3.2几何作图
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第3章-基本立体的投影
第3章 基本立体的投影
3.2.2 圆锥
1. 圆锥面的形成 圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而 成的。圆锥体由圆锥面和底面组成。 2. 圆锥的投影 图3-4表示一直立圆锥，它的正面投影和侧面投影 为同样大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圆锥面 的最左和最右素线的投影，它们把圆锥面分为前、后 两半；侧面投影s″c″和s″d″是圆锥面最前和最后素线的 投影，它们把圆锥面分为左、右两半。
第3章 基本立体的投影
图3-4(b)中，已知K点的正面投影k′，求点 K的其他两个投影。可用辅助圆法作图，即过 点K在锥面上作一水平辅助纬圆，该圆与圆锥 的轴线垂直，点K的投影必在纬圆的同面投影 上。作图时，先过k′作平行于X轴的直线，它 是纬圆的正面投影，再作出纬圆的水平投影。 由k′向下作垂线与纬圆交于点k，再由k′及k求 出k″。因点K在锥面的右半部，所以k″不可见。第3章 基ຫໍສະໝຸດ 立体的投影2. 棱柱表面上的点
在平面立体表面上的点，实质上就是平面上的点。 正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上的 点可利用平面投影的积聚性来作图。
如已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求水平、侧 面投影m、m″。由于正面投影m′是可见的，因此M点必 定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD为铅垂 面，水平投影abcd具有积聚性，因此m必在abcd上。根 据m′和m，由点的投影规律可求出m″，如图3-1(b)所示。
第3章 基本立体的投影
3.2 曲面立体
由一母线绕轴线回转而形成的曲面称为回转面， 由回转面或回转面与平面所围成的立体称为曲面立体。 母线在回转面上的任一位置称为素线。常见的曲面立 体有圆柱、圆锥和圆球等。
第3章 基本立体的投影
3.2.1 圆柱 1. 圆柱面的形成 圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴线旋转而
3.2.2 双曲线的简单几何性质(PPT)-2024-2025学年高二数学同步备课 (人教A版201
2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(
2 2
A. 4 －12＝1
2 2
B.12－ 4 ＝1
)
2
C. 3 － 2 ＝1
2
D． 2 － 3
＝1
1
(2)渐近线方程为y＝± 2 x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________.
[解析] (1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1， 3)，所以 ＝ 3，
学习目标
1.根据双曲线的方程研究双曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养．
2．了解离心率对双曲线开阔程度的影响，培养数学运算的核心素养．
3. 根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养．
重点、难点
重点：运用双曲线的方程获得几何性质
难点：双曲线的渐近线及离心率的意义
2
故所求双曲线的标准方程为 4 －y2＝1；
2 2
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为64－16＝λ(λ>0)，
1
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－4<0(舍去)．
2
综上可知，所求双曲线的标准方程为 4 －y2＝1.
（三）典型例题
2.双曲线的离心率与渐近线
2
(1)已知双曲线2
例2.
[提示] 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．
2．只根据渐近线方程能确定双曲线方程吗？
[提示] 不能．因为不能根据渐近线方程的斜率确定焦点位置，而渐近线方程中斜率只是比值．
3．椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？
[提示] 双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大．
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
画法几何与土木工程制图习题集3.2组合体投影图的画法、尺寸标注
基本形体一般标注出长、宽、高三个方向的尺寸即可，一般有两个投影就可以表示 清楚。但是，这两个投影中必须有一个能够反映基本形体特征的投影，即必须有一个与 轴线垂直的投影（图3-35）。
1）棱柱、棱锥。需标注出下底的长、宽边长或多边形的外接圆直径和高。 2）圆柱、圆锥。需标注出下底直径和高。 3）球。标注代号“S”及直径。
画法几何与土木工程制图
3.2.1 组合体投影图的画法
（4）画投影图的步骤 图形分析、投影方向选择和比例、图幅确定后，一般按以下步骤作图。 1）布图。确定各投影图的定位线或基准线在图纸上的具体位置。 2）画底稿线。用H或较硬的铅笔，按次序画出一个一个简单几何形体的三面投影。 3）检查与修改。画底稿图后，仔细检查，修改错误之处。 4）加深图线。检查无误后，用B或更软的铅笔加深图线。加深图线的顺序是从上至
画法几何与土木工程制图
图3-37 组合体尺寸标注
3.2 组合体投影图的画法、尺寸标注
画法几何与土木工程制图
画法几何与土木工程制图
s
3.2.2 组合体投影图的尺寸标注
图3-35 基本形体尺寸标注
画法几何与土木工程制图
3.2.2 组合体投影图的尺寸标注
（2）基本形体截口尺寸标注 带截口的基本形体除了标注形体本身的长宽高三个方向尺寸外，还应标注出截口的
定位尺寸，即：和某轴或某平面的关系，如图3-36所示
画法几何与土木工程制图
图 3-36 截口尺寸标注
3.2.2 组合体投影图的尺寸标注
（3）组合体尺寸标注 组合体尺寸标注要符合国家有关制图标准和规定，要求尺寸完整、清晰、正
确和相对集中。 1）尺寸分类 组合体（含建筑形体）的尺寸分为定位尺寸、定量尺寸和总尺寸三种。定位
