用数学归纳法证明不等式举例
用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．例1已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：(1＋x)n＞1＋nx．证：(1)当n=2时，左边=(1＋x)2=1＋2x＋x2，右边=1＋2x，因x2＞0，则原不等式成立．(在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫)(2)假设n=k时(k≥2)，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx．师：现在要证的目标是(1＋x)k+1＞1＋(k＋1)x，请同学考虑．师：现将命题转化成如何证明不等式(1＋kx)(1＋x)≥1＋(k＋1)x．显然，上式中“=”不成立．故只需证：(1＋kx)(1＋x)＞1＋(k＋1)x．提问：证明不等式的基本方法有哪些？(学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结)师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．当n=k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0，于是左边=(1＋x)k+1=(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)=1＋(k＋1)x＋kx2；右边=1＋(k＋1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x．这就是说，原不等式当n=k ＋1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．(通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的)例2证明：2n＋2＞n2，n∈N＋．证：(1)当n=1时，左边=21＋2=4；右边=1，左边＞右边．所以原不等式成立．(2)假设n=k时(k≥1且k∈N)时，不等式成立，即2k＋2＞k2．现在，请同学们考虑n=k＋1时，如何论证2k+1＋2＞(k＋1)2成立．师：将不等式2k2－2＞(k＋1)2，右边展开后得：k2＋2k＋1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2＋2k＋1方向进行转化，即：2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3．由此不难看出，只需证明k2－2k－3≥0，不等式2k2－2＞k2＋2k＋1即成立．师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证？师：(补充板书)当n=2时，左=22＋2=6，右=22=4，所以左＞右；当n=3时，左=23＋2=10，右=32=9，所以左＞右．因此当n=1，2，3时，不等式成立．(以下请学生板书)(2)假设当n=k(k≥3且k∈N)时，不等式成立．即2k＋2＞k2．因为2k+1＋2=2·2k＋2=2(2k ＋2)－2＞2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3=(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋1＞0)≥k2+2k＋1=(k＋1)2．所以2k+1＋2＞(k＋1)2．故当n=k＋1时，原不等式也成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N都成立．师：通过例2可知，在证明n=k＋1时命题成立过程中，针对目标k2＋2k＋1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证n=1．扩大到验证n=1，2，3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．例3求证：当n≥2时，(在这里，学生极易出现错误，错误的思维定势认为从n=k到n=k＋1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，教师在这里要着重分析，化解难点．)问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，使问题获得简捷的证明：师：设S(n)表示原式左边，f(n)表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k＋1命题的转化途径是：要注意：这里S＇(k)不一定是一项，应根据题目情况确定．。
柯西施瓦茨不等式 数学归纳法
柯西施瓦茨不等式数学归纳法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：柯西施瓦茨不等式是数学中一个非常重要的不等式，它在许多领域中都有着广泛的应用。
柯西施瓦茨不等式是由法国数学家柯西（Augustin Louis Cauchy）和瑞士数学家施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz）分别独立提出的，后来被称为柯西施瓦茨不等式。
