数，令()0f x '=，解得1x a= 故当()1,,0x f x a ⎛⎫∈-∞< '⎪⎝⎭，()f x 单调递减； 当()1,,0x f x a ⎛⎫∈+∞>'⎪⎝⎭，()f x 单调递增， 则()10min f x f a ⎛⎫==⎪⎝⎭故函数()f x 的最小值为0.（2）证明：要证明xf (x ) ≥ 2ln x +12ax - 等价于证明121ax xe lnx -≥+由（1）可知：10ax e ax --≥，即1ax e ax -≥ 因为0x >，故12ax xe ax -≥ 故等价于证明221ax lnx ≥+即()2210,0,ax lnx x --≥∈+∞令()221g x ax lnx =--，即证()()0,0,g x x ≥∈+∞恒成立.又())21122g x ax x x+-=-='令()0g x '=，解得x =故当(),0x g x⎛'∈< ⎝，()g x 单调递减； 当(),0x g x⎫∈+∞>'⎪⎭，()g x 单调递增；故()2g x g lna≥== 有因为1a ≥，故0lna ≥ 故()0g x lna ≥≥即证.即对任意x >0 ，都有xf (x ) ≥ 2ln x +1-ax 2. 方法二：构造常见典型函数 方法导读常见典型函数主要包括xlnx ，x/lnx ，lnx/x ; xe x ,xe x ,e x /x 等，通过变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果。
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数题目中应用较多，就是用新元去代替该函数中的局部（或所有）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目标．换元构造法是求解多变元导数压轴题的经常使用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造。
导数应用中的函数构造技巧
D.e2f(2)≤e3f(3)
答案 A
解析 令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,因此函数g(x)在R上单调递减,所
以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故选A.
[例2-4]若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e2x的
又f(2)=0,则F(-2)=F(2)=0,于是xf(x)>0可化为F(x)>F(-2)或F(x)>F(2),
则x<-2或0<x<2.故选D.
[例2-2](2021·河北正定一中模拟)设f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,且满足
xf'(x)-2f(x)>0,若△ABC是锐角三角形,则(
A.f(sin A)sin2B>f(sin B)sin2A
a
ln ln4
, 4
=
设函数
3
ln ln5
, 5
b
=
ln
f(x)= ,则
4
c
5
ln3
c,因此 3
=
ln
.
f(3)=f(a),f(4)=f(b),f(5)=f(c),由于
1-ln
f'(x)= 2 ,令
f'(x)=0,得
x=e,所以f(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,因为
π
3
<
,即
6
π
3
4
,f
合理构造函数,巧解导数难题
与 f (b) f (a) 的大小, 并说明理由． ba
解法
1：
f (a)
f (b)
f (b)
f
(a)
eb
ea
eb
ea
2
ba
2 ba
beb bea aeb aea 2eb 2ea ea [(b a)eba b a 2eba 2] ，
2(b a)
2(b a)
设函数 g(x) xex x 2ex 2(x 0) ，则 g '(x) xex 1 ex ．令 h(x) g '(x) ，
即 a 2 2lnx 在 (0, 1) 上恒成立．设 h(x) 2 2lnx ， x (0, 1) ，
x 1 2
x 1
2
则 h'(x)
2lnx 2 2 x
(x 1)2
．设(x) 2lnx
2 x
2 ， x (0, 1) ，则' (x) 2
2 x
2 x2
0，
所以(x)在(0, 1) 上是减函数，从而(x) (1) 2 2ln2 0 ，所以 h'(x) 0 ，
例 3（山西省太原市 2015 年高三模拟理科第 21 题（Ⅰ)）已知函数
f (x) (2 a)(x 1) 2lnx, g(x) xe1x (a R, e 为自然对数的底数），若不等式 f (x) 0 对于一切
x (0, 1) 恒成立，求实数 a 的最小值． 2
解：有题意得 (2 a)(x 1) 2l n x 0 在 (0, 1) 上恒成立， 2
1．化和局部构造
例 4（2014 年高考全国新课标Ⅱ卷文科第 21 题）已知函数 f (x) x3 3x2 ax 2 ，曲线 y f (x) 在点 (0, 2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 2 ．
导数与函数中构造函数的技巧
导数与函数中构造函数的技巧导数是微积分中一种重要的概念，它描述了函数在特定点上的变化率。
对于一个函数而言，它在不同点上的导数的值可以告诉我们函数的增长趋势以及拐点的位置等信息。
因此，研究导数的性质和计算方法对于函数的研究及应用有着重要的意义。
在构造函数的过程中，我们可以利用导数的性质和计算技巧来简化函数的表达形式，优化函数的性质或满足特定的需求。
下面是一些在构造函数时常用的技巧：1. 构造连续可导的函数：我们可以通过利用已知函数的性质以及导数的计算法则来构造连续可导的函数。
例如，我们可以通过将两个不同的函数分段组合成连续的函数，如$f(x)=\begin{cases} x^2, &x<0 \\ e^x, &x \geq 0 \end{cases}$。
在$x=0$处$f(x)$是连续的，并且在$x=0$处的导数也存在。
2. 构造可导函数的绝对值函数：对于函数$f(x)$，我们可以通过构造一个可导函数$g(x)$，使得$，f(x)，=g(x)$。
一种常用的方法是将$f(x)$平方后开根号得到$g(x)$，即$，f(x)，=\sqrt{f(x)^2}$。
这样，我们可以避免绝对值函数在$x=0$处的不可导性质。