尺寸，是确定各基本形体的相对位置关系；定量尺寸，是确定基本形体的大小； 总尺寸是确定组合体的总长、总宽和总高。
1）棱柱、棱锥。需标注出下底的长、宽边长或多边形的外接圆直径和高。 2）圆柱、圆锥。需标注出下底直径和高。 3）球。标注代号“S”及直径。
画法几何与土木工程制图
3.2.1 组合体投影图的画法
（4）画投影图的步骤 图形分析、投影方向选择和比例、图幅确定后，一般按以下步骤作图。 1）布图。确定各投影图的定位线或基准线在图纸上的具体位置。 2）画底稿线。用H或较硬的铅笔，按次序画出一个一个简单几何形体的三面投影。 3）检查与修改。画底稿图后，仔细检查，修改错误之处。 4）加深图线。检查无误后，用B或更软的铅笔加深图线。加深图线的顺序是从上至
画法几何与土木工程制图
图3-37 组合体尺寸标注
3.2 组合体投影图的画法、尺寸标注
画法几何与土木工程制图
画法几何与土木工程制图
s
3.2.2 组合体投影图的尺寸标注
图3-35 基本形体尺寸标注
画法几何与土木工程制图
3.2.2 组合体投影图的尺寸标注
（2）基本形体截口尺寸标注 带截口的基本形体除了标注形体本身的长宽高三个方向尺寸外，还应标注出截口的
定位尺寸，即：和某轴或某平面的关系，如图3-36所示
画法几何与土木工程制图
图 3-36 截口尺寸标注
3.2.2 组合体投影图的尺寸标注
（3）组合体尺寸标注 组合体尺寸标注要符合国家有关制图标准和规定，要求尺寸完整、清晰、正
确和相对集中。 1）尺寸分类 组合体（含建筑形体）的尺寸分为定位尺寸、定量尺寸和总尺寸三种。定位
尺寸，是确定各基本形体的相对位置关系；定量尺寸，是确定基本形体的大小； 总尺寸是确定组合体的总长、总宽和总高。
( 人教A版)2-1：3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系课件 (共31张PPT)
解析：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2) ∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)， ∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)， ∴a与u既不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交．
[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D(0,0,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)， B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥D→A，n1⊥A→E， 即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)， 则n·D→C＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0， ∴y＝－12. 又n·D→S＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0， ∴z＝12. ∴n＝1，－12，12即为平面SCD的一个法向量．
探究三 利用空间向量证明平行关系 [典例3] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
G→En＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
n·G→E＝0， 则n·G→F＝0.
∴－－2xx－＋y＋y＋2zz＝＝00，.
∴xy＝＝zz.， ∴n＝(z，z，z)，令z＝1，此时n＝(1,1,1)， 所以平面EFG的一个法向量为(1,1,1)．
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意， 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？ 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到； 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事， 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距， 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致， 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口， 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有�
3.2.2双曲线的简单几何性质(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
双曲线的渐近线方程？
=−
2 2
对于双曲线 2 − 2 = 1和它的渐近线 = ± ，
=
y
(, )
将方程中的与互换，就得到双曲线
即 = ± ．
− 2 = 1 的渐近线方程 = ± ，
2
2
2
(−, )
规律方法：由双曲线方程求渐近线方程，只需把1变成0,
∴当 ∈
2
+
2
2
> 1.
=
(1, +∞)时，
∈
1+
2
(0, +∞),且增大, 也增大
b
离心率越大, 渐近线y x的斜率越大 双曲线的“张口”越大
a
新知探究
方程
2 2
− 2=1
2
2 2
− 2=1
2
图像
范围
对称性
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
关于轴、轴、原点对称
（ − ，），（，） （， − ），（，）
a
b
y x
y x
渐近线
b
a
= >
离心率
顶点
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
2
2
x
y
2
2
2
2
2
2
(1) x 8 y 32; (2) 9 x y 81; (3) x y 4; (4)
=−
2 2
对于双曲线 2 − 2 = 1和它的渐近线 = ± ，
=
y
(, )
将方程中的与互换，就得到双曲线
即 = ± ．
− 2 = 1 的渐近线方程 = ± ，
2
2
2
(−, )
规律方法：由双曲线方程求渐近线方程，只需把1变成0,
∴当 ∈
2
+
2
2
> 1.