这个不等式可以用来描述内积空间中的向量之间的关系，也可以用来证明各种数学问题。
柯西施瓦茨不等式的数学表达式如下：\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)a和b都是n维向量，\sum_{i=1}^{n} a_i b_i是向量a和b的内积，\sum_{i=1}^{n} a_i^2和\sum_{i=1}^{n} b_i^2分别是向量a和b的范数的平方。
柯西施瓦茨不等式的几何意义是，两个向量的内积的绝对值不会超过它们的范数的乘积。
这个不等式可以用来证明一系列的数学问题，例如在线性代数、实分析、概率论等领域中经常会用到。
下面我们将通过数学归纳法来证明柯西施瓦茨不等式。
我们来看一下当n=2时的情况。
假设有两个向量a和b，它们的分量分别为a=(a_1,a_2)，b=(b_1,b_2)。
根据柯西施瓦茨不等式的定义，我们有：(a_1b_1 + a_2b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)展开计算可得：这就证明了当n=2时，柯西施瓦茨不等式成立。
假设当n=k时柯西施瓦茨不等式成立，即对于任意k维向量a=(a_1,a_2,...,a_k)和b=(b_1,b_2,...,b_k)，有：假设有两个k+1维向量a=(a_1,a_2,...,a_{k+1})和b=(b_1,b_2,...,b_{k+1})。
数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，它基于数学归纳的思想，通过证明一个命题在一些特定条件下成立，并且在此条件下该命题的下一步也具有同样的性质，从而证明该命题对于一切满足该条件的情况都成立。
在这里，我们将使用数学归纳法来证明一个不等式。
不等式是数学中常见的一种关系式，它描述了两个数或者更多数之间大小关系的性质。
在这里，我们将使用数学归纳法来证明一个形如：$2^n>n^2$的不等式，其中$n$是一个正整数。
首先，我们需要证明当$n=1$时，不等式$2^n>n^2$成立。
当$n=1$时，不等式变为$2^1>1^2$，显然成立。
其次，我们需要证明对于任意一个正整数$k$，如果当$n=k$时不等式$2^k>k^2$成立，那么当$n=k+1$时，不等式$2^{k+1}>(k+1)^2$也成立。
也就是说，我们需要证明如果$2^k>k^2$，那么$2^{k+1}>(k+1)^2$。
根据我们的假设，我们知道$2^k>k^2$。
将不等式两边都乘以2，我们得到$2^{k+1}>2k^2$。
由于$k$是一个正整数，所以$k^2>k$。
将这个不等式代入前面的结果中，我们得到$2^{k+1}>2k^2>k^2+k^2>k^2+k>(k+1)^2$。
也就是说，如果$2^k>k^2$，那么$2^{k+1}>(k+1)^2$。
通过对$n=1$和$n=k+1$的情况都进行证明，我们完成了对于任意正整数$n$的证明。
根据数学归纳法的原理，这意味着不等式$2^n>n^2$对于一切$n$都成立。
综上所述，我们使用数学归纳法成功地证明了不等式$2^n>n^2$，其中$n$是一个正整数。
数学归纳法证明不等式的两个技巧
数学归纳法证明不等式的两个技巧数学归纳法是一种数学证明方法，常用于证明自然数的性质。
它的基本思想是：首先证明当n为一些特定的自然数时，不等式成立；然后假设当n为一些自然数时，不等式也成立；最后利用这个假设证明当n为n+1时，不等式仍然成立。
下面将介绍两种常用的数学归纳法证明不等式的技巧。
技巧一：基础情况的证明在使用数学归纳法证明不等式时，首先需要证明基础情况，即当n为一些特定的自然数时，不等式是否成立。
例如，我们想要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n≤n²。
基础情况是n=1时，不等式左边为1，右边为1²=1，不等式成立。
技巧二：归纳假设的运用假设当n为一些自然数时，不等式也成立，即假设1+2+3+...+n≤n²成立。
然后我们要利用这个假设来证明当n为n+1时，不等式仍然成立。
例如，我们要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n+(n+1)≤(n+1)²。
根据归纳假设，我们可以得到1+2+3+...+n≤n²，所以我们可以将不等式右边的(n+1)²展开为n²+2n+1现在，我们需要证明1+2+3+...+n+(n+1)≤n²+2n+1、我们可以逐步将左边拆分成两部分，即(1+2+3+...+n)+(n+1)。
根据归纳假设，我们知道前一部分不大于n²，所以该不等式可以进一步简化为n²+(n+1)≤n²+2n+1最后，可以发现左边的n²+(n+1)小于等于右边的n²+2n+1，因为(n+1)小于等于2n+1、所以，我们得到了当n为n+1时，不等式仍然成立。
综上所述，通过基础情况的证明和归纳假设的运用，可以使用数学归纳法证明不等式。
这两个技巧可以帮助我们在证明过程中合理利用已有的条件和假设，从而简化证明的过程。
用数学归纳法证明不等式 课件
2k＋2 ·2k＋1
＝
2
2k＋2 2k＋1
＝
4k2＋8k＋4 2 2k＋1 Nhomakorabea＞
4k2＋8k＋3 2 2k＋1
＝
2k2＋· 32·k＋2k1＋1＝
2k＋1＋1
2
.
