高中数学-函数的基本性质——奇偶性

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高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性

总结：(1)偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内每一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内每一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称．当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0，设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：

08-第二节函数的基本性质-课时3 奇偶性高中数学必修一人教A版

)
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】当函数的图象过原点时，不一定为奇函数,如 = 2 的
图象过原点，但 = 2 不是奇函数，则充分性不成立;当函数的定义
域为，为奇函数时， 0 = 0,则函数的图象过原点，必要性成
立.所以“函数的图象过原点”是“ 为奇函数”的必要不充分条件.
【解析】 − 1 =
1
−1 2 −2 −1
=
1
的定义域为{|
2
−4+3
≠ 1且 ≠ 3},
不关于原点对称,所以 − 1 不是偶函数,A错误；令
= +1 =
对称,且 =
1
,将
−1 2 −1

1
+1 2 −2 +1
=
1
,
2
−1
≠ ±1,则的定义域关于原点
对称．
①当 = 0时，− = 0，
所以 − = 0 = 0， = 0 = 0，
所以 − = − ；
②当 > 0时，− < 0，
所以 − = − −
2
− 2 − − 3 = − 2 − 2 + 3 = − ；
③当 < 0时，− > 0，
所以 − = −
=
1− 2
，此时

− =
1− − 2
−
=−
（再判断 − 与的关系），故为奇函数.
1− 2

= −
2 − 2 + 3, > 0,
（4） = ൞0, = 0,
− 2 − 2 − 3, < 0.