=
(1, +∞)时，
∈
1+
2
(0, +∞),且增大, 也增大
b
离心率越大, 渐近线y x的斜率越大 双曲线的“张口”越大
a
新知探究
方程
2 2
− 2=1
2
2 2
− 2=1
2
图像
范围
对称性
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
关于轴、轴、原点对称
（ − ，），（，） （， − ），（，）
a
b
y x
y x
渐近线
b
a
= >
离心率
顶点
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
2
2
x
y
2
2
2
2
2
2
(1) x 8 y 32; (2) 9 x y 81; (3) x y 4; (4)
几何画板优秀课件
(1) 对需要进行计算旳对象进行测量。 (2) 打开【度量】菜单，选择【计算】命令。 (3) 在计算器中，按计算所要求旳顺序依次选用各有关度量值以及各有关旳运算符号
或函数，建立计算体现式。 (4) 单击【拟定】按钮即可在几何画板窗口显示计算体现式与成果。 因为几何画板中旳计算器不同于Windows中旳计算器，在操作上有其特殊性，所以在用
3.2.1 几何画板迅速入门
几何画板旳工具箱中涉及【选择箭头】工具、【点】工具、【圆规】工具、【直线】工具、 【文本】工具、【自定义】工具等，要从工具箱中选择工具，只要单击工具按钮，即可选 中该工具，如图3.2所示旳【圆规】工具按钮。需要注意旳是，【选择箭头】工具涉及选择 移动、旋转、缩放3种工具，【直线】工具涉及线段、直线、射线3种工具，要使用【选择 箭头】工具和【直线】工具中旳其他工具，首先要将鼠标箭头指向工具箱旳【选择箭头】 工具或【直线】工具，然后按下鼠标左键不放，待出现其他工具时，再把鼠标移到需要旳 工具上，松开鼠标键即可将该工具激活并显示在工具箱上。工具箱中各个工具旳作用如表 3.1所示。
位旳计算，能够忽视单位旳变化。 (4) 用【标签】工具双击计算或度量成果，在弹出旳度量成果属性对话框中能够修改
体现式旳外观，如图3.14所示。
3.2.2 窗口菜单及操作
7. 【图表】菜单 几何画板中旳【图表】菜单提供了坐标以及与解析几何有关旳命令，
详细如图3.15 所示。 坐标系是由一种原点和一种单位长度拟定旳，默认情况下几何画板窗
3.2.1 几何画板迅速入门
3.2.1 几何画板迅速入门
3.2.1 几何画板迅速入门
3.2.2 窗口菜单及操作
3.2.2 窗口菜单及操作
3.2.2 窗口菜单及操作
3.2.2 窗口菜单及操作
或函数，建立计算体现式。 (4) 单击【拟定】按钮即可在几何画板窗口显示计算体现式与成果。 因为几何画板中旳计算器不同于Windows中旳计算器，在操作上有其特殊性，所以在用
3.2.1 几何画板迅速入门
几何画板旳工具箱中涉及【选择箭头】工具、【点】工具、【圆规】工具、【直线】工具、 【文本】工具、【自定义】工具等，要从工具箱中选择工具，只要单击工具按钮，即可选 中该工具，如图3.2所示旳【圆规】工具按钮。需要注意旳是，【选择箭头】工具涉及选择 移动、旋转、缩放3种工具，【直线】工具涉及线段、直线、射线3种工具，要使用【选择 箭头】工具和【直线】工具中旳其他工具，首先要将鼠标箭头指向工具箱旳【选择箭头】 工具或【直线】工具，然后按下鼠标左键不放，待出现其他工具时，再把鼠标移到需要旳 工具上，松开鼠标键即可将该工具激活并显示在工具箱上。工具箱中各个工具旳作用如表 3.1所示。
位旳计算，能够忽视单位旳变化。 (4) 用【标签】工具双击计算或度量成果，在弹出旳度量成果属性对话框中能够修改
体现式旳外观，如图3.14所示。
3.2.2 窗口菜单及操作
7. 【图表】菜单 几何画板中旳【图表】菜单提供了坐标以及与解析几何有关旳命令，
详细如图3.15 所示。 坐标系是由一种原点和一种单位长度拟定旳，默认情况下几何画板窗
3.2.1 几何画板迅速入门
3.2.1 几何画板迅速入门
3.2.1 几何画板迅速入门
3.2.2 窗口菜单及操作
3.2.2 窗口菜单及操作
3.2.2 窗口菜单及操作
3.2.2 窗口菜单及操作
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(第3课时)课件(人教版)
当1-k2≠0即k≠±1时，若直线与双曲线只有一个公共点
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
画法几何及工程制图2
§3.2 点的二面投影（two-plane projection of point）一、二面投影体系的建立及点的二面投影点是形体最基本的元素。
在几何学中无大小、薄厚、宽窄，只占有位置。
空间点用大写字母表示，投影点用小写字母表示。
图 2设立一个投影面P，则A1、 A2、A3点在投影面P上的正投影是唯一的。
但反过来，若知道了点的一个投影，却不能确定点的空间位置（缺少一个坐标）。
因此要确定一个点的空间位置，只有一个投影是不够的。
现设立两个互相垂直的投影面正立投影面V（也称正面或V面）、水平投影面H（也称水平面或H面），从而构成二投影面体系。
V面和H面的交线OX称为投影轴。
A点的在V面上的投影称为A点的正面投影或A点的正投影、A点的V投影，用a’表示。
A点的在H面上的投影称为A点的水平投影或A点的H投影，用a表示。
图 3我们需要把这种空间关系在一种图纸上（一个平面上）表达出来。
保持V面不动，H面绕OX轴向下旋转90º直至与V面重合，从而得到点的二面投影图。
为简便起见，投影图中投影面的边框不必画出。
在点的二面投影体系中，X、Y、Z三个坐标均能体现，故点的二面投影就唯一确立了点在空间的相对位置（相对二面投影体系）。
图4容易得出点在二面投影体系中的投影规律：⒈点的两投影的连线⊥投影轴。
证明。
⒉投影点到投影轴的距离，反映该空间点到另一投影面的距离。
二、点在四个象角中的投影平面本身是可以无限延长的，因此就有上V面、下V面、前H面和后H面，它们把空间分为四个部分──四个象限或象角。
分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ标记。
画投影图时仍然保持V面不动，前H面向下旋转与下V重合，后H面向上旋转与上V重合，只画OX轴，不必注投影面标记，也不用画边框。