∴n＝k＋1 时，不等式也成立．
由①，②知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立．
方法二：①当 n＝2 时，左边＝1＋13＝43，右边＝ 25，左边 ＞右边，∴不等式成立．
② 假 设 当 n ＝ k(k≥2 ， k ∈ N*) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 1＋13
1＋15 … 1＋2k－1 1 ＞
2k＋1 2
，
那
么
当
n＝k＋1
时 ， 1＋13
1＋15…1＋2k－1 11＋2k＋1 1＞ 2k2＋11＋2k＋1 1＝ k2＋k＋1 1，要
证不等式成立，只需证明 k2＋k＋1 1＞ 2k＋2 1＋1，只要证明 4k2
用数学归纳法证明与数列有关的不等式问题，要注意用 到递推关系式 xn＝38＋12x2n－1，通过正确的放缩来达到目的．
1．使用数学归纳法证明不等式，难点在于由n＝k时命题 成立推出n＝k＋1时命题成立，为完成这步证明，不仅要正确 使用归纳假设，还要灵活利用问题中的其他条件和相关知 识．其中，比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地应 用．
用数学归纳法证明不等式
1．贝努利不等式：如果x是实数且x＞－1，x≠0，n为大于 1的自然数，则____(_1_＋__x_)n_＞__1_＋__n_x．
2．设α为有理数，x＞－1，如果0＜α＜1，则(1＋x)α____1 ＋ αx ≤； 如 果 α ＜ 0 或 α ＞ 1 ， 则 (1 ＋ x)α______1 ＋ αx ， 当≥且 仅 当 ____________时，等x＝号0成立．
不等式证明方法举例
不等式证明方法举例不等式证明方法举例不等式是数学中的重要概念，它描述了数值之间的大小关系。
在数学解题过程中，经常需要证明各种各样的不等式。
本文将介绍一些常见的不等式证明方法，并通过实例演示其应用。
一、直接证明法直接证明法是最基本的证明方法之一，它的思路是根据不等式中的条件以及已知数学性质，通过逻辑推理得出结论。
例1：证明对于任意实数x，都有x^2≥0。
解：根据平方的定义，可知x^2≥0，所以不等式x^2≥0成立。
例2：证明对于任意实数x和y，都有xy≥0。
解：我们可以分两种情况进行讨论。
若x≥0，那么y≥0时，显然有xy≥0；若x<0，那么y<0时，也有xy≥0。
综上所述，不等式xy≥0成立。
二、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，它常用于证明递推关系式或者命题在整数集上的成立情况。
例3：证明对于任意正整数n，下列不等式成立：1+2+3+...+n≤(n^2)/2。
解：当n=1时，左边等于1，右边等于1/2，不等式成立。
假设当n=k时不等式成立，即1+2+3+...+k≤(k^2)/2成立。
当n=k+1时，左边等于(1+2+3+...+k)+(k+1)，根据我们的假设，左边不超过(k^2)/2+(k+1)。
我们需要证明(k^2)/2+(k+1)≤((k+1)^2)/2，即不等式(k^2)+2k+2≤(k^2)+2k+1。
经过化简，可知2≤1，显然不成立。
因此，原不等式对于任意正整数n成立。
三、反证法反证法是一种常用的证明方法，它的思路是假设命题不成立，然后通过推理得出与已知条件矛盾的结论，从而得出结论的正确性。
例4：证明当x为正实数时，不等式x+1/x≥2成立。
解：假设不等式不成立，即存在一个正实数x，使得x+1/x<2成立。
那么我们可以得到如下不等式：x^2+1<x^2+2x。
经过化简，得到1<2x，也就是1/2<x。
这与假设x为正实数矛盾。
因此，原不等式成立。
如何应用数学归纳法证明不等式
如何应用数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种常见的数学证明方法，通过证明初始情况成立和任意情况都成立，来证明一般情况成立。
在不等式证明中，也可以应用数学归纳法。
本文将介绍如何应用数学归纳法证明不等式。
第一步，证明初始情况成立。
通常，需要选取一个最小的自然数来作为初始情况，然后证明不等式在该自然数下成立。
以证明$a^n-1$能够被$(a-1)$整除为例。
当$n=1$时，$a^1-1=a-1$，由于$a-1$显然能够整除$a-1$，因此初始情况成立。
第二步，假设任意情况成立。
即假设当$n=k(k \in N^*)$时，$a^k-1$能够被$(a-1)$整除。
第三步，证明一般情况也成立。
即证明当$n=k+1$时，$a^{k+1}-1$也能够被$(a-1)$整除。
由于$a^{k+1}-1 = a^k \cdot a - 1 = (a^k-1) \cdot a + (a-1)$，而根据假设，$a^k-1$能够被$(a-1)$整除，因此$a^{k+1}-1$也能够被$(a-1)$整除。
通过上述三步，我们得到了$a^n-1$能够被$(a-1)$整除。
类似的，可以应用数学归纳法证明其他的不等式。
例如证明$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$，我们可以选取$1$作为初始情况；假设当$n=k(k \in N^*)$时，$1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$；然后证明当$n=k+1$时，$1+2+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$。