新高考A版讲义：第三章函数第3节函数的基本性质奇偶性

第3节函数的基本性质:奇偶性知识点一函数奇偶性 1.奇偶性的几何特征一般地，图象关于y 轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 2.函数奇偶性的定义（1）偶函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．（2）奇函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．3.奇(偶)函数的定义域特征：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．题型一、函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝xx －1；(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.解 (1)f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝1－x＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x 是奇函数．(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)的定义域为R .∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2(x 2＋2)是偶函数． (3)f (x )＝xx －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称，∴f (x )＝xx －1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}．∵f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，∴f (x )＝x 2－1＋1－x 2既为奇函数，又为偶函数．反思感悟判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系． (2)图象法．跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝x是非奇非偶函数．(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．f(－x)＝1－x2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．题型二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′，再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为{x |－2<x <0或2<x <5}．题型三、利用函数的奇偶性求参数值例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.解析由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0，得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0. 反思感悟利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数利用待定系数法求解．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析方法一显然x ∈R ，由已知得f (－x )＝(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x －a |. 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x 2－|x ＋a |＝x 2－|x －a |，即|x ＋a |＝|x －a |.又x ∈R ，所以a ＝0.方法二由题意知f (－1)＝f (1)，则|a －1|＝|a ＋1|，解得a ＝0.(2)已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________．解析 ∵f (－2)＝－f (2)＝3，∴f (－2)＝(－2)2－2m ＝3，∴m ＝12.知识点二奇偶性与单调性若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性．题型一、利用奇偶性求解析式命题角度1 求对称区间上的解析式例1 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式．解设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x －1.反思感悟求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练1已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x )，求f (x )的解析式．解因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x [1＋(－x )]＝x (x －1)．因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x (x －1)，x ∈(－∞，0)．f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x ≥0，－x (x －1)，x <0.命题角度2 构造方程组求解析式例2 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，由f (x )＋g (x )＝1x －1.①，用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，② (①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝xx 2－1.反思感悟 f (x )＋g (x )＝1x －1对定义域内任意x 都成立，所以可以对x 任意赋值，如x ＝－x .利用f (x )，g (x )一奇一偶，把－x 的负号或提或消，最终得到关于f (x )，g (x )的二元方程组，从中解出f (x )和g (x )．跟踪训练2设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2.①用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.题型二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为() A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定答案A解析∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b)；②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)；④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．解析f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)<f(－b)<f(0)＝0，∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，∴①正确，②错误．x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．题型三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则f(x)x<0的解集为________．解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x |－3<x <0或x >3}．(2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 解析由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，即－13<2x －1<13，解得13<x <23.反思感悟利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式； (2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解．跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )在[－2,2]上是减函数．所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.1．下列函数中奇函数的个数为( ) ①f (x )＝x 3； ②f (x )＝x 5； ③f (x )＝x ＋1x；④f (x )＝1x2.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(－3，－2)D ．(2，－3) 答案 A解析 f (－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上， ∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f (x )的图象上．3．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数答案 A解析 F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数4．若f (x )＝3x 3＋5x ＋a －1为奇函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 C解析 ∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0得a ＝1.5.如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 A解析 f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1) ＝－32－12＝－2.6．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 答案 4解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 是偶函数，∴a ＝4.7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________．答案 5解析因为f (x )是奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.8．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列四个说法： ①f (x )＋f (－x )＝0； ②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f(x)·f(－x)<0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的为________．(填序号)答案①②解析∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．当x＝0时，f(x)f(－x)分母为0，无意义，故④不正确．9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2x x＋1.考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.(2)由偶函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f (1)>f (3)．11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝－2x答案 B解析对于函数y ＝|x |＋1，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x )，所以y ＝|x |＋1是偶函数，当x >0时，y ＝x ＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．另外，函数y ＝x 3不是偶函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝－2x 不是偶函数．故选B.12．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数考点函数的奇偶性判定与证明题点判断抽象函数的奇偶性答案 A解析由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )，由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )，故|g (x )|为偶函数， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．13．函数f (x )＝4－x 22－|x ＋2|的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．答案 [－2,0)∪(0,2] 奇解析依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0， ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x＝－4－x 2x ，定义域关于原点对称，∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．14．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋cx ＋5满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________．答案 8解析设g (x )＝f (x )－5＝ax 3＋bx ＋cx (x ≠0)，∵g (－x )＝－ax 3－bx －cx ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，∴g (3)＝－g (－3)＝－[f (－3)－5] ＝－f (－3)＋5＝－2＋5＝3，又g (3)＝f (3)－5＝3， ∴f (3)＝8.15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.考点函数图象的对称性题点中心对称问题答案 43解析根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.16．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a ，b ，c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值．解由条件知f (－x )＋f (x )＝0， ∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx ＝0，∴c ＝0. 又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b .∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得－1<a <2，∴a ＝0或1. ∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g (x )，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于( ) A ．6 B ．－6 C ．2 D ．－2考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式答案 A解析 g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.2．如果奇函数f (x )在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f (x )在区间[1,3]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 A解析 f (x )为奇函数，∴f (x )在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f (1)为最小值，又已知f (－1)＝5，∴f (－1)＝－f (1)＝5，∴f (1)＝－5，故选A.3．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2答案 D解析由f (a )≥f (－2)得f (|a |)≥f (2)，∴|a |≤2，∴－2≤a ≤2.4．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 D解析 y ＝f (x )是偶函数，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝0的所有实根之和为0.5．设f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)＝f (－x 2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x2)<f(－x1)，∵f(x)是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.7．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是________．考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案(－∞，1)解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．答案f(－2)<f(1)<f(0)解析∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．9．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．考点单调性与奇偶性的综合应用题点求奇偶函数的单调区间解 (1)因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0.设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.于是有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象，再根据对称性画出y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．10．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上的单调性并证明．考点单调性与奇偶性的综合应用题点判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x. 又∵f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.综上，a ＝2，b ＝12，c ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x .函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．证明如下：任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－12x 1x 2＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．11．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为() A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x <0，即f (x )x <0，∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )<0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上使f (x )x<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意实数x ，y 都成立，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数答案 A解析令x ＝y ＝0，所以f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0.又因为f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，故选A.13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数值答案－1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0，∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.14．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且f (x )在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x ＝________时，f (x )取得最大值；若不等式f (0)<f (m )成立，则m 的取值范围是________．答案 1 (0,2)解析由f (1－x )＝f (1＋x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，1]上单调递增，所以当x ＝1时f (x )取到最大值．由对称性可知f (0)＝f (2)，所以f (0)<f (m )，得0<m <2，即m 的取值范围为(0,2)．15．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式答案 C解析 ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1.∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b>0. (1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围．解 (1)因为a >b ，所以a －b >0，由题意得f (a )＋f (－b )a －b>0，所以f (a )＋f (－b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－b )＝－f (b )，所以f (a )－f (b )>0，即f (a )>f (b )．(2)由(1)知f (x )为R 上的单调递增函数，因为f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，所以f (1＋m )≥－f (3－2m )，即f (1＋m )≥f (2m －3)，所以1＋m ≥2m －3，所以m ≤4.所以实数m 的取值范围为(－∞，4]．。

专题11 函数的基本性质(奇偶性)(解析版)

