导数与函数的单调性极值与最值 练习题

必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值

1．(2019·厦门质检)函数y ＝1

2x 2－ln x 的单调递减区间为( )

A ．(－1,1)

B ．(0,1]

C ．(1，＋∞)

D ．(0,2)

解析：选B 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，由y ′＝x －1

x

≤0，得0

所以函数的单调递减区间为(0,1]．

2．函数f (x )的导函数f ′(x )有下列信息： ①f ′(x )>0时，－12； ③f ′(x )＝0时，x ＝－1或x ＝2. 则函数f (x )的大致图象是( )

解析：选C 根据信息知，函数f (x )在(－1,2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.

3．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1

B ．x ＝－1

C ．x ＝1或－1或0

D ．x ＝0

解析：选C ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，

∴由f ′(x )＝4x 3

－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0， 得x ＝0或x ＝1或x ＝－1，

又当x <－1时，f ′(x )<0，当－10， 当01时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．

4．(2019·成都高三摸底测试)已知函数f (x )＝x 3－ax 在(－1，1)上单调递减，则实数a 的取值范围为( )

A ．(1，＋∞)

B ．[3，＋∞)

C ．(－∞，1]

D ．(－∞，3]

解析：选B ∵f (x )＝x 3－ax ，∴f ′(x )＝3x 2－a .又f (x )在(－1,1)上单调递减，∴3x 2

－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3，故选B.

5.(2019·赤峰模拟)设函数f (x )在定义域R 上可导，其导函数为f ′(x )，若函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)

B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)

C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)

D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)

解析：选D 由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当x ＝－2时，f ′(x )＝0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＝2时，f ′(x )＝0；当

x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可得函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小

值．故选D.

6．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－x

D ．f (x )＝－x ＋ln x

解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；

对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2

－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－3

3

，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭

⎪⎫3

3，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝

－

x －1

x

，令f ′(x )>0，得0

7.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋3

2bx

＋c

3

的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－2,3]

D.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫98，＋∞ 解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2

＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝

－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94.当x ≥98时，y ′≥0，∴y ＝x 2

－94

x －6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭

⎪⎫98，＋∞.故选D.

8．已知定义在R 上的函数f (x )，f (x )＋x ·f ′(x )<0，若a bf (b )

D ．af (b )>bf (a )

解析：选 C [x ·f (x )]′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )<0，∴函数

x ·f (x )是R 上的减函数，∵a bf (b )．

9．(2019·广州模拟)若函数f (x )＝e x

(sin x ＋a cos x )在⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4，π2上单调递增，则

实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1]

B ．(－∞，1)

C ．[1，＋∞)

D ．(1，＋∞)

解析：选A f ′(x )＝e x [sin x ＋cos x －a (sin x －cos x )]，当a ＝0时，f ′(x )＝e x

(sin x ＋cos x )，显然x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π4，π2，

f ′(x )>0恒成立，排除C 、D ；当a ＝1时，f ′(x )＝2e x cos x ，x ∈⎝

⎛⎭

⎪⎫

π4，π2时，f ′(x )>0，故选A.

10．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>1

2，则满足

2f (x )

A ．{x |－1

B ．{x |x <1}

C ．{x |x <－1或x >1}

D ．{x |x >1}

解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>1

2

，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴

g (x )为单调增函数，∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时，g (x )<0，即

2f (x )

11．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值

解析：选C 当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，0,1是函数f (x )的零点．当0