当然，在进行数学归纳法证明时，选择初始情况和需要证明的语句都需要谨慎选择。
总结一下，数学归纳法是一种常见的数学证明方法，可以应用在不等式证明当中。
通过证明初始情况成立、假设任意情况成立、证明一般情况也成立这三步，可以有效地证明不等式。
数学归纳法在不等式证明中的应用
数学归纳法在不等式证明中的应用数学归纳法（Mathematical Induction）是一种常用的证明方法，通过归纳的方式证明某个性质在一系列正整数中成立。
在数学领域中，归纳法常被应用于等式的证明，但它同样适用于不等式的证明。
本文将介绍数学归纳法在不等式证明中的应用，并通过实例加深理解。
首先，让我们回顾一下数学归纳法的基本原理。
数学归纳法分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤：证明当$n=1$时，不等式成立。
也就是验证当$n$等于最小值时，不等式是否成立。
归纳步骤：假设当$n=k$时，不等式成立，即$P(k)$成立。
然后利用这个假设证明当$n=k+1$时，不等式也成立，即证明$P(k+1)$成立。
接下来，我们通过一个具体的例子来进行说明。
我们要证明对于任意的正整数$n$，都有$2^n > n$成立。
基础步骤：当$n=1$时，$2^1=2$，而$1<2$，所以基础步骤成立。
归纳步骤：假设当$n=k$时，$2^k > k$成立（即假设$P(k)$成立）。
我们需要证明当$n=k+1$时，$2^{k+1} > k+1$也成立（即证明$P(k+1)$成立）。
由归纳假设，$2^k > k$。
我们将这不等式两边都乘以2，得到$2^{k+1} > 2k$。
另一方面，由基础步骤我们知道$k < 2^k$。
把这两个不等式组合在一起，得到$k < 2^k < 2^{k+1}$。
根据不等式的传递性，$k < 2^{k+1}$。
同时注意到$k+1$也小于$2^{k+1}$，于是我们有$k < 2^{k+1} \leq k+1 < 2^{k+1}$。
综上所述，对于任意的正整数$n$，都有$2^n > n$成立。
数学归纳法在不等式证明中的应用并不仅限于上述例子。
实际上，数学归纳法可以应用于各种不等式的证明，只需要根据具体的不等式特性进行相应的推导和变换即可。
不等式的推导和证明方法
不等式的推导和证明方法不等式是数学中不可或缺的一个概念，它用于表示数值之间的关系。
不等式的形式可以很简单，例如$x>2$，也可以非常复杂，例如 $\sqrt{x^2+y^2}>\frac{x+y}{2}$。
在解决各类数学问题时，推导和证明不等式的方法是非常重要的一步。
本文将介绍一些常见的不等式的推导和证明方法。
一、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的通用方法。
若要证明某个命题对于自然数 $n$ 成立，则需要证明该命题在 $n=1$ 时成立，并证明若该命题在 $n=k$ 时成立，则该命题在 $n=k+1$ 时也成立。
不等式的证明中，归纳法常常被用于证明柯西不等式、阿贝尔不等式等一些数列不等式。
例如，考虑柯西不等式：$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq(a_1b _1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$。
对于 $n=1$，该不等式显然成立。
假设对于 $n=k$ 时该不等式成立，即$$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_k^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k)^2$$现在考虑 $n=k+1$ 时该不等式是否成立。
根据柯西不等式，有\begin{align*}&(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{k+1}^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{k+1 }^2)\\=&[(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)+a_{k+1}^2][(b_1^2+b_2^2+\cd ots+b_k^2)+b_{k+1}^2]\\\geq&(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k+a_{k+1}b_{k+1})^2\end{align*}因此，该命题对于 $n=k+1$ 成立，由数学归纳法可知对于所有$n\in\mathbb{N}$，柯西不等式成立。
(高中数学4-4)二 用数学归纳法证明不等式
例2.证明不等式sin n n sin (n N )
证明: (1)当n 1时,上式左边 sin 右边,不等式成立.
(2)假设当n k(k 1)时,命题成立,即有sin k k sin .
当是实数,并且满足 1或者 0时,并且满足0 1时,有 (1 x) 1 x( x 1)
第四讲 数学归纳法证明不等式
二.用数学归纳法证明不等式问题
例1观察下面两个数列,从第几项起an始终小于bn ? 证明你的结论.
an n2 :1,4,9,16,25,36,49,64,81,; bn 2n : 2,4,8,16,32,64,128,256,512,.