专题11函数的基本性质（奇偶性）函数的奇偶性[知识点拨]由于f (x )和f (－x )须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点．①奇函数有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)；②偶函数有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点．①若奇函数在原点处有定义，则必有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． (4)奇、偶函数图象对称性的应用．①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．重要考点一：函数奇偶性的判断【典型例题】根据定义，判断下列函数的奇偶性：（1）()52f x x =-；（2）g (x )=x 4+2；（3）21()h x x =；（4）1()2m x x =+. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）既不是奇函数，也不是偶函数. 【解析】（1）依题意知函数()52f x x =-的定义域为R ，且对任意的x ∈R ，有()()()5522f x x x f x -=--==-,所以函数()52f x x =-是奇函数；（2）依题意知函数()42g x x=+的定义域为R ，且对任意的x ∈R ，有()()()4422g x x x g x -=-+=+=，所以函数()42g x x=+是偶函数；（3）依题意知函数21()h x x=的定义域为{|0}x x ≠，且对任意的{|0}x x x ∈≠，有()2211()()h x h x x x -===-，所以函数21()h x x =是偶函数；（4）函数1()2m x x =+的定义域为{|2}x x ≠-，定义域不关于原点对称，所以函数1()2m x x =+既不是奇函数，也不是偶函数.【题型强化】1.判断下列函数的奇偶性．（1）f (x )＝2x ＋1x；（2）f (x )＝2－|x |；（3）f (x )（4）f (x )＝1x x -. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数．【解析】（1）因为函数f (x )的定义域是{x |x ≠0}，关于原点对称，又f (－x )＝－2x ＋1x -＝－12⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x ＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(2)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)∵函数f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)显然函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数． 2.判断函数f (x )＝x ＋ax(a 为常数)的奇偶性，并证明你的结论．【答案】()f x 为奇函数，证明见解析.【解析】()f x 为奇函数，证明如下：()f x 的定义域为{x|x≠0}．对于任意x≠0，()()a a f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 为奇函数．【名师点睛】判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．重要考点二：奇、偶函数图象的应用【典型例题】已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ．现已画出函数f （x ）在y 轴左侧的图象如图所示，（1）画出函数f （x ），x ∈R 剩余部分的图象，并根据图象写出函数f （x ），x ∈R 的单调区间；（只写答案）（2）求函数f （x ），x ∈R 的解析式．【答案】（1）图象见解析；递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；增区间为（﹣1，1）；（2）f （x ）222020x x x x x x ⎧+≤=⎨-+⎩，，＞．【解析】（1）根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则其图象如图：其递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；增区间为（﹣1，1）；（2）根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，满足f （x ）＝x 2+2x ；当x ＞0时，则﹣x ＜0，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2+2（﹣x ）＝x 2﹣2x ，又由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣x 2+2x ，综上：f （x ）222020x x x x x x ⎧+≤=⎨-+⎩，，＞．【题型强化】1.已知奇函数f (x )定义域为[－5，5]且在[0，5]上的图象如图所示，求使f (x )<0的x 的取值范围．【答案】()(]3,03,5-【解析】由题可知：函数是[－5，5]上的奇函数，则函数在[－5，5]上图象如下：所以f (x )<0的解集为()(]3,03,5-2.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-. （1）求()f x 的解析式；（2）作出函数()f x 的图象并求出单调增区间.【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩；（2）图象见解析，单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞.【解析】（1）当0x ≥时，()22f x x x =-.当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--⨯-=+.因为函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()22f x f x x x=--=--.因此，()222,02,0x x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩；（2）函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞.【名师点睛】1．研究函数图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂性． 2．利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称．重要考点三：利用函数的奇偶性求解析式【典型例题】若函数()21x ax b f x x +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为______．【答案】()21xf x x =+ 【解析】()f x 在[]1,1-上是奇函数，()00f ∴=，0a ∴=，()21xf x x bx ∴=++．又()()11f f -=-，1122b b -∴=--+，即0b =，()21x f x x ∴=+．【题型强化】1.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时，2()2f x x x =-，则0x <时，()f x =________【答案】22x x --【解析】设0x <，则0x ->，所以()22()22f x x x x x -=-+=+，又因为()()f x f x -=-，所以2()2f x x x -=+，所以()f x =22x x --. 故答案为：22x x --2.已知函数()223px f x q x +=-是奇函数，且()523f =-，则函数()f x 的解析式()f x =________.【答案】2223x x+-【解析】奇函数()y f x =的定义域为,,33q q ⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于原点对称，所以03q=，得0q =，故()223px f x x +=-，又()523f =-，即42563p ⨯+=--，得2p =，因此()22222233x x x x f x ++=--=.故答案为2223x x+-. 【名师点睛】利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x (另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．重要考点四：忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致判断错误【典型例题】已知定义在[3,3]-上的函数()y f x =是增函数. （1）若(1)(21)f m f m +>-，求m 的取值范围；（2）若函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，解不等式(1)10f x ++>.【答案】（1）[1,2)-；（2）{32}xx -<∣. 【解析】（1）由题意可得，3133213121m m m m -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+>-⎩，求得12m -<，即m 的范围是[1,2)-.（2）∵函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，∴(2)(2)1f f -=-=-，∵(1)10f x ++>，∴(1)1f x +>-，∴(1)(2)f x f +>-，∴12313x x +>-⎧⎨-≤+≤⎩，∴32x -<≤.∴不等式的解集为{32}xx -<∣. 【题型强化】1.