⒈在四个象角内的点。
（1） A点在Ⅰ象角内。
其正面投影a’在OX轴上方，水平投影a在OX轴下方。
（2） B点在Ⅱ象角内。
H面之上，V面之后。
正投影b’在OX轴上方，水平投影b也在OX轴上方。
机械制图第3章-基本几何体
b' A
ABC是水平面，在俯视图的上各反个映投影均为类似形。 实两形个。侧侧 棱棱面C面为ca""S一A般C为位侧置垂平其面面棱侧，。面面另△投S影AsC”为a侧”垂c”面，
a
s B c b"
重影为一直线。
b
Y
正三棱锥的投影
16
V
a' X
Z s'
S
s"
W
b'
Ca"
A
c"
a
s B c b"
b
Y
正三棱锥的投影
d
X
a
d” a”b” c”
Cb
c
22 Y
2）圆柱表面上取点
已知圆柱表面上的点M及N正面投影a’、 b’、m′和n′，求 它们的其余两投影。
b’ a’
(b”) a”
b
a
在圆柱表面上取点
23
2、圆锥体
1） 圆锥的投影
圆锥表面由圆锥面和底圆组成。它是一母线绕与它相交
的轴线回转而成。
Z
如图所示，圆锥轴 线垂直H面，底面为水 平面，它的水平投影 反映实形，正面和侧 面投影重影为一直线。
成的平面。 讨论的问题：截交线的分析和作图 。
32
一、 平面立体的截切
1、平面截切的基本形式
截断面 截交线
截平面
截交线与截断面
33
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。 •平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。 • 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
第三章3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质PPT课件(人教版)
4.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于
A.12
√B.
2 2
C.1
D. 2
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1,0) 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 25，则双曲线 C 的渐近线方
∴b＝2，∴－m1 ＝b2＝4， ∴m＝－41，故选 C.
12345
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲
线的方程是
√A.x2－y2＝8
B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8
D.y2－x2＝4
解析 令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝21c2＝21×16＝8，故选 A.
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程为 y＝±bax＝±23x.
延伸探究 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心 率、顶点坐标和渐近线方程.
解 把方程 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为xm2－yn2＝1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长 a＝ m，
所以双曲线的离心率为 1＋ 2.
3 随堂演练
PART THREE
1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则
√A.实轴长为 8 2
√B.虚轴长为 4
C.焦距为 6
√D.离心率为3 4 2
解析 双曲线方程 x2－8y2＝32 化为标准方程为3x22 －y42＝1， 可得 a＝4 2，b＝2，c＝6，
高中数学选修2-1第三章3.2立体几何的向量方法(3)——空间角
C
D CA, DB
进行向量运算
d2
2
AB
( AC
CD
DB)2
A
图3
2
2
2
AB CD BD 2(AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2AC DB
a2 c2 b2 2CA DB
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
3.2立体几何的向量方法（3）
• 空间向量与空间角
例 1、如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,M、N 分别是
棱 CD、CC1的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角
的大小是
.
法二 以 D 为原点,DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立 空间直角坐标系,设 AB=1,
则 D(0,0,0),N0,1, 1 ,
15
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B
处。从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，AC a，BD b，CD c，AB d.
化为向量问题
B
根据向量的加法法则 AB AC CD DB
a, b), 1 a2 b2
2
0
C1(0, 0, b),
z C1
2
∵ CC1B在坐标平面yoz中
C
∴ 可取 n＝（1，0，0）为面CC1B的法向量 x
D
设面 C1BD 的一个法向量为 m ( x, y, z)
3.2立体几何中的向量方法
例1 如图 3.2 3 , 一个结晶 体形状为四棱柱 , 其中, 以顶 点A为端点的三条棱长都相 等, 且它们彼 此 的夹角都 是
D1
C1 B1
A1
D
60 0 , 那么这个顶点为端点的A B 晶体的对角线的长与棱 长有 图3.2 3 什么关系? 分析 如图3.2 3,由于四棱柱的棱之间具 有平行
ka2 , b1 kb2 , c1 kc2 图3.2 22.
