动点问题与函数图像

一．解答题（共50小题）

1．某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A出发，在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知机器人的速度为1个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1s（即在B、C 处拐弯时分别用时1s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．

（1）求AB、BC的长；

（2）如图②，点M、N分别在线段EF、GH上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2．设机器人用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处（见图①）．若CP1+CP2=7，求t1、t2的值．

2．如图1，等边三角形ABC中，点D在AB上（点D与点A，B不重合），DE⊥BC，垂足为E，点P在BC上，且DP∥AC，△B′DE′与△BDE关于DP对称．设BE=x，△B′DE′与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x＜，≤x＜m与m≤x＜n时，函数的解析式不同）．

（1）填空：等边三角形ABC的边长为，图2中a的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＞AC，矩形CDEF的顶点D是线段BC 上一动点，点F在射线CA上，且CF=2CD，点D从点C出发，运动至点B停止，设CF=x，矩形CDEF与△ABC重合部分的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，m＜x≤4，4＜x≤16时，函数的关系式不同）．

（1）填空：BC的长为；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

4．如图1，在▱ABCD中，cosB=，AB=2BC，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB→BC运动，同时动点F从点A出发以相同的速度沿线段AD→DC运动，两点到达点C停止运动，设运动时间为xs，△AEF的面积为y（cm2），图2是y关于x的部分函数图象．

（1）请直接写出AB=cm，BC=cm；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

5．如图1，在矩形ABCD中，BC=4cm．点P与点Q同时从点C出发，点P沿CB 向点B以2cm/s的速度运动，点Q沿CD向点D以1cm/s的速度运动，当点P与点Q其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，顺次连接A，B，P，Q，A得到的封闭图形面积为S cm2．

（1）当AB=m cm时，S与t的函数图象为抛物线的一部分（如图2），求S与t 的函数关系式及m的值，并直接写出t的取值范围；

（2）当AB=6cm时，探究：此时S与t的函数图象可以由（1）中函数图象怎样变换得到？

6．如图1，AB∥CD，E是直线CD上的一点，且∠BAE=30°，P是直线CD上的一动点，M是AP的中点，直线MN⊥AP且与CD交于点N，设∠BAP=x°，∠MNE=y°．（1）在图2中，当x=12时，∠MNE=；

在图3中，当x=50时，∠MNE=；

（2）研究表明：y与x之间关系的图象如图4所示（y不存在时，用空心点表示，请你根据图象直接估计当y=100时，x=．

（3）探究：当x=时，点N与点E重合；

（4）探究：当x＞105时，求y与x之间的关系式．

7．如图1，AD是三角形ABC的边BC上的高，且AD=8cm，BC=9cm，点E从点B出发，沿线段BC向终点C运动，其速度与时间的关系如图2所示，设点E运动时间为x（s），三角形ABE的面积为y（cm2）．

（1）在点E沿BC向点C运动的过程中，它的速度是cm/s，用含x的代数式表示线段BE的长是cm，变量y与x之间的关系式为；（2）当x=2时，y的值为；当x每增加1s时，y的变化情况是：．

8．如图①，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD=6cm，E是一个动点，由B 向C移动，其速度与时间的变化关系如图②

（1）求当E点在运动过程中△ABE的面积y与运动时间x之间的关系式；

（2）当E移动3.5秒后停止，求此时△ABE的面积．

9．如图1，两个全等的△ABC和△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE，其中点B 和点D重合，点F在BC上，将△DEF沿射线BC平移，设平移的距离为x，平移后的图形与△ABC重合部分的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示（其中0≤x≤m，m＜x≤3，3＜x≤4时，函数的解析式不同）

（1）填空：BC的长为；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB 的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当t=秒时，动点M、N相遇；

（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

11．如图1，线段AB=12厘米，动点P从点A出发向点B运动，动点Q从点B 出发向点A运动，两点同时出发，到达各自的终点后停止运动．已知动点Q运动的速度是动点P运动的速度的2倍．设两点之间的距离为s（厘米），动点P 的运动时间为t（秒），图2表示s与t之间的函数关系．

（1）求动点P、Q运动的速度；

（2）图2中，a=，b=，c=；

（3）当a≤t≤c时，求s与t之间的函数关系式（即线段MN对应的函数关系式）．

12．在△ABC中，点P从点B出发向C点运动，运动过程中设线段AP长为y，线段BP的长为x（如图甲），而y与x的函数图象如图乙所示，Q是图象上的最低点，请观察图甲、图乙，回答下列问题：

（1）直接写出AB=，BC边上的高AH=．

（2）求AC的长．

13．如图1，正方形ABCD的边长为4厘米，E为AD边的中点，F为AB边上一点，动点P从点B出发，沿B→C→D→E，向终点E以每秒a厘米的速度运动，设运动时间为t秒，△PBF的面积记为S．S与t的部分函数图象如图2所示，已知点M（1，）、N（5，6）在S与t的函数图象上．

（1）求线段BF的长及a的值；

（2）写出S与t的函数关系式，并补全该函数图象；

（3）当t为多少时，△PBF的面积S为4．