已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()f x 的单调性；（3）若()()210f m f m +->，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()21x f x x =+（2）证明见解析（3）113m << 【解析】（1）由题意可得：()001242255fb a bf ⎧==⎪+⎨⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1a b =⎧⎨=⎩.即()21xf x x =+（2）证明：设1211x x -<<<()()()()()()121212122222*********x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++因为1211x x -<<<，所以120x x -<，1210x x -> 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < 故()f x 在()1,1-上是增函数（3）()()210f m f m +->，即()()()2112f m f m f m >--=-所以11121112m m m m-<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得：113m <<2.定义在[]22-,上的偶函数()f x ，当[]2,0x ∈-时()f x 单调递增，设()()1f m f m -<，求m 的取值范围.【答案】112m -≤< 【解析】解：()f x 是定义在[]2,2-上的偶函数，又()()1f m f m -<，∴ ()()1f m f m -<又当[]2,0x ∈-时()f x 单调递增∴当[]0,2x ∈时单调递减.而10,0,1,m m m m -≥≥∴->()22212221m m m m⎧-≤-≤⎪⎪∴-≤≤⎨⎪->⎪⎩ 解得112m -≤<即所求m 的取值范围为11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【名师点睛】1．函数y ＝f (x )是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称． 2．确定函数的定义域时，要针对函数的原解析式．重要考点五：逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题【典型例题】已知函数2()(1)|2|()f x x a x a a R =++++∈.（1）写出一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x ，使()f x =()g x +()h x ；（2）若()()h x g x ≥对于任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()|2|h x x a =++，()(1)g x a x =+；（2）{}13⎡-+⋃-⎣.【解析】（1）由奇偶函数的特征由2()(1)|2|()f x x a x a a R =++++∈的函数特征可知2yx 是偶函数，()1y a x =+是奇函数，2y a =+是偶函数，∴奇函数()g x 是()()1g x a x =+，偶函数2()|2|h x x a =++；（2）由（1）可知()221xa a x ++≥+恒成立，即()2120x a x a -+++≥恒成立，()21420a a ∆=+-+≤ ，即()2124a a ++≥ ()2124a a +⇒+≥或()2124a a ++≤-整理为2270a a --≤或2690a a ++≤，解得：11a -≤+3a=-，∴a的取值范围是{}13⎡-+⋃-⎣【题型强化】1.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1]αβ∈-，0αβ+≠时，都有()()0f f αβαβ+>+.（1）解关于x 的不等式()21(33)0f x f x -+-<；（2）若对任意[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-，不等式2()21f x t at ≤-+恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）41,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）2t ≥或2t ≤-或0t =【解析】(1)因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数,故任取1211x x ,则()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=--,1211x x -≤<≤,()120x x ∴+-≠,故有()()12120f x f x x x +->-,120x x -<,()()120f x f x ∴-<,即()f x 在[1,1]-上是增函数,因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数,且在[1,1]-上是增函数,不等式可()21(33)0f x f x -+-<化为()21(33)f x f x -<-,所以221331111331x x x x ⎧-<-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩,解得41,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦;(2)由(1)知()f x 在[1,1]-上是增函数,所以()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)1f =, 要使2()21f x t at ≤-+对任意[1,1]x ∈-,[1,1]a ∈-恒成立,只要2221120t at t at -+≥⇒-≥,设2()2g a t at =-,因为对任意[1,1]a ∈-,()0g a ≥恒成立,所以22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-≥⎩解得2t ≥或2t ≤-或0t =. 2.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数且单调递增，(1)1f =. （1）解不等式：1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（2）若2()21f x t at ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（2）(]{}[),202,-∞-+∞【解析】（1）()f x 为定义在[]1,1-上的增函数，∴由1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得：111211111121x x x x ⎧-≤+≤⎪⎪⎪-≤≤⎨-⎪⎪+<⎪-⎩，解得：312x -≤<-， ∴不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+<⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的解集为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. （2）()f x 为定义在[]1,1-上的增函数且()11f =，()1f x ∴≤，∴要使()221f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，只需2211t at -+≥对[]1,1a ∈-恒成立，即220t at -≥恒成立.设()22g a t at =-，则只需()0g a ≥恒成立，即()min 0g a ≥.当0t =时，()0g a =，满足题意；当0t >时，()g a 在[]1,1-上单调递减，则()()2min 120g a g t t ==-≥，解得：2t ≥；当0t <时，()g a 在[]1,1-上单调递增，则()()2min 120g a g t t =-=+≥，解得：2t ≤-.综上所述：t 的取值范围为(]{}[),202,-∞-+∞.【名师点睛】1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：(1)f (x )在区间D 上单调递增，则对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)恒成立；(2)若f (x )是奇函数，定义域为M ，则f (－x )＝－f (x )对任意x ∈M 恒成立；若f (x )是偶函数，定义域为M ，则对任意x ∈M ，f (－x )＝f (x )恒成立；(3)若f (x )的最大值为M ，最小值为m ，定义域为A ，则对任意x ∈A ，有m ≤f (x )≤M . 解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法．2．遇到f (－x )与f (x )的关系问题时，应首先从函数f (x )的奇偶性入手考虑，如果f (x )不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g (x )，使f (x )用g (x )表示，再利用g (x )的奇偶性来解答．课后练习1．若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】()f x 为奇函数 ()()f x f x ∴-=-当0x <时，0x -> ()()()2222f x f x x x x x ∴=--=-+=--又0x <时，()2f x x ax =-+ 2a ∴=-，本题正确选项：B2．已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xfx <的解集为（）A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)--⋃D ．