基本不等式 PPT

等式也称为均值不等式。
结论
创原家独
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科
两个非负实数的算术平均值大于或等于它们 的几何平均值。
学
基本不等式的几何解释
如图1-14，AB是半圆O的直径，点C在AB上， 且AC=a，CB=b.过点C作AB的垂线交于 AB 点D。
ab 连接AD，OD，BD.显然OD=OA= 2 ；利用 ACD相似于DCB 三角形相似，可证得，从而 CD ab 。
课后小结
1.运用基本不等式求最值的三个注意：“一 正二定三相等” 2.理解基本不等式的几何意义
谢谢பைடு நூலகம்
4
（2）若xy=p（p为定值）则当且仅当x=y时，x+y 取得最小值 2 p
例5：已知x，y均为整数，试证明：若x+y=s（s为定
值），则当且仅当x=y，时，xy取得最大值 s2
4
证明：由基本不等式 x y xy 和x+y=s，得 s xy
s2
2
2
所以：xy 4
又因为当x=y= s 时，不等式中的等号成立，所以
A．
B．2
C．
D．
2．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（ ）
A．有最大值为1
B．有最小值为1
C．有最大值为
D．有最小值为
（3）“1”的代换运用 1．若对任意的正数a，b满足a+3b﹣1＝0，则 的最小值为（ ） A．6 B．8 C．12 D．24 2．若ab＞0， ＝1，则a+b的最小值是_____
基本不等式
知识引入
对于任意实数x和y，（x-y）2≥0总是成立的，
即x2-2xy+y2≥0，所以
x2
2
y2
xy，当且仅当x=y
时，等号成立。
若a≥0，b≥0，取 x
a, y
b
，则
ab 2
ab,
当且仅
当a=b时，等号成立。
这个不等式称为基本不等式，其中
ab 2
称为a，b的
算术平均数， ab 称为a，b的几何平均数，因此，基本不
从图中可以看出OD≥CD，当 且仅当点C与圆心0重合时，等号 成立，即“半径大于或等于半 弦”.
例4：已知a>0，b>0，c>0，
求证：a b c ab bc ac
和定积最大，积定和最小
当x，y均为正数时，下面的命题均成立： （1）若x+y=s（s为定值）则当且仅当x=y时，xy 取得最大值 s2
题型归类
（1）利用基本不等式求最值
1．下列函数中，最小值是2的是（ ）
A．y＝
B．y＝
C．y＝7x+7﹣x
D．y＝x2（x＞0）
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若a，b∈R，则
B．若x＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x∈R，则
（2）和定积最大，和定积最小的考查
1.若mn＝1，其中m＞0，则m+3n的最小值等于（ ）
2
此时xy取得最大值 s2 .
4
例6：如图1-16，动物园要围成四间相同面积的长方形禽 舍， 一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（接头处不计） （1）现有可围36m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各 设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ （2）若使每间禽舍面积为24m2则每间禽舍的长、宽各设计 为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？