第一讲行列式的定义逆序

§1.1全排列及逆序数

1、二阶与三阶行列式

由二元线性方程组引入二阶行列式

⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a 利用消元法解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--=--=211222112111122211222111222211a a a a a b a b x a a a a a b a b x 21,x x 的分母记作

2112221122211211a a a a a a a a -= （1）称为线性方程组的系数行列式D 1x 的分子记作212221222

121

b a a b a b a b -==1D 2x 的分子记作2121211221111D b a b a b a b a =-=

若系数行列式0≠D ，则二元线性方程组有唯一解⎪⎩⎪⎨⎧==D

D x D D x 2211 同样的，对于三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++33332321

3123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ，当系数行列式0≠D 时有唯一解⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧===D D x D D x D D x 332211， 系数行列式

=D 111213212223112233122331132132112332122133132231

313233

a a

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 321,,D D D 是分别用常数项321,,

b b b 替换系数行列式的第一列，第二列，第三列得来

的。

2、排列：由1,2，…，n 组成的一个有序数组称为一个n 级全排列(简称为排列) 按照从小到大顺序排序的排列1,2，…，n ，称具有自然顺序

3、逆序：在一个排列中，如果某个较大的数排在一个较小的数前面(即不符合自然顺序)，则称这两个数（或者叫数对）构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。

一个排列n j j j 21的逆序数，一般记为)(21n j j j τ。

4、奇偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.

下面介绍逆序数的计算方法

不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数,并规定由小到大标准次序,设n p p p 21为这n 个自然数的一个排列,考虑元素),,2,1(n i p i =如果比i p 小的且排在i p 后面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t ，那么全体元素的逆序数之总和∑==+++=n

i i n t t t t t 121 即是这个排列的逆序数.

例1、计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性.

（1） 42531 （2）135…（2n-1）246…(2n)

解：（1）在排列42531中,4排在首位,逆序数为3;2的后面比2大小的数有一个,故逆序数为1;5是最大数,逆序数为2;3的后面比3小的数有1个，于是这个排列的逆序数为7)42531(=τ，因而是奇排列。

（2）同上，同理可得2

)1()2(246)12(135(--n n n n τ 因而当n=4k 或n=4k+1时为偶排列；当n=4k+2或n=4k++3时为奇排列。

§1.2 n 阶行列式的定义 通过三阶行列式中111213212223112233122331132132112332122133132231

313233

a a

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---的正负号以及项数，可以看出，三阶行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和，其中正负号在行标按自然顺序排列时，由列标的逆序数的奇偶性决定，所

有三阶行列式可写成为三级排列）321321)(33323123222113

1211()1(321321j j j a a a a a a a a a a a a j j j j j j τ∑-=

5、定义： 由2n 个数构成n 行n 列的n 阶行列式D=n n n nj j j j j j j j j nn

n n n n a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211

)1(τ∑-=

，共有!n 项

简记作)det(ij a .数ij a 称为行列式)det(ij a 的元素.第一个下标是行标，第二个下标是列标。

例2、计算4阶行列式0001

0020

0300

4000D =。

解：根据定义，该行列式展开式共有24项，只有一项不为零。通过分析得，123424D =⨯⨯⨯=

例3、计算n 阶行列式nn

n n a a a a a a

21222111

000

我们称上述行列式为下三角行列式，它的特点是在主对角线以上的元素全为零。相同的可以定义上三角行列式。 解：利用定义nn nn

n n a a a a a a a a a

221121222111

000= 类似的还有上三角行列式与对角行列式，其结果都是主对角线元素的乘积。

§1.3 对换

6、定义： 在排列中,将某两个数对调,其余的数不动,这种对排列的变换称为对

换.将相邻两数对换,称为相邻对换（或者邻换）.

7、定理1：一个排列中的任意两数对换,排列改变奇偶性.

证明略

推论：n 级排列共有!n 项，其中奇偶排列各占一半。

8、定理2：n 阶行列式的可写为n i i i i i i i i i nn

n n n n n n n a a a a a a a a a a a a 21)(212222111211

212121)1(τ∑-=

9、定理3：n 阶行列式的可写为

n n n n n n j i j i j i j j j i i i j j j i i i nn

n n n

n a a a a a a a a a a a a 221121212121)()(2122221

11211

)1(ττ+∑-=

例6：试判断655642312314a a a a a a 和662551144332a a a a a a -是否都是六阶行列式的项 解：∴=,6)431256(τ 655642312314a a a a a a 是六阶行列式的项

而∴=+=+,835)234156()341526(ττ662551144332a a a a a a -不是六阶行列式的项 小结与提问:

小结:本讲介绍了二、三阶行列式的计算以及n 阶行列式的定义、逆序数、对换等概念.

提问:行列式展开式的每一项由怎样的元素构成?

课外作业:

25P 1.(3)(4) 2. 3. 5.(2)(3)