(1,1)-【答案】C【解析】由图像可知在0x ≥时，在()()012+∞，，，()0f x >；在(1,2)，()0f x <；由()f x 为奇函数，图象关于原点对称，在0x <时，在()(),21,0∞-⋃--，()0f x <；在(2,1)--，()0f x >；又()y xfx =，在0x ≥时与()y f x =同号，在0x <时与()y f x =异号故不等式()0xfx <的解集为：(2,1)(1,2)--⋃，故选：C3．已知定义在R 上的奇函数()f x ，对任意实数x ，恒有()()3f x f x +=-，且当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()268f x x x =-+，则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．6B ．3C ．0D ．3-【答案】B【解析】由题得()()6[(3)3]3[()]()f x f x f x f x f x +=++=-+=--=，所以函数的周期为6. 由题得(0)0,(1)1683,f f ==-+=(2)(2)(23)(1)3f f f f =--=-+==，(3)(3)(33)(0)f f f f =--=-+=，(4)(4)(43)(1)(1)3f f f f f =--=-+=-=-=-， (5)(5)(53)(2)(2)3f f f f f =--=-+=-=-=-所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f f +++++=，所以()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=336[(0)(1)(2)(3)(4)(5)](0)(1)(2)(3)(4)3f f f f f f f f f f f ++++++++++=.故选：B.4．下列函数中，是偶函数,且在(],0-∞上是增函数的是（） A ．12y x = B ．2y xC ．3y x =D ．,0,0x x y x x -≥⎧=⎨<⎩【答案】D【解析】A ．定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，故不符合；B ．定义域为R 关于原点对称，()()()22f x x x f x -=-==，所以是偶函数，在(],0-∞上是减函数，不符合；C ．定义域为R 关于原点对称，()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，不符合； D ．定义域为R 关于原点对称，当0x ≥时，()()f x x f x =-=-，当0x <时，()()f x x f x ==-，所以()f x 是偶函数，(],0x ∈-∞时，()f x x =是增函数，符合.故选：D.5．如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5，那么它在区间[]7,3--上是（） A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5- D ．减函数且最大值为5-【答案】B【解析】任取1x 、[]27,3x ∈--，且12x x <，即1273x x -≤<≤-，则2137x x ≤-<-≤，由已知，奇函数()y f x =在区间[]3,7上是增函数，则()()12f x f x ->-，即()()12fx f x ->-，()()12f x f x ∴<，所以，函数()y f x =在区间[]7,3--上是增函数，对任意的[]7,3x ∈--，[]3,7x -∈，由题意，()5f x -≥，可得()5f x -≥，则有()5f x ≤-，所以，函数()y f x =在区间[]7,3--上有最大值5-.故选：B.6．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上的解析式为()1f x x =+，下列大小关系正确的是（）A ．()()12f f >B ．()()12f f >-C ．()()12f f ->-D ．()()12f f -<【答案】D【解析】因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上的解析式为()1f x x =+所以得到()f x 在[)0,+∞上单调递增，在(],0-∞上单调递减，所以()()12f f <，所以A 选项错误；因为()f x 为偶函数，所以()()22f f -=，所以()()()122f f f <=-，所以B 选项错误；因为()()()()1122f f f f -=<=-，所以C 选项错误；因为()()()112f f f -=<，所以D 选项正确.故选：D.7．设函数3()1f x ax bx =+-，且(1)3f -=，则(1)f 等于（） A ．3- B ．3 C ．5- D ．5【答案】C【解析】令3()g x ax bx =+，则3()()g x ax bx g x -=--=-，所以3()g x ax bx =+是奇函数，又()()1113f g -=--=，所以()14g -=，所以()()()111115f g g =-=---=-. 故选：C.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()2()f x f x =--，且函数(1)f x +是偶函数，当[]1,0x ∈-时，2()1f x x =-，则20203f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【答案】139【解析】因为函数()f x 满足：()2()f x f x =--，且函数(1)f x +是偶函数，所以(1)(1)2f x f x ++--=，且(1)(1)f x f x +=-+，可得(1)(1)2f x f x -++--=，即(1)(1)2f x f x ++-=所以(2)()2f x f x ++=…①，(4)(2)2f x f x +++=…② ②-①，可得 (4)()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数；4420201684333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1151311223333394922f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-==--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以 20203319f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故答案为：139. 9．函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()11f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是_________. 【答案】[]0,2【解析】函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()111f f -=-=，由()111f x -≤-≤可得()()()111f f x f ≤-≤-，由于函数()y f x =在R 上单调递减，则111x -≤-≤，解得02x ≤≤. 因此，满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是[]0,2.故答案为：[]0,2.10．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，()12x f x -=，有下列命题：①2是函数()f x 的周期；②函数()f x 在()2,3上是增函数；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④直线2x =是函数()f x 图象的一条对称轴.其中所有正确命题的序号是__________.【答案】①②④【解析】用1x +换()()11f x f x =+-中的x ，得()()2f x f x +=，所以()f x 是以2为周期的周期函数，故①正确；又函数()f x 是定义在R 上的偶函数且[]0,1x ∈时，()12x f x -=，作出函数()f x 的部分图象如图所示由图知，函数()f x 在()2,3上是增函数，故②正确；函数()f x 的最大值是1，最小值是12，故③错误；直线2x =是函数()f x 图象的一条对称轴，故④正确. 故答案为：①②④11．已知函数()f x 为奇函数且(1)2f =，求(-1)f =_______. 【答案】﹣2【解析】函数()y f x =是奇函数,且(1)2f =,则()(-1)=12f f -=-.故答案为:﹣2． 12．已知()f x x x =，若()()()220f x m m f x m -≤>对任意1x ≥恒成立，则实数m 的取值范围为____________. 【答案】[)1,+∞【解析】()f x x x =的定义为R ，关于原点对称，()()()f x x f x x x x =---=--=.()f x ∴为定义在R 上的奇函数.当0x >时，()2f x x x x ==，在()0,∞+上单调递增.()f x ∴为定义在R 上的增函数.0m >()()22m f x m x x mx mx f mx ∴===()()()()220f x m m f x f mx m -≤=>2x m mx ∴-≤，即()120m x m --≤，设()()()12,1g x m x m x =--≥若()()()220f x m m f x m -≤>对任意1x ≥恒成立.则需()()0,1g x x ≤≥恒成立.当1m =时，在[)1,+∞上()10g x =-≤恒成立当1m <时，()g x 在[)1,+∞上单调递增，则不满足题意，舍去当1m 时，()g x 在[)1,+∞上单调递减，则需()1130g m =-≤解得13m ≥，即1m综上所述：m 1≥。

