常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习试卷

一、

填空题。

1. 方程

x 3 d 2 x

1 0 是

阶 （线性、非线性）微分方程 .

dt 2

2.

x dy

f ( xy) 经变换 _______ ，可以化为变量分离方程

.

方程

y dx

3. 微分方程

d 3 y y 2 x

0 满足条件 y(0) 1, y (0)

2 的解有

个 .

dx 3

4. 设常系数方程

5. 朗斯基行列式

y

y

y e

x

的一个特解

y * (x) e 2 x e x xe x ，则此方程的系数

， ， .

W (t )

是函数组

x 1(t ), x 2 (t ), , x n (t ) 在 a x b 上线性相关的

条件 .

6. 方程

xydx (2x 2 3y 2

20)dy 0 的只与 y 有关的积分因子为

.

7. 已知

X

A(t) X 的基解矩阵为

(t ) 的，则 A(t)

.

8. 方程组

x '

2 0 x 的基解矩阵为

．

0 5

9. 可用变换 将伯努利方程 化为线性方程 .

10 . 是满足方程

y 2 y 5 y y 1 和初始条件

的唯一解 .

11. 方程 的待定特解可取 的形式 :

12. 三阶常系数齐线性方程

y 2 y y 0的特征根是

二、 计算题

1. 求平面上过原点的曲线方程 , 该曲线上任一点处的切线与切点和点 (1,0) 的连线相互垂直 .

dy x y 1

2．求解方程

x

y

.

dx

3

3. 求解方程

x

d 2

x

( dx )2

0 。

dt 2

dt

4 ．用比较系数法解方程 .

.

5 ．求方程

y

y sin x 的通解 . 6 ．验证微分方程

(cos xsin x

xy 2 )dx y(1 x 2 )dy 0 是恰当方程，并求出它的通解 .

A 311dX

(t) ，求

dX

7．设

24，，试求方程组 A X 的一个基解基解矩阵 A X 满足初始条件 x(0)的解 .

1dt dt

8. 求方程dy 2x13y2通过点 (1,0) 的第二次近似解.

dx

9.求( dy )34xy dy

8 y20的通解

dx dx

A 21

试求方程组 x

Ax 的解(t ), (0) 1 ,

10. 若14并求 expAt

2

三、证明题

1.若

2.设(t ), (t ) 是 X A(t )X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵 C ，使得(t)(t )C .

(x) (x0 , x) 是积分方程

x

2 y( ) ] d ,

y( x) y0[x0 , x [ , ]

x0

的皮卡逐步逼近函数序列{n ( x)}在[ ,] 上一致收敛所得的解，而(x) 是这积分方程在 [ , ] 上的连续解，试用逐步逼近法证明：在[ , ] 上( x)( x) .

3.设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:

(i)和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);

(ii)和没有共同的零点;

(iii)和没有共同的零点.

4. 试证：如果(t ) 是

dX

AX 满足初始条件(t0)的解，那么 (t ) exp A(t t0 ) dt

.

答案

一 . 填空题。

1.二，非线性

2.u xy ，1du

1

dx 3.无穷多 4.3,2,1 u( f (u)1)x

5.必要

6.y 3

7.

(t )1(t )

8.e

At

e2t0

9.

5 t

e

10.11.

12. 1,

二、计算题

1. 求平面上过原点的曲线方程 , 该曲线上任一点处的切线与切点和点 (1,0) 的连线相互垂直 .

解 : 设曲线方程为 , 切点为 ( x, y ), 切点到点 (1,0) 的连线的斜率为 , 则由题意

可得如下初值问题 :

. 分离变量 , 积分并整理后可得 .

代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为 .

dy

x y 1

2. 求解方程

x

y

.

dx

3

x y

1 0,

求得

x

1, y 2

令

x 1,

解：由

y 3 0

y

2,

x

则有

d

. 令 z

，解得

(1

z)dz d , 积分得

arctan z

1

ln(1 z 2 )

ln | | C ,

d

1 z 2

2

故原方程的解为

arctan

y

2 ln ( x 1)2 ( y

2) 2

C .

x

1

3.

求解方程

x

d 2

x

( dx )2

dt 2

dt

解

令

，直接计算可得

，于是原方程化为

，故有 或 ，积分后得 ，

即 ，所以

就是原方程的通解，这里 为任意常数。

4. 用比较系数法解方程 .

.

解：特征方程为 , 特征根为 .

对应齐方程的通解为 .

设原方程的特解有形如

代如原方程可得