我们随时随地看到向量 运算的 作用, 你同意"向量是躯体, 运算 是灵魂""没有运算的向量只能 起路标的作用 "的说法吗?
l u
v
图3.2 2 2
探究 1. 如图3.2 23, 若 直线l和平面的夹角为 , 你能用u, v表示 吗?
l // u v u v 0 a1 a2 b1b2 c1c2 0图3.2 21;
u
l
v
l u // v u kv a1 , b1 , c1 k a2 , b2 , c2 a1
图3.2 2 1
l
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置, 所以我们可以利用直线 的方向向量与平面 的法向量表示空间直线 、平面间的平行、垂直 、 夹角等位置关系 .
u
l l l
v
u
v
u
v
1
2
图3.2 2
1
例如, 图3.2 2, 设直线l的方向向量是u a1 , b1 , c1 , 平面的法向量v a2 , b2 , c2 , 则
C
关系, 所以以A为起点的三个向量可以 将各棱用向 , 不妨设这三个向量的模 都 量形式表示 .根据题设 AC1的长, 可以将AC1用与棱 等于1.为了求出对角线 相关的向量表示出来 .
3.2立体几何中的向量方法 第2课时 空间向量与垂直关系 课件
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第2课时
例 2 如图所示， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中 点．求证：A1O⊥平面 GBD.
证明 方法一 如图取 D 为坐标原点， DA、DC、DD1 所在的直线分别作 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 设 正 方 体 棱 长 为 2 ， 则 O(1,1,0) ， A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)， → → → ∴OA1＝(1，－1,2)，OB＝(1,1,0)，BG＝(－2,0,1)， → → → → 而OA1· OB＝1－1＋0＝0，OA1· BG＝－2＋0＋2＝0. → → → → ∴OA1⊥OB，OA1⊥BG，即 OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而 OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面 GBD.
角坐标系．则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， → → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)， → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1.
小结 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系 →写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得 到两直线垂直．
解析 ∵(1,2,0)· (2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从 而两平面垂直．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
4.如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP＝AB＝ 2， BC＝2 2， E， F 分别是 AD， PC 的中点． 证 明： PC⊥平面 BEF.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，
高中数学新人教A版选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质课件
A.m≥√2 或m≤-√2 B. 一2≤m≤√2且m≠0
C.m ∈R
D.-√2≤m≤√2
【答案】D [ 由
由题意知1—m²=0,
解得一 √2≤m≤√2.]
得(1—m²)x²—2mx—2=0,
4. 如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图(忽略
壁厚),其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中 的曲线均为双曲线，高度为100m, 俯视图为三个同心圆，其半径
解：设点M(x,y), 由题知
即 整理得：
请你将例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现?
例6、 过双曲线 求IABI.
的右焦点F₂, 倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B两点，
分析：求弦长问题有两种方法： 法 一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公 式代入求弦长；
法二：但有时为了简化计算，常设而不求，运用韦达 定理来处理.
A.y²—3x²=36 C.3y²—x²=36
B.x²—3y²=36 D.3x²-y²=36
பைடு நூலகம்
【答案】A [椭圆4
即
则双曲线的焦点在y 轴上，c=4√3,
线的方程为y²-3x²=36.]
焦点为(0,±4 √3),离心率为 从而a=6,b²=12, 故所求双曲
3 .直线y=mx+1 与双曲线x²—y²=1 有公共点，则m 的取值范围是( )
,
即 3x+4y-5=0.
课堂小结
1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.双曲线方程的简单应用. 3.理解直线与双曲线的位置关系.
谢谢大家
人教A 版选择性必修第一册
对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点
顶点坐标
性轴 质
C.m ∈R
D.-√2≤m≤√2
【答案】D [ 由
由题意知1—m²=0,
解得一 √2≤m≤√2.]
得(1—m²)x²—2mx—2=0,
4. 如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图(忽略
壁厚),其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中 的曲线均为双曲线，高度为100m, 俯视图为三个同心圆，其半径
解：设点M(x,y), 由题知
即 整理得：
请你将例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现?
例6、 过双曲线 求IABI.
的右焦点F₂, 倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B两点，
分析：求弦长问题有两种方法： 法 一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公 式代入求弦长；
法二：但有时为了简化计算，常设而不求，运用韦达 定理来处理.
A.y²—3x²=36 C.3y²—x²=36
B.x²—3y²=36 D.3x²-y²=36
பைடு நூலகம்
【答案】A [椭圆4
即
则双曲线的焦点在y 轴上，c=4√3,
线的方程为y²-3x²=36.]