由数列的前几项猜想,从第5项起, an bn ,
(1 x)k 1 kx. 当n k 1时,
当x是实数,且x 1, x 0时,由贝努利不等式可得
(1 x )n 1 nx , 对一切不小于2的正整数n成立
1 x
1 x
把 贝 努 利 不 等 式 中 的 正整 数n改 为 实 数时, 仍 有
类似不等式成立.
当n k 1时,
例3.证明贝努利不等式:
如果x是实数,且x 1, x 0, n为大于1的自然数,
那么有
(1 x)n 1 nx
证明: (1)当n 2时,由x 0得(1 x)2 1 2x x2 1 2x, 不等式成立. (2)假设当n k(k 2)时不等式成立,即有
柯西施瓦茨不等式 数学归纳法
柯西施瓦茨不等式数学归纳法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：柯西施瓦茨不等式是数学中一个非常重要的不等式，它广泛应用于数学分析、线性代数、概率论等领域。
柯西施瓦茨不等式在数学研究中扮演着重要的作用，其证明方法之一就是利用数学归纳法。
本文将介绍柯西施瓦茨不等式的定义及证明过程，并探讨数学归纳法在证明过程中的应用。
让我们来了解一下柯西施瓦茨不等式的定义。
柯西施瓦茨不等式是指对于任意两个向量a和b，都有如下不等式成立：\[|a \cdot b| \leq \|a\| \cdot \|b\|\]a和b分别是两个n维向量，acdot b表示a和b的点积，||a||表示a的范数，也就是a的长度。
柯西施瓦茨不等式告诉我们，两个向量的点积的绝对值不会大于它们长度的乘积。
接下来，我们将使用数学归纳法来证明柯西施瓦茨不等式。
数学归纳法是一种证明方法，在证明某个数学命题时，首先证明当n=1时命题是否成立，然后假设n=k时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立，这样就证明了对于所有自然数n都成立。
我们来证明当n=1时柯西施瓦茨不等式成立。
设a和b分别是一维向量，即a=(a1)和b=(b1)，那么根据柯西施瓦茨不等式的定义，我们有：这就证明了当n=1时柯西施瓦茨不等式成立。
接下来，我们假设当n=k时柯西施瓦茨不等式成立，即对于任意k 维向量a和b有：现在我们来证明当n=k+1时柯西施瓦茨不等式也成立。
设a和b 分别是(k+1)维向量，即a=(a1,a2,...,ak,ak+1)和b=(b1,b2,...,bk,bk+1)，那么我们可以将a拆分成两部分，a=(a1,a2,...,ak)和(a(k+1))，同样将b拆分成两部分b=(b1,b2,...,bk)和(b(k+1))。
根据柯西施瓦茨不等式的性质，我们有：\[|a \cdot b|^2 = (a1b1 + a2b2 + ... + akbk + a(k+1)b(k+1))^2\]第二篇示例：柯西施瓦兹不等式是数学中的一个重要不等式，也是线性代数中的经典定理之一。
高中数学证明不等式的九种常用方法
ab-a-b+1≥a+b-3 即ab≥a+b+(a+b-4) ∵a≥2，b≥2 ∴a+b-4≥0 ∴ab≥a+b 当且仅当a=b=2时等号成立 证毕
6 Math Part
构造法
6 Math Part 构造法
构造法：通过构造函数、图形、方程、数列、 向量等来证明不等式的方法。
本题我们使用构造函数和几何图形两种方法 来说明构造法的使用。
=a(b-1)-(b-1)-1
∴ab-a-b≥0
=(a-1)(b-1)-1
即ab≥a+b
∵a≥2，b≥2
证毕
2 Math Part
综合法
2 Math Part 综合法
综合法：综合法是从命题的已知条件出发， 利用公理、已知定义及定理，逐步推导，从 而最后推导出要证明的命题。
2 Math Part 综合法
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b
∴(a-1)(b-1)<1
①
∵a≥2，b≥2
∴a-1≥1，b-1≥1
∴(a-1)(b-1)≥1
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有： 对基 栖于本 西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式 等所、 式有均 、x值 切i与不 比x等雪j同式夫号、不
用数学归纳法证明不等式举例
用数学归纳法证明不等式举例1、教学重点：了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤.2、教学难点：（1）认识数学归纳法的证明思路；（2）运用数学归纳法时，在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的递推关系.3、学生必须掌握的内容：1．数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤．①证明：当n 取第一个值n 0时结论成立；②假设当n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥n 0)时结论成立，证明当n ＝k ＋1时结论也成立． 由①②可知命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．(2)用数学归纳法证明不等式的重点．用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在)，即假设f (k )>g (k )成立，证明f (k ＋1)>g (k ＋1)成立．2．贝努利不等式(1)定义：如果x 是实数，且x >－1，x ≠0，n 为大于1的自然数，那么有(1＋x )n >1＋nx ．(2)作用：在数学研究中经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1＋x )n 缩小为简单的1＋nx 的形式，这在数值估计和放缩法证明不等式中有重要应用．例如：当x 是实数，且x >－1，x ≠0时，由贝努利不等式不难得到不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x n >1－nx 1＋x 对一切不小于2的正整数n 成立．