人教版高一数学必修一函数的奇偶性课件PPT

总之,他们不是老老实实地坐在座位上听讲,而是急不可耐地挨过上课时间，显然,你已经知道,从上课铃到下课铃的整个课堂时段中,只有那些高效教师才能保持课堂不被琐事中断, 并且保证学生能够集中注意力。在高效教师的课堂上,没有一分钟被浪费,没有学生无事可做。也正是因为这个原因,高效的教师很少遇到有关课堂纪律的问题。那么,高效教师是如何让整个课堂从头到尾一直保持饱满的状态呢?他们仔细规划课堂上的每一分钟,以保证没有时间被浪费;他们仔细规划讲课过程,力求简明扼要(因为他们知道长时间维持学生的注意力是件很不容易的事。)他们为领先的学生着想,他们也为后进的学生着想。
奇函数的定义域有什么特征？
奇函数的定义域关于原点对称
理论迁移
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)
; (2)
.
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任
意实数，都有
成立.
（1）求f(1)和f(-1)的值；
（2）
确定f(x)的奇偶性.
例3 确定函数
y
-1 o 1
的单调区间.
x
1.3.2 奇偶性第一课时函数的奇偶性
f(x)=-f(-x)
思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数.
思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表述？
自变量相反时对应的函数值相反
思考6:函数
是奇函数吗？
偶函数的定义域关于原点对称
知识探究（二）
考察下列两个函数：
(1)
;
(2)
.
y
y
o