3.利用导数的零点和极值点：函数的导数的零点和极值点可以帮助我们确定函数的拐点和极值。
因此，在构造函数时，我们可以利用导数的零点和极值点来确定函数的一些性质。
例如，如果我们想要构造一个具有单调递增性质的函数，可以考虑函数的导数始终大于等于零。
4.构造具有特定增长性质的函数：对于给定的正数$a$和$b$，我们可以通过构造函数$f(x)=a^x$或$f(x)=x^b$来满足特定的增长性质。
例如，如果我们想要构造一个具有指数增长性质的函数，可以选择$f(x)=2^x$，它的导数始终大于零，说明函数的增长率不断增加。
5. 构造可导函数的逆函数：对于可导函数$f(x)$，我们可以通过构造它的逆函数来满足特定的需求。
常见函数构造方法
常见函数构造方法函数是一组执行特定任务的语句的有序集合。
在计算机编程中，函数可以用来封装和重复使用代码，提高代码的可读性和可维护性。
函数可以带有参数和返回值，以便更加灵活地适应不同的需求。
在编程中，我们可以使用不同的方法来构造函数，以适应不同的编程语言和编写风格。
下面是一些常见的函数构造方法：1.函数定义和调用：-在大多数编程语言中，函数通常要先进行定义，然后才能进行调用。
定义函数时需要指定函数名、参数列表和返回值类型（可选）。
-调用函数时需要使用函数名和对应的参数列表。
函数的参数可以是实参（具体的值）或形参（变量名）。
2.参数传递方式：-值传递：将实参的值复制给形参，函数内对形参的修改不会影响实参的值。
-引用传递：将实参的地址传递给形参，函数内对形参的修改会影响实参的值。
-默认参数：可以为函数的参数指定默认值，在调用函数时可以选择不传递该参数，使用默认值。
3.函数重载：-函数重载是指在同一作用域内使用相同的函数名，但参数列表不同，以便实现对不同参数的处理。
-编译器可以根据参数的类型和个数自动选择合适的函数进行调用。
4.参数个数不固定：-可变参数：可以接受任意数量的参数。
在函数内部可以通过遍历参数数组或使用参数的位置来访问参数。
-参数列表：通过使用逗号分隔的参数列表，可以表示任意数量的参数。
5. 匿名函数和Lambda表达式：-匿名函数是一种没有名称的函数，可以直接使用。
- Lambda表达式是一种简洁的函数表示方式，通常用于定义匿名函数。
6.递归函数：-递归函数是一种直接或间接地调用自身的函数。
递归函数通常包含一个或多个基本情况（函数不再调用自身的情况）和一个或多个递归情况（函数继续调用自身的情况）。
7.高阶函数：-高阶函数是指可以接受另一个函数作为参数并/或返回一个函数的函数。
-高阶函数通常用于实现函数组合、函数柯里化和函数式编程等技术。
8.构造函数：- 构造函数是一种特殊的函数，用于创建和初始化对象。
导数中的构造函数(最全精编)
1、利用 f (x ) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x ),f (x )；这类形式是对u ⋅ v , u型数导数计算的推广及应用，我们对u ⋅ v , u的导函数观察可得知， u ⋅ v 型导函数中体现的是“ + ”法， u型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“ + ”法形式时，优先考虑构造u ⋅ v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造 u，我们根据得出的“优先”原则，看一看例 1，例 2.【例 1】 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，当 x < 0 时， f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，且f (-4) = 0 ，则不等式 xf (x ) > 0 的解集为【解析】构造 F (x ) = xf (x ) ，则 F ' (x ) = f (x ) + xf ' (x ) ，当 x < 0 时，f (x ) + xf ' (x ) < 0 ， 可以推出 x < 0 ， F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在(-∞,0) 上单调递减.∵ f (x ) 为偶函数， x 为奇函数， 所以 F (x ) 为奇函数， ∴ F (x ) 在 (0,+∞) 上也单调递减. 根据 f (-4) = 0 可得F (-4) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (x ) > 0 的解 集为(-∞,-4) ⋃ (0,4) .❀❀❀思路点拨：出现“ + ”形式，优先构造 F (x ) = xf (x ) ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想， 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。
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必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题
近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．
一、作差构造法
1．直接作差构造
评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．
2．变形作差构造
二、分离参数构造法
分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．
三、局部构造法
1．化和局部构造
2．化积局部构造
四、换元构造法
换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．
评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统
一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．
五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.
六、特征构造法1．根据条件特征构造
2．根据结论特征构造
七、放缩构造法
1．由基本不等式放缩构造
2．由已证不等式放缩构造
评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。