焦点为(0,±4 √3),离心率为 从而a=6,b²=12, 故所求双曲
3 .直线y=mx+1 与双曲线x²—y²=1 有公共点，则m 的取值范围是( )
,
即 3x+4y-5=0.
课堂小结
1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.双曲线方程的简单应用. 3.理解直线与双曲线的位置关系.
谢谢大家
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对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点
顶点坐标
性轴 质
3.2双曲线的简单几何性质PPT课件(人教版)
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a 2 b2
12 8
或设 x2 m2
y2 20 m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1
求得m2 12(30舍去)
12 8
法二：设双曲线方程为
x2 y2 1 16 k 4 k
16 k 0且4 k 0
9 16 ⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点(3 2 , 2)
16 4
例3.根据下列条件，求双曲线方程 : (1)与双曲线 x2 y2 1有共同渐近线, 且过点(3, 2 3);
9 16 解：⑴因为双曲线与 x2 y2 1有共同渐近线,故设双曲线方程为
9 16
x2 y2 ( 0)
可得 x2 y2 1. 16 9
注：与 x2 a2
y2 b2
1共焦点的椭圆系方程是
x2 m2
y2 m2 c2
1,
双曲线系方程是 x2 m2
c2
y2 m2
1.
4. 求与椭圆 x2 y2 1有共同焦点，渐近线方程为 16 8
x 3 y 0的双曲线方程.
解： 椭圆的焦点在x轴上,且坐标为F1(2 2,0), F2(2 2,0). 双曲线的焦点在x轴上，且c2 (2 2)2 8.
双曲线方程
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0 ) 中，把1改为0，得
x2 a2
y2 b2
0
( x y )( x y ) 0 a ba b
x y 0或 x y 0. ab ab
y＝ b x a
结论：
双曲线
x2
数学人教A版选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质(焦半径、离心率)课件
且PF1F 2的最小内角为 ，求离心率 e
6
2、双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)的右支上总存在到双曲
线中心与有焦点距离
相等的两个相异点，求 离心率e的范围。
小结：
焦点在x轴上
渐进线 特征量
x2 a2
y2 b2
1 (a
b 0)