(3)贝努利不等式的一般形式．(1)当α是实数，并且满足α>1或α<0时，有(1＋x )α≥1＋αx (x >－1)；(2)当α是实数，并且满足0<α<1时，有(1＋x )α≤1＋αx (x >－1)．3．归纳—猜想—证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法．1．关于用数学归纳法证明不等式的四点注意(1)在从n ＝k 到n ＝k ＋1的过程中，应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征．(2)瞄准当n ＝k ＋1时的递推目标，从中分离出n ＝k 时的相应式子，借助不等式性质用上归纳假设．(3)明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样的，然后通过运用放缩法、分析法、比较法、综合法等方法进行证明．(4)有些不等式先用分析法转化为另一个较为简单的不等式然后再用数学归纳法证明．2．关于贝努利不等式(1)(1＋x )n >1＋nx 成立的两个条件：①n ∈N ＋且n ≥2；②x 的取值范围是x >－1且x ≠0.于是有命题：当n ∈N ＋且n ≥2时不等式(1＋x )n >1＋nx 对一切x ∈(－1，0)∪(0，＋∞)恒成立．(2)常用特例：①当x>－1且x≠0时，(1＋x)2>1＋2x；②当x>－1且x≠0时，(1＋x)3>1＋3x.3．重要结论(1)当n≥5时，n2<2n.(2)当n∈N＋时，|sin nθ|≤n|sin θ|.4、容易出现的问题：（1）混淆数学归纳法与归纳法，数学归纳法在证明不等式时具体步骤的实施；（2）忽视第一步的归纳基础，数学归纳法的解题步骤有两步，第一步是归纳基础，第二步是归纳假设，在证明命题成立时，归纳假设这部分是一个难点，学生往往比较重视第二步的证明，却对忽视了归纳基础。
数列不等式的证明方法
数列不等式的证明方法一、数学归纳法：数学归纳法是一种证明数学命题的方法，常用于证明数列不等式的成立。
1.基本思路：数学归纳法证明数列不等式的基本思路如下：（1）首先，证明当n=1时命题成立；（2）然后，假设当n=k时命题成立，即假设P(k)成立；（3）最后，证明当n=k+1时命题也成立，即证明P(k+1)成立。
2.具体操作步骤：（1）证明当n=1时命题成立；（2）假设当n=k时命题成立，即假设P(k)成立；（3）证明当n=k+1时命题也成立，即证明P(k+1)成立。
3.举例说明：以证明斐波那契数列F(n)的递推形式F(n)=F(n-1)+F(n-2)为例。
（1）首先，证明当n=1时命题成立。
易知F(1)=1，F(0)=0，F(1)=F(0)+F(-1)成立。
（2）假设当n=k时命题成立，即假设F(k)=F(k-1)+F(k-2)成立。
（3）证明当n=k+1时命题也成立，即证明F(k+1)=F(k)+F(k-1)成立。
根据假设，F(k+1)=F(k)+F(k-1)成立，所以命题成立。
二、递推法：递推法的证明思路是通过已知条件和递推关系来逐步推导出结论。
1.基本思路：递推法证明数列不等式的基本思路如下：（1）首先，根据数列的递推关系列出递推式；（2）然后，推导出递推式的通项公式；（3）最后，利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立。
2.具体操作步骤：（1）根据数列的递推关系列出递推式；（2）推导出递推式的通项公式；（3）利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立。
3.举例说明：以证明斐波那契数列F(n)的递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)为例。
（1）根据递推关系列出递推式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)；（2）推导出递推式的通项公式：解这个递推方程得到F(n)=A*φ^n+B*λ^n，其中A、B为常数，φ和λ为一元二次方程x^2-x-1=0的两个根，φ≈1.618，λ≈-0.618；（3）利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立：证明F(n)>n，通过证明A*φ^n+B*λ^n>n，根据递推式的通项公式可得证。
如何利用数学归纳法解决不等式证明
如何利用数学归纳法解决不等式证明数学归纳法是一种常用的证明方法，特别适用于证明不等式。
它基于一个重要的思想，即如果我们可以证明当n满足某个条件时不等式成立，然后再证明当n+1满足相同条件时不等式也成立，那么我们就可以利用数学归纳法来断定对于所有符合条件的n，不等式都成立。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法的基本思想是通过先证明基础情况的成立，再通过递推关系证明所有情况的成立。
具体来说，数学归纳法包含以下两个步骤：1. 证明基础情况：首先我们需要证明当n取某个特定值时不等式成立，通常这个特定值是最小值（比如0或者1）。
这个步骤是数学归纳法的起点，也是我们证明的基础。
2. 递推关系的证明：接下来我们需要证明当n+1满足某个条件时，由n满足相同条件的情况可以推出n+1满足相同条件。
这个步骤是数学归纳法的核心，通过递推关系的证明，我们可以将不等式的成立从一个情况推广到下一个情况，直到覆盖所有符合条件的情况。
二、利用数学归纳法解决不等式证明的步骤下面以一个具体的例子来说明如何利用数学归纳法解决不等式证明的问题。
例题：证明对于任意正整数n，都有1+2+3+...+n ≤ n^2/2。
证明：步骤一：证明基础情况成立当n=1时，左边的表达式是1，右边的表达式是1^2/2=1/2。
显然左边小于等于右边，基础情况成立。
步骤二：递推关系的证明假设当n=k时不等式成立，即1+2+3+...+k ≤ k^2/2，我们需要证明当n=k+1时不等式也成立，即1+2+3+...+k+(k+1) ≤ (k+1)^2/2。