高中数学—函数的基本性质—完整版课件

• 当 > 时， − < ，则
• − ＝ −

− ＝ − ＝ − ()．
• 综上，对 ∈ (−∞，) ∪ (，＋∞)，
• ∴ ()为奇函数．
都有 − ＝ − ()．
奇偶性判定
• 【解析】 (4) =
−
−
• 定义域为 −，关于原点对称
• ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．
函数的奇偶性
• 判断函数的奇偶性
• 1、首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据
原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非
奇非偶函数．
• 2、如果满足定义域对称，则计算(−)，看与()是否有相等或互为
相反数的关系.
−
−−
+
++
−+
• 即
= 恒成立，
• 则2(＋)2＋2＝0对任意的实数恒成立．
• ∴ ＝＝0.
函数的单调性

+
•
(2)∵ =
∈ 是奇函数, 只需研究(, ＋∞)上()的单调区间即可．
•
任取， ∈ (，＋∞)，且 < ，则
应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．
抽象函数的单调性
• 函数()对任意的、 ∈ ，都有＋＝＋ − ，并且当
> 时，() > .
• (1)求证：()是上的增函数；
• (2)若()＝，解不等式( − − ) < .
抽象函数的单调性
• ∴ ()＝， ∴原不等式可化为( − − ) < ()，
• ∵ ()是上的增函数，

高一数学函数的奇偶性1

(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [ 1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [ 1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (偶 ) (6) g (x)＝x (x＋1)； (非奇非偶)
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [ 1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (偶 ) (6) g (x)＝x (x＋1)； (非奇非偶)
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
(奇 )
(偶 )
练习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.