x a或x a, y R
上始终存在一点P，使得| oP || PF | .求双曲线离心率范围。
解：过点P作PH OF于点H OP PF
| OH | c 2
| OH | a
c a 2
e c 2 a
p OH F
课堂练习：
1、双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)的左焦点 F，右顶点 A，
虚轴的一个端点为 B，若ABF为等腰三角形，求离心 率e
ya x b
THANK YOU
a 1 e 3
四、合作探究：（离心率）
1、双曲线离心率：
e c a
a2 b2 a2
1 (b)2 a
2、双曲线离心率范围： e 1
通过解不等式得c 或 b 的范围求离心率的范围 aa
五、例题讲 授：
例3：ABC是等腰三角形，ABC 2 双曲线以AB为焦点，且过了点C。求双曲线离心率
3
解：ABC中| AB || BC | 2c, ABC 2
双曲线的右支上，且|F1F2 |=4， |PF1|-|PF2|=3，求|PF1|的最小值
解：设P( x0 , y0） | PF1 | PF2 | 3
2a 3, a 3 2
| F1F2 | 4 c 2
专题3.2旋转---三叉口模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
× 5 + × 3× 4 =
+6
同理可得： S1 + S 2 =
4
2
4
2
4
∴2( S1 + S 2 + S3 ) =
25 3
+18
2
25 3
∴S1 + S 2 + S3 =
+9
4
C
针对训练
三叉口模型---等边三角形
考点2-1
1.如图,P为等边△ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,
∴△APD是直角三角形, ∴sin∠PAD=3/5
又
1
3
3 2
2 1
∵AP=8,
(2)S四边形APBD=S△APD+S△PCD = PD • AP + PC = × 6 × 8 + × 6 = 24 + 9 3
C
2
4
2
4
1
3
1
3
2
(3)S△APO+S△BP =S△AEP+S△BEP = PA • AE + PB = × 8× 6 + ×10 2 = 24 + 25 3
于△ABC是等边三角形,可将
小三角形旋转到合适的位置
B
S2
S1 S3
P
S1 P S3
S2
C B
3 2 1
9 3
,可得：
S1 + S3 = S ΔADP + S ΔPCD =
× 3 + × 3× 4 =
+6
4
2
4
S2
S3
CB
F
+6
同理可得： S1 + S 2 =
4
2
4
2
4
∴2( S1 + S 2 + S3 ) =
25 3
+18
2
25 3
∴S1 + S 2 + S3 =
+9
4
C
针对训练
三叉口模型---等边三角形
考点2-1
1.如图,P为等边△ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,
∴△APD是直角三角形, ∴sin∠PAD=3/5
又
1
3
3 2
2 1
∵AP=8,
(2)S四边形APBD=S△APD+S△PCD = PD • AP + PC = × 6 × 8 + × 6 = 24 + 9 3
C
2
4
2
4
1
3
1
3
2
(3)S△APO+S△BP =S△AEP+S△BEP = PA • AE + PB = × 8× 6 + ×10 2 = 24 + 25 3
于△ABC是等边三角形,可将
小三角形旋转到合适的位置
B
S2
S1 S3
P
S1 P S3
S2
C B
3 2 1
9 3
,可得：
S1 + S3 = S ΔADP + S ΔPCD =
× 3 + × 3× 4 =
+6
4
2
4
S2
S3
CB
F
3.2.2双曲线的简单几何性质课件可编辑图片版共54张PPT
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程可设为
a2x－2 λ－λ－y2b2＝1(b2<λ<a2)．
题型二 由双曲线方程研究其几何性质
探究 1 利用方程求解几何性质
例 1 (多选)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点
分别为
F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线
y2 64
－
x2 16
＝
λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为x42－y2＝1. 答案：x42－y2＝1
4．与椭圆
x2 25
＋
y2 16
＝1有公共焦点，离心率为32
的双曲线方程为
________.
解析：方法一 由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±
n m
x的双曲线方程可设为
x2 m2
－
y2 n2
＝λ(λ≠0，
m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的
方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)与双曲线
x2 a2
－ by22
＝1或
y2 a2
－
x2 b2
系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和
c a
＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用
到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.
双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数
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3.2.4 几何作图求解的基本步骤
1 分析 在正式作图之前,为了寻求作图方法的线索,常先 假定合乎条件的图形已经作出,并画一草图,然后考 究草图中各元素的大小、位置及相互间的关系, 分 析整个图形是否可以分解为若干部分, 可逐步用作 图或作图公法作出,若仍有些不能确定,可添加辅助 线,继续进行探索,直至将作图的全部过程都能归结 为作图的成法为止. 2 作法 根据分析所得的线索,依次叙述作图过程,作图时 的每一步都必须有根据, 其根据就是作图公法或作 图成法, 否则不得作图.
第三章 基本轨迹 与几何作图
本章研究的主要内容：
一、基本轨迹
二、几何作图
第三章 基本轨迹 与几何作图
§3.2 几何作图
教学要求: 1.了解几何作图的意义； 2.了解作图公法及作图成法； 3.掌握几何作图问题求解的基本步骤.
3.2.1 几何作图的意义 1°几何作图的工具 2°几何作图的意义
尺规作图是指没有刻度的直尺和圆规两件工具， 并用有限次步骤作出合乎预先约定条件的图形， 有时也叫欧几里得作图.
亦即 a a a . 由此可得正五边形的简便作法 作法： 证明：
2 5 2 10 2 6
∴ OB2 AB2 AB AD (2) 2 2 2 OB AB AC , (1)代入(2)得： 2 2 2 即 R a5 a10 ,
讨论：
B P
A
· ·Q M N· O
S
4 利用几何变换(不讲)
(16)作已知圆的内接(外切)正三角形、正方形,或 正六边形. (17)作一线段,使之等于两已知线段的和或差. (18)作一线段,便之等于已知线段的n倍或n等分. (19)内分或外分一已知线段,它们的比等于已知比. (20)作已知三线段a,b,c的第四比例项. (21)作已知两线段a,b的比例中项. (22)已知线段a,b作一线段为 x a 2 b2 , 或作一线 段为 x a2 b2 (a b).
M
N C
O
3 代数法
例7 求作已知线段AB的黄金分割点C. [解] 分析：设AB长为a, 内分点C把AB分成两段, 大 1 a 2 段 AC 长为x, 小段BC长为 E · a - x, 由题意应有BC:AC＝ AC:AB. A· · x C (a x) : x x : a 即 亦即 x 2 ax a 2 0 解得
讨论： 当k＝1时, A即为弓形的中点. 当k≠1时, 因阿氏圆过BC的内外分点, 故与前一 弓形弧必有一个交点. 显然本题在下方还有一解. A [解法2] 分析(如图，略)
B D M C
例2 已知边AB所在的直线l , 又知二高AD和BE的 C 垂足D和E, 求作⊿ABC. [解] 分析：假设⊿ABC 已经作出, 则D、E应在以 AB为直径的圆上, 如图, 因 而AB的中点必在DE的中垂 线上, 于是图形容易作出. 作法：(略) 证明：(略) l 时, 讨论：(1) 当D≡E 有无穷多解, 如图. 此时顶 点C亦与D、E重合. (2) 当D≡E∈l时, 无解.
例10 已知底边、底边上的高及两底角之差, 求 作三角形. [解] 分析：
作法：
证明： 讨论：
3.2.6 三大尺规作图不能问题(略作介绍)
1.化圆为方：求作一个正方形, 使其面积为已知 圆的面积. 2. 倍立方：求作一个正方体, 使它的体积是已知 正方体体积的二倍. 3. 三等分角.