根据我们的假设，已知1+2+3+...+k ≤ k^2/2，我们再加上(k+1)两边，得到：1+2+3+...+k+(k+1) ≤ k^2/2 + (k+1)。
我们可以进一步化简右边的表达式：k^2/2 + (k+1) = (k^2 + 2k + 1)/2 = (k+1)^2/2。
因此，1+2+3+...+k+(k+1) ≤ (k+1)^2/2。
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6k＋1 1 1 2 ∵ ＋ ＝ 2 > ， 3k＋2 3k＋4 9k ＋18k＋8 3k＋1 1 1 2 ∴ ＋ － >0， 3k＋2 3k＋4 3k＋1 1 1 1 25 ∴ ＋ ＋…＋ > 也成立． k＋1＋1 k＋1＋2 3k＋1＋1 24
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数学[新课标· 选修4-5]
1 设0<a<1，定义a1＝1＋a，an＋1＝ ＋a， an 1 求证：对一切正整数n∈N ，有1<an< . 1－a 【证明】 (1)当n＝1时，a1＝1＋a，且0<a<1，
*
∴a1>1. 1 又a1＝1＋a< ， 1－a 因此当n＝1时， 1 不等式1<an< 成立． 1－a
k
∴当n＝k＋1时不等式也成立． 据①、②知对任何n∈N*原不等式均成立．
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证明：2n＋2>n2(n∈N*)．
【思路探究】 验证n＝1,2,3时不等式成立⇒假设n＝k成
立，推证n＝k＋1⇒n＝k＋1成立，结论得证
【自主解答】 左边>右边；
【思路探究】 先通过n取值计算，求出a的最大值，再用
数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步， 运用比差法较方便．
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【自主解答】 26 a 则24>24， ∴a<26. 又a∈N*， ∴取a＝25.
1 1 1 a 当n＝1时， ＋ ＋ > ， 1＋1 1＋2 3×1＋1 24
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所以2k＋1＋2>(k＋1)2， 故当n＝k＋1时，原不等式也成立． 根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N*都成立．
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1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1) 太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到 验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3， 促使放缩成功，达到目标． 2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n ＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与 “缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难 题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．
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【解】 假设g(n)存在，那么当n＝2时， 由a1＝g(2)(a2－1)，
1 即1＝g(2)1＋2－1，∴g(2)＝2；
当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)，
1 1 1 即1＋1＋2＝g(3)1＋2＋3－1，
1 因此当n＝k＋1时，1<ak＋1< ，命题也成立． 1－a 1 综合(1)、(2)可知，对一切正整数n，有1<an< . 1－a
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不等式中的探索、猜想、证明
1 1 1 1 a 若不等式 ＋ ＋ ＋…＋ > 对一 n＋1 n＋2 n＋3 3n＋1 24 切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．
(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，
当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左>右； 当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右． 因此当n＝1,2,3时，不等式成立．
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(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N)时，不等式成立，即2k＋2＞ k2(k∈N*)． 当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2· 2k＋2 ＝2(2k＋2)－2>2k2－2 ＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3 ＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3) ∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0， ∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2.
