幻方问题教案

幻方问题教案

执教：杜羲

传说公元前二千多年，在洛水里浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，（如图1），后来人们把它称之为洛书，实际上它是由九个数字排成一定的格式（如图2），图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。许多人产生了这样的问题，图中的九个数字，有没有别的填法？如果把图形变成4×4个方格，是否也可以进行这样的填数游戏？

1、奇偶性规律：偶数是能被2整除的整数，如0、

2、6、8等，奇数是指被2除余1的整数。奇偶数的加法具有下列性质：奇数+奇数=偶数

奇数+偶数=奇数

偶数+偶数+偶数

2、数的整除规律：a整除b，且a整除c，则a整除b+c，或a整除b-c。

3、商和余数：整数a除以整数b时，商数是q，余数是r，必有等式a=b×q+r，0≤r

当r=0时，就说b整除a，记为b|a。

如：30被7除余2，满足关系式30=7×4+2，又因为2<4，也可以说4除30余2。

4、自然数分类：如果两个整数分别被a除，所得余数相同，那么我们说这两个整数对于a是同余的。如偶数对于2是同余的（余数都为零），所有奇数对于2也是同余的，（余数都是1）。

由同余，可以对整数进行分类，如整数可按3分成：被3除余0，被3除余1，被3除余2这三类，也可按4分类，分成被4除余0，被4除余1，被4除余2，被4除余3这四类。

5、自然数分拆：将一个自然数写成两个自然数的和，叫做自然数的二分拆，其中一个和的形式称为该自然数的一个分拆。如9写成2+7，4+5，1+8等就是对9的分拆，而2+7（或4+5，1+8）就是它的一个分拆。一个分拆的被加数和加数调换位置后得到的分拆视为同一个分拆，如2+7和7+2视为9的同一分拆。

例1：将1-9这九个数，填入图3的方格内，使每行、每列、及两条对角线上三个数字的和都相等。

分析与解：假设图形中填入的数如图4所示，并设各边和对角线的三数之和为k，则解法的关键是找出中心数及各顶点的数。我们分三步来完成：

（1）求每行、每列三个数的和，即k值。

（2）确定中心数，即b2=？

（3）试填各顶点数及其它方格内数。

∵a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=3k

又∵a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=1+2+…+9=45

∴3k=45 k=15

∵a1+b2+c3=a2+b2+c2=a3+b2+c1=b1+b2+b3=15

∴(a1+b2+c3)+(a2+b2+c2)+(a3+b2+c1)+(b1+b2+b3)=4×15

(a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3)+3b2=60

45+3b2=60 3b2=15 b2=5

试填a1，若a1为奇，∵a1+c3=10，故C3为奇，a2和a3也应同奇或同偶，若a2、a3同奇，则c2为奇，b3为奇，这样就出现了六个奇数，与1-9的自然数中只有5个奇数矛盾；若a2和a3同偶，则c2为偶，b3为偶，c1也为偶，这样共出现了五个偶数，与1-9的自然数中只有4个偶数矛盾，故a1不能为奇数，则a1应填偶数，此时c1、a3、c3也只能取偶数，由于a1+c3=C1+a3=10，又∵2+8=4+6=10，故只需取a1=2，C3=8，a3=4，c1=6即可，其它各方格中的数须填a2=9，b2=3。C2=1，b1=7。如图5所示，这样就得到本题的一个解，若取a1=4，c3=6，a3=2，c1=8，须取a2=9，b3=7，b1=3，c2=1，根据对称轮换，答案是唯一的。

说明：此题是引例中的问题，将1-9九个数，填入列3×3个方格内，使每行每列、每条对角线的和相等，这叫做三阶幻方，一般地，在n×n个方格内，填上n×n个连续自然数，并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等，则称它为n 阶幻方。解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。

例2：把1到6这六个数分别填在图7-a中三角形三条边上的六个圆圈内，使每条边上三个圆圈内的数的和都相等。

分析与解：设填入顶点圆圈内的数分别为a、b、c，其余三个圆圈内的数分别是d、e、f。每条边上三个圆圈内数的和为k，如图7-a。

∵a+d+b=k,b+e+c=k,a+f+c=k

∴(a+d+b)+(b+e+c)+(a+b+c)=3k

又∵a+b+c+d+e+f=1+2+…+6=21

∴(a+b+c+d+e+f)+(a+b+c)=3k

21+(a+b+c)=3k

由上式可知：a+b+c最小时，k值也最小，a+b+c最大时，k值也最大，且k是整数，当a+b+c=1+2+3=6时，k=9，a+b+c=4+5+6=15时，k=12，所以k可取9、10、11、12四种情况。

当k=9时，a+b+c=6，6只有一个三拆分，6=1+2+3，因此a=1，b=2，c=3，其余三个圆圈内分别填4、5、6、，即e=4，f=5，d=6。这样就得到一个基本解（如图8）将这个解左、右旋转或适当调换后，可以得到其余的五个解。

当k=10时，a+b+c=9，9有三种三拆分，9=1+2+6=1+3+5=2+3+4，当a、b、C为1，2，6时，以2、6为顶点的一边只能填2，如图9-a，2重复了，故此解排除；当a、b、C为1、3、5时，其余边上的圆圈内约数填上2、4、6即可（如图9-b）；当a、b、c为2、3、4时，以3、4为顶点的一边只能填上3，如图9-c，3重复了，故此解也排除。

当k=11，12时，可仿照上面方法求出基本解。

说明：这个数阵问题中各条边是相互连接的，叫做封闭型数阵图。封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。

例3、把1-9这九个数，分别填入圆10-a中，使得从中辐射出的每条线上三个圆圈内的数的和相等。

分析与解：由图10-a可知，计算每条线段上的三个圆圈内数的和时都要用到中心数，因此确定中心数是解此题的关键。该中心数为χ，其余各数如图10-b所示，每条线段上的三数之和为k。

∵χ+a1+a2=χ+b1+b2=χ+c1+c2=χ+d1+d2=k