§3.4.2 函数的基本性质(2) 函数奇偶性的定义及运用

§3.4.2函数的基本性质——函数的奇偶性的定义及运用1．熟悉掌握函数奇偶性的定义及运算；2．掌握处理有关函数奇偶性的常用方法； 3．知道有关奇偶性的一些运算性质.问1 试总结判断函数奇偶性的方法.问2 试总结关于奇偶函数的重要结论.（龙门P148）例1 证明：（1）一次函数(0)y kx b k =+≠是奇函数的充要条件是0b =；（2）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是偶函数的充要条件是0b =；（3）函数()y f x =既是奇函数又是偶函数的充要条件是()0f x =.[举一反三] 判断函数()f x ax b =+的奇偶性例2 已知5()4f x ax bx =++，其中a ，b 为常数，(2)3f =，求(2)f -的大小.[举一反三]（1）已知函数()f x 与()g x 满足()2()1f x g x =+，且()g x 为R 上的奇函数，(1)8f -=，求(1)f .（2）已知函数2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，定义域为[1,2]a a -，则______a =，______b =例3 分别根据下列条件，求实数a 的值：（1）设0a >，()x x e af x a e=+是R 上的偶函数；（2）函数1()21x f x a =++是定义域上的奇函数.（若改成“1()21x f x a =+-”呢？）[举一反三] （1）判断函数11()()312x f x x =+-的奇偶性；（2）已知2()(1)f x mx m x m =+++是R 上的偶函数，求实数m 的值.例4 已知函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x +=+，求函数()f x 、()g x 的表达式.[练习] 设()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，（1）判断2()[()]3()F x f x g x =-的奇偶性；（2）若23()3()623f x g x x x +=-+，求()f x ，()g x 的解析式.[抽象函数的奇偶性]*例5 已知函数()f x 的定义域为R ，且不恒为0，对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，求证：()f x 为奇函数.*例6 已知函数()f x 不恒为零，并且对一切,x y R ∈，都有()()()1x yf x f y f xy++=+，求证：()f x 为奇函数.1. 若函数()()()F x f x f x =--，则函数()F x 的奇偶性是________________.2. 已知函数),,(,6)(35为常数c b a cx bx ax x f -++=，若8)8(=-f ，则)8(f = _____ . 3. 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且2()()23f x g x x x -=++，则()()__________f x gx +=.4. 已知函数121)(+-=x a x f ，若)(x f 为奇函数，则a = 5. 以下四个函数① ()21f x x =-；② 1()1x f x x -=+；③ 221()1x f x x -=+；④ 53()f x x x =+，既不是奇函数又不是偶函数的是_______________. 6. 已知2()(1)()21x F x f x =+-（0x ≠）是奇函数，且()f x 不恒为零，则()f x 的奇偶性为________. 7. 已知函数()y f x =是偶函数，其图像与x 轴有8个交点，则方程()0f x =的所有实数根之和为_____________.8. 已知定义域为R 的任意奇函数)(x f ，都有（）A.0)()(>--x f x f ；B. 0)()(≤--x f x f ；C. ()()0f x f x ⋅-≤；D. ()()0f x f x ⋅->.9. ()f x 、()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x 、()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．非充分非必要条件.10. 已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列函数中一定是奇函数的是（）A.[][]22)()(x g x f +； B. [])(x g f ； C. )()(x g x f -； D. )()(x g x f .11. 已知⎩⎨⎧<--->+-=0,10,1)(22x x x x x x x f ，则)(x f 为（）A.奇函数；B. 偶函数；C. 非奇非偶函数；D. 不能确定12. ()f x 是定义在A 上的奇函数，且()0f x ≠，而()()g x y f x =是定义在B 上的偶函数，则()g x 是（） A ．在A 上的奇函数； B ．在A 上的偶函数；C ．在B 上的奇函数；D ．在B 上的偶函数；13. 已知函数()f x 的定义域为[,]a b ，函数()y f x =的图像如图所示，则函数(||)f x 的图像是（）14. 函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，其中,,a b c Z ∈，若(1)2f =，(2)3f <，求,,a b c 的值.15. 已知二次函数()f x 是偶函数，且经过点(3,6)，求它的一个解析式.16. 若0a >，1a ≠，()F x 为奇函数，11()()12x G x F x a ⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦，试判断()G x 的奇偶性.17. 已知.12)(x xx f +=（1）求)1()(xf x f +；（2）求1210012100(1)(2)(100)()()()()()()222100100100f f f f f f f f f ++⋯⋯++++⋯⋯++⋯⋯+++⋯⋯+的值.18. 定义在R 上的函数()f x 对任意x y R ∈、都有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅，且(0)0f ≠，判断()f x 的奇偶性并加以证明.（A ）（B ）（C ）（D ）第13题图。

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(偶函数)
(3) f (x)＝x＋1；
(非奇非偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数)
(5) f (x)＝0.
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(偶函数)
(3) f (x)＝x＋1；
(非奇非偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数)
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(错)
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称.
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.
练习
2. 判断下列论断是否正确
是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；
(3) h (x)＝x3＋1；
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；
(3) h (x)＝x3＋1；
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
上的奇函数，又f (x)在(0, ＋∞)上是减函数，且f (x)＜0，试判断函数 F ( x) 1
练习 3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？
(不能为奇函数但可以是偶函数)
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？
(是偶函数)
练习
5. 如图⑴，给出了奇函数y＝f (x)的局部
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义奇函数:设函数y＝f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫奇函数.
偶函数:设函数y＝g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数.
问题1:奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(错)
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(对)
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.
练习
2. 判断下列论断是否正确
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(错)
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(对)
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数； (错)
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则
这个函数为偶函数.
(对)
练习 3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？
练习 3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？
(不能为奇函数但可以是偶函数)
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(偶函数)
(3) f (x)＝x＋1；
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
判断下列函数的奇偶性；
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(非奇非偶)
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
图象，求f (－4).
y
y
2
2
O⑴
4 x – 3 –1 O ⑵ x
6. 如图⑵，给出了偶函数y＝f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
2 (1)设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，
且 f ( x) g( x) 1 ，求函数f (x)，g(x) x1
的解析式；
(2)设函数f (x)是定义在(－∞, 0)∪(0,＋∞)
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(错)
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(对)
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数； (错)
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.
练习
2. 判断下列论断是否正确
2. 奇函数与偶函数图象的对称性
2. 奇函数与偶函数图象的对称性
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.
问题3:结合函数f (x)＝x3的图象回答以下问题: (1)对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P'的坐标是什么？点P'是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论. (2)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(非奇非偶)
(7) h( x) x 3 x ；
(奇)
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数. 前提是定义域关于原点对称.
归纳:
(1)根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是:
第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；
第二步判断f (－x)＝f (x)还是判断 f (－x)＝－f (x).
归纳:
(2)对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能:
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(偶函数)
(3) f (x)＝x＋1；
(非奇非偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称.
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.