高中数学-函数的基本性质——奇偶性

(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称.
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
练习
2. 判断下列论断是否正确
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义 奇函数:设函数y＝f (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 则这个函数叫奇函数.
偶函数:设函数y＝g (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有g(－x)＝g(x)， 则这个函数叫做偶函数.
问题1:奇函数、偶函数的定义中有“任 意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的 一个性质？与单调性有何区别？
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(错)
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(对)
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数； (错)
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则
这个函数为偶函数.
(对)
练习 3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(错)
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(对)
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
练习
2. 判断下列论断是否正确
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1；
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]；
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
上的奇函数，又f (x)在(0, ＋∞)上是减函 数，且f (x)＜0，试判断函数 F ( x) 1
(5) f (x)＝0.
(既是奇函数又是偶函数)
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(偶函数)
(3) f (x)＝x＋1；
(非奇非偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数)
(5) f (x)＝0.
(既是奇函数又是偶函数)
图象，求f (－4).
y
y
2
2
O⑴
4 x – 3 –1 O ⑵ x
6. 如图⑵，给出了偶函数y＝f (x)的局部 图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
2 (1)设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，
且 f ( x) g( x) 1 ，求函数f (x)，g(x) x1
的解析式；
(2)设函数f (x)是定义在(－∞, 0)∪(0,＋∞)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
1.3.2 函数的基本性质 ——奇偶性
复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？
复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？
2. 请分别画出函数f (x)＝x3与g(x)＝x2的 图象.
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义 奇函数:设函数y＝f (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 则这个函数叫奇函数.
练习 3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
(不能为奇函数但可以是偶函数)
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
(是偶函数)
练习
5. 如图⑴，给出了奇函数y＝f (x)的局部
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；
(3) h (x)＝x3＋1；
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练习 3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
(不能为奇函数但可以是偶函数)
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
(偶函数)
(3) f (x)＝x＋1；
(非奇非偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数)
(5) f (x)＝0.
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(偶函数)
(3) f (x)＝x＋1；
(非奇非偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数)
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(非奇非偶)
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(偶函数)
(3) f (x)＝x＋1；
(非奇非偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(错)
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称.
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
练习
2. 判断下列论断是否正确
既是奇函数又是偶函数的函数是函 数值为0的常值函数. 前提是定义域关于 原点对称.
归Baidu Nhomakorabea纳:
(1)根据定义判断一个函数是奇函数 还是偶函数的方法和步骤是:
第一步先判断函数的定义域是否关 于原点对称；
第二步判断f (－x)＝f (x)还是判断 f (－x)＝－f (x).
归 纳:
(2)对于一个函数来说，它的奇偶性 有四种可能:
问题1:奇函数、偶函数的定义中有“任 意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的 一个性质？与单调性有何区别？
强调定义中“任意”二字，说明函 数的奇偶性在定义域上的一个整体性质， 它不同于函数的单调性 .
问题2:－x与x在几何上有何关系？具有 奇偶性的函数的定义域有何特征？
问题2:－x与x在几何上有何关系？具有 奇偶性的函数的定义域有何特征？
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(错)
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(对)
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数； (错)
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
练习
2. 判断下列论断是否正确
奇函数与偶函数的定义域的特征是 关于原点对称.
问题3:结合函数f (x)＝x3的图象回答以 下问题: (1)对于任意一个奇函数f (x)，图象上的 点P (x，f (x))关于原点对称点P'的坐标 是什么？点P'是否也在函数f (x)的图象 上？由此可得到怎样的结论. (2)如果一个函数的图象是以坐标原点为 对称中心的中心对称图形，能否判断它 的奇偶性？
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(偶函数)
(3) f (x)＝x＋1；
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
判断下列函数的奇偶性；
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(非奇非偶)
(7) h( x) x 3 x ；
(奇)
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
是奇函数但不是偶函数； 是偶函数但不是奇函数； 既是奇函数又是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；
(3) h (x)＝x3＋1；
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
2. 奇函数与偶函数图象的对称性
2. 奇函数与偶函数图象的对称性
如果一个函数是奇函数，则这个函 数的图象以坐标原点为对称中心的中心 对称图形. 反之，如果一个函数的图象是 以坐标原点为对称中心的中心对称图形， 则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数，则它的图 形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之， 如果一个函数的图象关于y轴对称，则这 个函数是偶函数.
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(非奇非偶)
(7) h( x) x 3 x ；
(奇)
(8) k( x)
1 x2 1.
(偶)
练习
2. 判断下列论断是否正确
判断下列函数的奇偶性； (1) f (x)＝x＋x3＋x5； (2) f (x)＝x2＋1； (3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0.
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1；