数学归纳法证明不等式
1 1 1 已知Sn＝1＋ ＋ ＋…＋ (n>1，n∈N*)，求证： 2 3 n n S2n>1＋2(n≥2，n∈N*)．
【思路探究】 先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳
法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后 证/师
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1 1 1 若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋ (n∈ 2 3 n 1 3 N )，由f(1)＝1> ， f(3)>1，f(7)> ，f(15)>2，…” .试问：f(2n 2 2
*
n －1)与 大小关系如何？试猜想并加以证明． 2
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1 1 1 1 1 ＝k＋1＋k＋2＋…＋3k＋1＋3k＋2＋3k＋3＋ 1 1 1 2 25 1 － ＋ － > ＋ ， 3k＋4 k＋1 24 3k＋2 3k＋4 3k＋1
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当n＝k＋1时， 1 1 1 1 1 S2k＋1＝1＋2＋3＋…＋2k＋ k ＋…＋ k＋1 2 ＋1 2 k 1 1 1 >1＋2＋ k ＋ k ＋…＋ k＋1 2 ＋1 2 ＋2 2 k＋1 k 2k k 1 >1＋ ＋ k k＝1＋ ＋ ＝1＋ . 2 2 ＋2 2 2 2 故当n＝k＋1时，命题也成立． n 由(1)、(2)知，对n∈N ，n≥2，S2n>1＋2都成立．
1 ＝(k＋1)ak＋k＋1－1 ＝(k＋1)(ak＋1－1)，
说明当n＝k＋1时，结论也成立， 由(1)、(2)可知 ，对一切大于1的正整数n，存在g(n)＝n使 等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立．
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如何认识贝努利不等式？
【提示】 当指数n推广到任意实数α时，x＞－1时， ①若0＜α＜1，则(1＋x)α≤1＋αx. ②若α＜0或α＞1，则(1＋x)α≥1＋αx. 当且仅当x＝0时等号成立．
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1 1 1 25 (1)当n＝2时，S22＝1＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝ 12 >1＋
【自主解答】 2 ， 2
即n＝2时命题成立． 1 1 (2)假设n＝k(k≥2，k∈N )时命题成立，即S2k＝1＋ 2 ＋ 3
*
1 k ＋…＋2k>1＋2.
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∴g(3)＝3，
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当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)，
1 1 1 即1＋1＋2＋1＋2＋3 1 1 1 ＝g(4)1＋2＋3＋4－1，
∴g(4)＝4， 由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)． 下面用数学归纳法证明： 当n≥2，n∈N＋时， 等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立．
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1 (2)假设n＝k(k≥1 ，k∈N )时，命题成立，即1<ak< . 1－a
*
当n＝k＋1时，由递推公知，知 1 ak＋1＝a ＋a>(1－a)＋a＝1， k
2 1 － a 1 1 同时，ak＋1＝a ＋a<1＋a＝ < ， 1 － a 1 － a k
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(1)当n＝2时，a1＝1，
1 g(2)(a2－1)＝2×1＋2－1＝1，
结论成立．
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(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立， 即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立， 那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak ＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k ＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1
*
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此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄 1 1 1 1 错，认为 2k 的后一项为 k＋1 ，实际上应为 k ；二是 k ＋ 2 2 ＋1 2 ＋1 1 1 k k＋1 ＋ … ＋ 共有多少项之和，实际上 2 ＋ 1 到 2 是自然数 k k＋1 2 ＋2 2 递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k.
(教材第53页习题4.2第3题)用数学归纳法证明：对 1 1 1 n－1 于任意大于1的正整数n，不等式22＋32＋…＋n2< n 都成立．
2 xn 设a＞2，给定数列{xn}，其中x1＝a，xn＋1＝ 2xn－1
(n＝1,2，…)求证： xn＋1 (1)xn＞2， x ＜1(n＝1,2，…)； n (2)如果a≤3，那么xn≤2＋ n－1(n＝1,2，…)． 2
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