对数函数图象及其性质知识点及例题解析

对数函数的图象及性质例题解析

题型一 判断对数函数

【例1】函数f (x )＝(a 2

－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．

解析：由a 2

－a ＋1＝1，解得a ＝0,1． 又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________．

（1）y ＝log a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)； (4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ．

解析：

题型二

【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ，43，35，1

10

中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )

A ，

43，35，110 B 43，110，35

C ．43，35，110

D ．43110，35

解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的

底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4，

43，35，1

10

．答案：A 点技巧 作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．

题型三 对数型函数的定义域的求解

(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．

(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1． 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．

(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；

②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1；

⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．

【例3】求下列函数的定义域．

(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；

(3)y =

．

分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解．

解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，故函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．

(2) 要使函数有意义，则54>0,

21>0,211,

x x x -⎧⎪

-⎨⎪-≠⎩

解得x ＞45且x ≠1，

故函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫

⎪⎝⎭

(1，＋∞)． (3)要使函数有意义，则0.5430,log (43)0,

x x ->⎧⎨-≥⎩解得3

4＜x ≤1，

故函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫

≤⎨⎬⎩⎭

．

题型四 对数型函数的值域的求解

方法一、充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．

方法二、对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：

①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数； ②求f (x )的定义域； ③求u 的取值范围；

④利用y ＝log a u 的单调性求解．

方法三、对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R)的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．

注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．

(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．

【例4】求下列函数的值域：

(1)y ＝log 2(x 2

＋4)；(2)y ＝212

log (32)x x ＋－．

解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2

＋4)≥log 24＝2．

∴函数y ＝log 2(x 2

＋4)的值域为[2，＋∞)．

(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2

＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4． 又y ＝12

log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12

log u ≥－2．

∴函数y ＝212

log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．

【例4－1】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2

)的最大值及相应的x 的值．

分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2

)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．

解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，

∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2

＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]．

令t ＝log 3x (x [1,3])．

∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．

从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2

＋6t ＋6在区间

[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2

＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，

∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．

综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2

)的最大值为13．

题型五 对数函数的图象变换及定点问题

(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题

对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．

这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．

对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．

(2)对数函数的图象变换的问题 ①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)

平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)

②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)

平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1) ③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)

④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象

同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)

【例5】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．

解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，

∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ． 又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立， ∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0． ∴b ＝－2．答案：－2,2

【例5－1】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象． 解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；

(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；

(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；

(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．