3 证明 作图之后, 应逐条检验所得图形确是合乎所有题 设条件, 用以证实作图无误. 4 讨论 作图时, 一般只立通法, 这叫形式作图. 然而一个 作图的有解无解, 应取决于题设条件是否充分、位 置及其相互间的关系, 所以不能因为作出某个特定 图形而说问题一定有解. 必须对所设条件在其变化 范围内分别各种可能的情形,逐一加以推究,确定本 题的解有多少？这种通盘考虑种种情况, 从而判断 解得数目的过程, 叫做讨论.
· · · · ·
E
D
A
o
B
l
D≡C
·
B B
A A
l
(3) 当D≠E时, 若DE⊥l, 或 DE被l平分(但DE不垂直于l ), 或D, E皆在l上,都无解. 如图. (4) 当DE垂直平分l时, 有 无数多解. (5) 当D, E在l异侧且不被 l平分时, 有两解. (6) 当D, E有一点在l上时 C 有一解. 注：此例是 莫斯科第7届 A E(D) (1941年)数 学竞赛题. B D, A E A B
3.2.2 几何作图公法与作图成法
1. 作图公法. (1)通过两个已知点可作一条直线； (2)已知圆心和半径可作一个圆； (3)若两已知直线相交，或一已知直线和一已知 圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出 其交点. 2. 作图成法 (1)任意延长已知线段. (2)在已知射线上自端点起截一线段等于已知线 段. (3)以已知射线为一边,在指定一侧作角等于已 知角.
· D·
E l
E ·
C
D
·
B
O
·
· E
C
例3 已知∠A＝ 和它的对边BC＝a, 又知另一 边上的中线 mb , 求作此⊿ABC.
[解] 分析: (略)
作法: (略) 证明: (略) 讨论: (略)
B
mb
· D ·
A
C · M · ·
2 三角形奠基法
例4 作三角形,已知从一顶点发出的高h和中线m, 以及外接圆半径 r.
(4)已知三边,或两边及夹角,或两角及夹边作三角形. (5)已知一直角边和斜边,作直角三角形. (6)作已知线段的中点. (7)作已知线段的垂直平分线. (8)作已知角的平分线. (9)过已知直线上或直线外一已知点,作此直线的垂 线. (10)过已知直线外已知点,作此直线的平行线. (11)已知边长作正方形. (12)以定线段为弦,已知角为圆周角,作弓形弧. (13)作已知三角形的外接圆,内切圆,旁切圆. (14)过圆上一或圆外一点作圆的切线. (15)作两已知圆的内、外公切线.
3.2.5 几何作图求解的常用方法
1 交轨法 利用轨迹之交点 例1 已知底边BC＝a和它所对顶角∠A＝ , 又知 夹此角的两边之比为定值 k >0 , 求作此三角形. [解] 分析： A 因底边BC固定, 且顶角A为定值, C B 故A在以BC为底、视角为 的弓形 弧上；另一方面, AB : AC k , 当k =1时, A的轨迹是 BC的中垂线, 当k≠1时, A的轨迹是阿氏圆, 故它 与前一弓形的交点即为所求的另一顶点. 如图. 作法: (略) 证明：(略)
设圆的半径为R, 内接正 a 五边形一边长AB = , C为 O 5 · a AB 中点, 则AC=BC= 10 , · · 是内接正十边形的一边, 以 下研究 a5 , a10 , R 三者间的关 D · B 系. A E · C 如图, 易得 DAC CAB 2 AC AB AD. (1) 即有 又由∠OBA＝∠OAB＝∠BOD＝54°, 得 ⊿ABO∽⊿BOD ∴ AB:OB=OB:BD. 即 AB:OB＝OB:(AB－AD).
3.2.3 几何作图的类型
1 定位作图 如果求作的图形必须在指定的位置, 这类作图叫 做定位作图. 例如, “过已知直线外一点作此线的垂线”便是. 2 活位作图：如果对于所求图形的位置没有硬性 限制, 这类作图叫活位作图. 其中又分为两种： (1) 半活位作图, 限定在某范围内作图, 但在此范 围内, 作图位置又不加限制, 这叫半活位作图. 例如 “在定圆中作内接正方形”. (2) 全活位作图, 不拘位置，随处均可作图, 这叫 全活位作图. 例如“已知边长作正三角形”.
D ·
1 a 2
· B
a a x a 2 2
2
2
(舍去负根)
作法： 证明： 讨论：
A
· ·
x
E
1 a 2
·
D
1 a 2
· C
· B
例8 求作已知圆的内接正10边形. [解] 分析：
作法：
证明： 讨论：
C
72° 36° 36° 36°
· · · · B
O
A
例9 求作已知圆的内接正5边形 [解] 分析：
[解] 分析： 作法： 证明： 讨论：
B
h
A
·
m
N
O · · · H M
C
例5 作三角形,已知它的三条中线. [解] 分析： 作法： 证明： 讨论：
B K M A
F
ma
E
mb
D
mc
C
例6 作三角形,已知它同一顶点发出的高、中线 和角平分线. A [解] 分析： 作法： 证明： 讨论：
B H T
·